1、2022-3-20北京郵電大學電子工程學院1概率論與隨機過程概率論與隨機過程黎淑蘭黎淑蘭n學時數：學時數：54n教材：王玉孝，教材：王玉孝，概率論與隨機過程概率論與隨機過程，北郵出版社，北郵出版社n參考書：參考書：n陸大琻，陸大琻，隨機過程及其應用隨機過程及其應用，清華大學出版社，清華大學出版社n嚴士健等，嚴士健等，測度與概率測度與概率，北京師范大學出版社，北京師范大學出版社n張朝金著，張朝金著，概率論中的反例概率論中的反例1.王玉孝，王玉孝，概率論與隨機過程習題解答概率論與隨機過程習題解答，北郵教材，北郵教材中心中心2022-3-20北京郵電大學電子工程學院2教學安排教學安排n先修課程：高等

2、數學，概率論先修課程：高等數學，概率論n考試：閉卷，期末考試：閉卷，期末70%，平時，平時30%n電子郵件：電子郵件： 17、18世紀，數學獲得了巨大的進步。數學家們世紀，數學獲得了巨大的進步。數學家們沖破了古希臘的演繹框架，向自然界和社會生活的沖破了古希臘的演繹框架，向自然界和社會生活的多方面汲取靈感，數學領域出現了眾多嶄新的生長多方面汲取靈感，數學領域出現了眾多嶄新的生長點，而后都發展成完整的數學分支。除了分析學這點，而后都發展成完整的數學分支。除了分析學這一大系統之外，概率論就是這一時期一大系統之外，概率論就是這一時期使歐幾里得使歐幾里得幾何相形見絀幾何相形見絀的若干重大成就之一。的若干

3、重大成就之一。一、概率論與隨機過程的歷史及應用1. 概率論的誕生及發展概率論的誕生及發展 概率論起源于對賭博問題的研究。早在概率論起源于對賭博問題的研究。早在16世世紀，意大利學者卡丹與塔塔里亞等人就已從數學紀，意大利學者卡丹與塔塔里亞等人就已從數學角度研究過賭博問題。他們的研究除了賭博外還角度研究過賭博問題。他們的研究除了賭博外還與當時的人口、保險業等有關，但由于卡丹等人與當時的人口、保險業等有關，但由于卡丹等人的思想未引起重視，概率概念的要旨也不明確，的思想未引起重視，概率概念的要旨也不明確，于是很快就被人淡忘了。于是很快就被人淡忘了。概率概念的要旨在概率概念的要旨在17世世紀中葉法國數學

4、家帕斯卡（紀中葉法國數學家帕斯卡（16231662）與費馬）與費馬（16011665）的討論中才比較明確。）的討論中才比較明確。 1651年年,一個名叫梅累的騎士和朋友保羅各出一個名叫梅累的騎士和朋友保羅各出30枚金枚金幣作為賭金，兩人事先選好一個點數，梅累選擇了幣作為賭金，兩人事先選好一個點數，梅累選擇了“5”，保羅選擇了，保羅選擇了“3”，游戲規則是：如果誰先擲出，游戲規則是：如果誰先擲出了了3次自己所選的點數，誰就贏得全部次自己所選的點數，誰就贏得全部60個金幣。游戲個金幣。游戲進行到梅累擲出進行到梅累擲出2次次“5”點，保羅擲出點，保羅擲出1次次“3”點時，點時，由于發生一個緊急事情，

5、梅累必須馬上離開，游戲因此由于發生一個緊急事情，梅累必須馬上離開，游戲因此中斷，兩人為賭本的分配問題爭執不下，恰逢帕斯卡經中斷，兩人為賭本的分配問題爭執不下，恰逢帕斯卡經過梅累他們所在的小鎮，于是梅累就過梅累他們所在的小鎮，于是梅累就“分賭金問題分賭金問題”求求教于帕斯卡。教于帕斯卡。 帕斯卡與費馬通信討論這一問題，引進了遞推法、差分方帕斯卡與費馬通信討論這一問題，引進了遞推法、差分方程法作為解決復雜概率計算問題的有力工具，并程法作為解決復雜概率計算問題的有力工具，并 于于1654 年共年共同建立了概率論的第一個基本概念。同建立了概率論的第一個基本概念。 在這期間，荷蘭數學家惠更斯在這期間，荷

6、蘭數學家惠更斯（16291695）恰好在巴黎恰好在巴黎，也參，也參與與過他倆的討論。后來，在過他倆的討論。后來，在1657年，他把討論結果寫年，他把討論結果寫成了一本書成了一本書論賭博中的計算論賭博中的計算，這是概率論發展史上的第，這是概率論發展史上的第一本著作。一本著作。書中在歷史上第一次把以前的概率論知識系統化書中在歷史上第一次把以前的概率論知識系統化、公式化和一般化，第一次把概率論建立在公理、命題和問、公式化和一般化，第一次把概率論建立在公理、命題和問題上而構成一個較完整的理論體系。因此，該書被看著是概題上而構成一個較完整的理論體系。因此，該書被看著是概率論誕生的標志。率論誕生的標志。

7、他們三人提出的解法中，都首先涉及了數學期望這一概他們三人提出的解法中，都首先涉及了數學期望這一概念，并由此奠定了古典概率論的基礎念，并由此奠定了古典概率論的基礎。 使概率論成為數學一個分支的使概率論成為數學一個分支的真正真正奠基人是奠基人是瑞士數學家雅各布瑞士數學家雅各布伯努利伯努利（16541705），他的，他的重要貢獻是建立了概率論中的第一個極限定理，重要貢獻是建立了概率論中的第一個極限定理，即伯努利大數定律，發表在即伯努利大數定律，發表在1713出版的遺著猜出版的遺著猜度術中。美國概率史專家海金（度術中。美國概率史專家海金（Hacking）稱此）稱此書標志著書標志著“概率漫長的形成過程的

8、終結與數學概概率漫長的形成過程的終結與數學概率論的開端率論的開端”。 到了到了1730年，法國數學家棣莫弗年，法國數學家棣莫弗（16671754）出版其著出版其著作分析雜論，當中包含了著名的作分析雜論，當中包含了著名的“棣莫弗棣莫弗拉普拉斯定拉普拉斯定理理”。這就是概率論中第二個基本極限定理的原始初形。棣。這就是概率論中第二個基本極限定理的原始初形。棣莫弗莫弗歷史上第一次提出了正態分布（標準正態分布）。歷史上第一次提出了正態分布（標準正態分布）。 接著拉普拉斯接著拉普拉斯（17491827）在在1812年出版的概率的分年出版的概率的分析理論中，首先明確地對概率作了古典的定義。析理論中，首先明確

9、地對概率作了古典的定義。拉普拉斯拉普拉斯以強有力的分析工具處理了概率論的基本內容，實現了從組以強有力的分析工具處理了概率論的基本內容，實現了從組合技巧向分析方法的過渡，使以往零散的結果系統化，開辟合技巧向分析方法的過渡，使以往零散的結果系統化，開辟了概率論發展的新時期。了概率論發展的新時期。 另一在另一在概率論發展史概率論發展史上的代表人物是法國的泊松。他上的代表人物是法國的泊松。他推廣了伯努利形式下的大數定律，研究得出了一種新的推廣了伯努利形式下的大數定律，研究得出了一種新的分布，就是泊松分布。概率論繼他們之后，分布，就是泊松分布。概率論繼他們之后，在在19世紀后世紀后期，期，其中心研究課題

10、則集中在推廣和改進伯努利大數定其中心研究課題則集中在推廣和改進伯努利大數定律及中心極限定理。律及中心極限定理。 俄國數學家切比雪夫對此做出了重要貢獻。他建立俄國數學家切比雪夫對此做出了重要貢獻。他建立了關于獨立隨機變量序列的大數定律，推廣了棣莫弗了關于獨立隨機變量序列的大數定律，推廣了棣莫弗拉普拉斯的極限定理。切比雪夫的成果后被其學生馬爾拉普拉斯的極限定理。切比雪夫的成果后被其學生馬爾可夫發揚光大，影響了可夫發揚光大，影響了20世紀概率論發展的進程。世紀概率論發展的進程。 19世紀末，一方面概率論在統計物理等領域的世紀末，一方面概率論在統計物理等領域的應用提出了對概率論基本概念與原理進行解釋的

11、需要應用提出了對概率論基本概念與原理進行解釋的需要，另一方面，科學家們在這一時期發現的一些概率論，另一方面，科學家們在這一時期發現的一些概率論悖論也揭示出古典概率論中基本概念存在的矛盾與含悖論也揭示出古典概率論中基本概念存在的矛盾與含糊之處。這些問題強烈要求對概率論的邏輯基礎做出糊之處。這些問題強烈要求對概率論的邏輯基礎做出更加嚴格的考察更加嚴格的考察，也就是建立，也就是建立概率論的公理化體系概率論的公理化體系。貝特朗悖論 1889年，貝特朗在他的年，貝特朗在他的概率論概率論一書中給出一書中給出了這樣一個例子：在半徑為了這樣一個例子：在半徑為1的圓內隨機地取一條的圓內隨機地取一條弦，問其長超過

12、該圓內接等邊三角形的邊長的概弦，問其長超過該圓內接等邊三角形的邊長的概率為多少率為多少?解法一：任何弦交圓周兩點。不失一般性，先固定其中解法一：任何弦交圓周兩點。不失一般性，先固定其中一點于圓周上，以此點為頂點作一內接等邊三角形。顯一點于圓周上，以此點為頂點作一內接等邊三角形。顯然只有落入此三角形的弦才滿足要求，而這種弦的長度然只有落入此三角形的弦才滿足要求，而這種弦的長度為整個圓周的為整個圓周的1/3，故所求概率為，故所求概率為1/3。解法二：弦被其中點唯一確定，當且僅當其中點屬于半徑解法二：弦被其中點唯一確定，當且僅當其中點屬于半徑為為1/2的同心圓時，弦長大于內接等邊三角形邊長，而此小的

13、同心圓時，弦長大于內接等邊三角形邊長，而此小圓面積為大圓面積的圓面積為大圓面積的1/4,故所求概率為故所求概率為1/4。解法三：弦長只跟它與圓心的距離有關，而與方向無關，解法三：弦長只跟它與圓心的距離有關，而與方向無關，因此可假定它垂直于某一直徑。對于這種弦，當且僅當它因此可假定它垂直于某一直徑。對于這種弦，當且僅當它與圓心的距離小于與圓心的距離小于1/2時，其長才大于內接等邊三角形的邊時，其長才大于內接等邊三角形的邊長。因此所求概率為長。因此所求概率為1/2。 悖論的根源在于，無論三種情形下的哪一種，都假定悖論的根源在于，無論三種情形下的哪一種，都假定各自的參數均勻地分布在給定的區域里。解法

14、各自的參數均勻地分布在給定的區域里。解法1中，假定中，假定一端固定而另一端點在圓周上均勻分布；解法一端固定而另一端點在圓周上均勻分布；解法2中，又假中，又假定弦的中點在圓內均勻分布；而解法定弦的中點在圓內均勻分布；而解法3中，假定弦的中點中，假定弦的中點在直徑上均勻分布。因此事實上三個問題都被解出。在直徑上均勻分布。因此事實上三個問題都被解出。 同一時期還出現了許多悖論，同一時期還出現了許多悖論，“這類悖論說明概率的這類悖論說明概率的概念是以某種確定的試驗為前提的，這種試驗有時由問題概念是以某種確定的試驗為前提的，這種試驗有時由問題本身所明確規定本身所明確規定,有時則不然。因此貝特朗等悖論的矛

15、頭直有時則不然。因此貝特朗等悖論的矛頭直指概率概念本身指概率概念本身”，正是這些問題促使人們開始深入思考，正是這些問題促使人們開始深入思考概率論的基礎問題。概率論的基礎問題。 俄國數學家伯恩斯坦和奧地利數學家馮俄國數學家伯恩斯坦和奧地利數學家馮米西斯米西斯(R.von Mises,1883-1953)對概率論的嚴格化做了最早的嘗對概率論的嚴格化做了最早的嘗試。但試。但他他們提出的公理理論并不完善。事實上，真正嚴們提出的公理理論并不完善。事實上，真正嚴格的公理化概率論只有在測度論和實變函數理論的基礎格的公理化概率論只有在測度論和實變函數理論的基礎上上才可能建立。測度論的奠基人，法國數學家博雷爾才

16、可能建立。測度論的奠基人，法國數學家博雷爾(E.Borel,1781-1956)首先將測度論方法引入概率論重要問首先將測度論方法引入概率論重要問題的研究，并且他的工作激起了數學家們沿這一嶄新方題的研究，并且他的工作激起了數學家們沿這一嶄新方向的一系列搜索。特別是原蘇聯數學家科爾莫戈羅夫的向的一系列搜索。特別是原蘇聯數學家科爾莫戈羅夫的工作最為卓著。工作最為卓著。 1933年，科爾莫戈羅夫出版了他的著作概年，科爾莫戈羅夫出版了他的著作概率論基礎，這是概率論的一部經典性著作。其率論基礎，這是概率論的一部經典性著作。其中，科爾莫戈羅夫給出了公理化概率論的一系列中，科爾莫戈羅夫給出了公理化概率論的一系

17、列基本概念，提出了六條公理，整個概率論大廈可基本概念，提出了六條公理，整個概率論大廈可以從這六條公理出發建筑起來。科爾莫戈羅夫的以從這六條公理出發建筑起來。科爾莫戈羅夫的公理體系逐漸得到數學家們的普遍認可。由于公公理體系逐漸得到數學家們的普遍認可。由于公理化，概率論成為一門嚴格的演繹科學，并通過理化，概率論成為一門嚴格的演繹科學，并通過集合論與其它數學分支密切地聯系集合論與其它數學分支密切地聯系著著。 在公理化基礎上，現代概率論取得了一系列理論突在公理化基礎上，現代概率論取得了一系列理論突破。公理化概率論首先使隨機過程的研究獲得了新的起破。公理化概率論首先使隨機過程的研究獲得了新的起點。點。1

18、931年，科爾莫戈羅夫用分析的方法奠定了一類普年，科爾莫戈羅夫用分析的方法奠定了一類普通的隨機過程通的隨機過程馬爾可夫過程的理論基礎。馬爾可夫過程的理論基礎。 科爾莫戈羅夫之后，對隨機過程的研究做出重大貢科爾莫戈羅夫之后，對隨機過程的研究做出重大貢獻而影響著整個現代概率論的重要代表人物有萊維獻而影響著整個現代概率論的重要代表人物有萊維(P.Levy,1886-1971)、辛欽、杜布、辛欽、杜布(J.L.Dob)和伊藤清等。和伊藤清等。 1948年萊維出版的著作隨機過程與布朗運動提出年萊維出版的著作隨機過程與布朗運動提出了獨立增量過程的一般理論，并以此為基礎極大地推進了了獨立增量過程的一般理論，

19、并以此為基礎極大地推進了作為一類特殊馬爾可夫過程的布朗運動的研究。作為一類特殊馬爾可夫過程的布朗運動的研究。1934年，年，辛欽提出平穩過程的相關理論。辛欽提出平穩過程的相關理論。1939年，維爾年，維爾(J.Ville)引引進進“鞅鞅”的概念，的概念，1950年起，杜布對鞅概念進行了系統的研年起，杜布對鞅概念進行了系統的研究而使鞅論成為一門獨立的分支。從究而使鞅論成為一門獨立的分支。從1942年開始，日本數年開始，日本數學家伊藤清引進了隨機積分與隨機微分方程，不僅開辟了學家伊藤清引進了隨機積分與隨機微分方程，不僅開辟了隨機過程研究的新道路，而且為隨機分析這門數學新分支隨機過程研究的新道路，而

20、且為隨機分析這門數學新分支的創立和發展奠定了基礎。的創立和發展奠定了基礎。2. 概率論的應用概率論的應用 概率論與隨機過程是數學的一個分支，它研概率論與隨機過程是數學的一個分支，它研究隨機現象的數量規律，究隨機現象的數量規律， 概率論的應用幾乎遍及概率論的應用幾乎遍及所有的科學領域，例如天氣預報、所有的科學領域，例如天氣預報、 地震預報、產地震預報、產品的抽樣調查，在通訊工程中概率論可用以進行信品的抽樣調查，在通訊工程中概率論可用以進行信號檢測、信道估計等等號檢測、信道估計等等. .例：試構造隨機試驗證明：例：試構造隨機試驗證明：0110rrrrm nnmnmnmCC CCCC C隨機試驗：隨

21、機試驗：設有設有m+n個球，其中個球，其中m個紅球，個紅球，n個白球，從中取出個白球，從中取出r個球。個球。min( , )rm n2022-3-20北京郵電大學電子工程學院20第一章第一章 概率空間概率空間 的概率。為事件稱AP2.1P （歸一性）（歸一性）n概率的定義概率的定義若對若對E 的每一個事件的每一個事件A，有一個實數，有一個實數與之對應，記為與之對應，記為P(A)，且滿足：，且滿足：1.01P A（非負性）（非負性）1121,. 3kkkkAPAPAA兩兩互不相容，則有：若事件（可列可加性）（可列可加性） 2022-3-20北京郵電大學電子工程學院21第一章第一章 概率空間概率空

22、間 若把若把P(A)看作集合看作集合A的函數，那么象高等數學里的普通函的函數，那么象高等數學里的普通函數一樣，我們必須考慮數一樣，我們必須考慮A在何范圍內，在何范圍內，A P(A)才有定義？這才有定義？這是初等概率論的遺留問題。為此，我們考慮以事件是初等概率論的遺留問題。為此，我們考慮以事件A為元素的為元素的集合，稱為集合，稱為集合類集合類或或事件體事件體，記作，記作F F 。 F F的結構？在的結構？在F F上的概率如何構造？這是本章將要討論的主上的概率如何構造？這是本章將要討論的主要問題，為此我們必須引入測度論的概念。要問題，為此我們必須引入測度論的概念。 在初等概率論中，我們定義隨機事件

23、在初等概率論中，我們定義隨機事件A為樣本空間為樣本空間 的子的子集，即集，即 ，但事實上是不是任何一個，但事實上是不是任何一個 的子集都是一個隨的子集都是一個隨機事件？機事件？（見張朝金著見張朝金著概率論中的反例概率論中的反例P48）A集合集合 A 與與 B 的差的差圖示圖示 A 與與 B 的差的差. ABABAB AB BA BA ABABAAB 集合的運算規律集合的運算規律.,)1(BAABABBA 交換律交換律),()()2(CBACBA 結結合合律律(3)(),ABCACBC 分分配配律律(4):,.ABABABAB德德 摩摩根根律律, A B C設為 的子集 則有).()(BCACA

24、B ()()()()().ABCACBCACBC 2022-3-20北京郵電大學電子工程學院24第一節第一節 集合代數和集合代數和 - -代數代數一、集合代數和一、集合代數和 - -代數代數定義定義1.1.1 設設 是任一非空集合，是任一非空集合， A A是由是由 的一些子集組成的一些子集組成的非空集合類，若的非空集合類，若A A 滿足：滿足：1. A A ； 若若A，B A A ，有，有AB A A （有限并運算封閉）；有限并運算封閉）；則稱則稱A A是是 上的一個集合代數，簡稱集代數。上的一個集合代數，簡稱集代數。容易證明集代數對有限交運算也封閉，即：容易證明集代數對有限交運算也封閉，即：

25、若若A A A ，有，有AA A （余運算封閉）；（余運算封閉）；2022-3-20北京郵電大學電子工程學院25定理定理1.1.1 設設A A是由是由 的一些子集組成的非空集合類，則：的一些子集組成的非空集合類，則：n若若A A是是 上上的集代數的集代數 A A是包含是包含 且對余運算和有限交且對余運算和有限交運算封閉；運算封閉；1.若若A A是是 上上的集代數的集代數 A A是包含是包含 且對差運算封閉。且對差運算封閉。第一節第一節 集合代數和集合代數和 - -代數代數集代數集代數包含包含 ，對余運算、有限并運算封閉，對余運算、有限并運算封閉包含包含 ，對余運算、有限交運算封閉，對余運算、有

26、限交運算封閉包含包含 ，對差運算封閉，對差運算封閉2022-3-20北京郵電大學電子工程學院26第一節第一節 集合代數和集合代數和 -代數代數例例 設設 =R，令：，令： baRbaAAAAARAnknk,121形如A A則：則： A A是是集代數。集代數。例例 設設 =1,2,3,4，試構造一個集代數，試構造一個集代數A A ，使得，使得1 A A，2 A.A.解：解：A=A= ， ，1，2,3,4, 2, 1,3,4, 1,2 , 3,4當當b=+ 時，時，(a, b=(a,+ )。分析：分析：(1)a=- , b=+ 時，時，(a, b=(- ,+ )= A A (2) 對余運算和有限并

27、運算封閉對余運算和有限并運算封閉集代數集代數A A包含的元素可能是有限多個，也可能是無限多個！包含的元素可能是有限多個，也可能是無限多個！2022-3-20北京郵電大學電子工程學院27第一節第一節 集合代數和集合代數和 - -代數代數定義定義1.1.2 設設 是任一非空集合，是任一非空集合， A A是由是由 的一些子集組成的的一些子集組成的非空集合類，若非空集合類，若A A 滿足：滿足：kA A A若若A A A ，有，有AA A （余運算封閉）；（余運算封閉）；則稱則稱A A是是 上的一個上的一個 -代數。代數。若若 A A ，有，有 A A（可列并運算封閉）（可列并運算封閉）kA k1kk

28、A -代數代數A A包含的元素可能是有限多個，也可能是無限多個！包含的元素可能是有限多個，也可能是無限多個！集合類集合類 是一個是一個 -代數。代數。, 例例2022-3-20北京郵電大學電子工程學院28第一節第一節 集合代數和集合代數和 -代數代數定理定理1.1.2 設設A A是是 -代數，則：代數，則： -代數代數A A 一一定是集代數；定是集代數；若若 A A ，有，有 A A（可列交運算封閉）（可列交運算封閉）kA k 1kkA 若若 A ，且，且A，A ，則集合類則集合類 是一個是一個 -代數。代數。, AA 設設 是一非空集合，是一非空集合，F F 是由是由 的一切子集組成的集合類

29、，則的一切子集組成的集合類，則 F F 是一個是一個 -代數。代數。 顯然，集代數的交仍是集代數；顯然，集代數的交仍是集代數； -代數的交仍是代數的交仍是 -代數。代數。2022-3-20北京郵電大學電子工程學院29第一節第一節 集合代數和集合代數和 - -代數代數二、包含某一集合類的最小二、包含某一集合類的最小 - -代數代數 G G是由是由 的一些子集組成的非空集合類，那么至的一些子集組成的非空集合類，那么至少存在一個少存在一個 - -代數包含代數包含G G。為什么？。為什么？ 由于由于F F 是一個是一個 - -代數，且代數，且F F G G。 是否存在包含是否存在包含G G 的最小的最

30、小 - -代數？代數？若存在，是否唯若存在，是否唯一？一？2022-3-20北京郵電大學電子工程學院30第一節第一節 集合代數和集合代數和 - -代數代數 設設 是任一非空集合，是任一非空集合， G G是由是由 的一些子集組成的非的一些子集組成的非空集合類，則存在唯一的空集合類，則存在唯一的 - -代數代數F F0，滿足：，滿足：n G G F F0 ；1. 對包含對包含G G的任一的任一 - -代數代數A A，有，有F F0 A A證明：構造證明：構造F F * = A A，即，即所有包含所有包含G G 的的 - -代數的交。代數的交。G GA A 下面說明這樣構成的下面說明這樣構成的F F

31、 *即為包含即為包含G G的最小的的最小的 - -代數，代數， F F * = F F0 由于由于 - -代數的交仍為代數的交仍為 - -代數，所以代數，所以F F *為為包含包含G G的的 - -代數。代數。 由構造，則可知其最小性及唯一性。由構造，則可知其最小性及唯一性。定理定理1.1.32022-3-20北京郵電大學電子工程學院31第一節第一節 集合代數和集合代數和 -代數代數定義定義1.1.3 稱定理稱定理1.1.3中的中的F F0是包含是包含G G 的最小的最小 - -代數，或者代數，或者是由是由G G生成的生成的 - -代數，記為代數，記為 (G G)。例例1.1.2 設設A ，且

32、，且A，A ，則包含，則包含A的最小的最小 - -代數為代數為 。, AA三、三、Borel域域 設設 =R(1) ，考慮由，考慮由R(1)的一些子集組成的集合類：的一些子集組成的集合類： G G= (- ,a,a R(1) ，稱，稱 (G G)為為R(1)上上的的Borel域，記為域，記為B B(1) ，并稱，并稱B B (1)中的元素為一維的中的元素為一維的Borel集。集。2022-3-20北京郵電大學電子工程學院32第一節第一節 集合代數和集合代數和 -代數代數以上定義：以上定義： (G G)= B B (1) ，其中，其中G G= (- ,a,a R(1) (- ,a B B (1)

33、 ， (- ,b B B (1)當當b a ， (- ,b (- ,a = (a,b B B (1)另：另： 1111,1,B BB Bnnbabanban，則：，有而：而： 1,B Bbabab所以：所以：a,b B B (1) 2022-3-20北京郵電大學電子工程學院33推廣情形：推廣情形：設設 為為n維維實數空間，考慮由實數空間，考慮由 的一些子集組成的集合類：的一些子集組成的集合類：第一節第一節 集合代數和集合代數和 - -代數代數( )(1)12RR12nnix,x ,x :x,i, , n( )Rn稱稱 (G G)為為 上的上的Borel域，記作域，記作B B (n)。( )Rn

34、 11,:,1,2,niiiaaRinG G 121,(,):,1,2,其其中中niniiiax xxxa in2022-3-20北京郵電大學電子工程學院34第一節第一節 集合代數和集合代數和 - -代數代數四、單調類和四、單調類和 - -系、系、 - -系系 實際問題中要檢驗一個集合類是否為實際問題中要檢驗一個集合類是否為 - -代數比較困難，但把代數比較困難，但把集代數與單調類結合起來討論，會使問題簡化。集代數與單調類結合起來討論，會使問題簡化。定義定義1.1.4 設設A A 由由 的一些子集組成的非空集合類，且滿足：的一些子集組成的非空集合類，且滿足：A AA A12121,nnnnAA

35、AA,nA，則以后表為，若若A AA A12121,nnnnAAAA,nA，則以后表為，若若稱稱A A 是是 上的一個單調類。上的一個單調類。 容易證明，單調類的交仍是單調類。容易證明，單調類的交仍是單調類。2022-3-20北京郵電大學電子工程學院35第一節第一節 集合代數和集合代數和 -代數代數例例1 BA=A= , ,A, B ，例例2 A =A =,11 , 0( Znn，則，則A A不是單調類不是單調類。 1 , 0(11 , 0(1nnA A則則A A為單調類為單調類。A2022-3-20北京郵電大學電子工程學院36第一節第一節 集合代數和集合代數和 - -代數代數定理定理1.1.

36、4 設設 是任一非空集合，是任一非空集合， G G是由是由 的一些子集組成的的一些子集組成的非空集合類，則存在唯一的非空集合類，則存在唯一的 上的單調類上的單調類 0，滿足：，滿足：nkknnAB,nA121，令證明：若A A,nBn21 A AA A是集代數，則：G G 0對包含對包含G G 的任一的任一單調類單調類A A，有，有 0 A A稱這樣的單調類稱這樣的單調類 0為包含為包含G G 的最小單調類，記為的最小單調類，記為 (G G)定理定理1.1.5 -代數是單調類；若一集代數是單調類，則它是代數是單調類；若一集代數是單調類，則它是 -代數。代數。A AA A121nnnB,nB，則

37、是單調類，且：又2022-3-20北京郵電大學電子工程學院37第一節第一節 集合代數和集合代數和 - -代數代數定理定理1.1.6 若若A A是集代數，則：是集代數，則： (A A)= = (A A)證明：證明： - -代數一定是單調類，代數一定是單調類， (A A) (A A)因此只須證明因此只須證明 (A A)是一是一 - -代數。代數。 由于由于集代數集代數+ 單調類單調類 - -代數代數 ，所以只須證明，所以只須證明 (A A)是集代數即可！是集代數即可！(包含包含 ，對差運算封閉，對差運算封閉) A A (A A) 若若A，B (A A)，有：，有：AB (A A)2的證明如下：的證

38、明如下：2022-3-20北京郵電大學電子工程學院38第一節第一節 集合代數和集合代數和 - -代數代數證明：對任意的證明：對任意的A (A A)，作輔助集合類：，作輔助集合類： A=B：B (A A)，AB，BA (A A)若能證明對任意若能證明對任意A (A A) ，有：，有： A= (A A) 則則 (A A)對差運算封閉，得證。對差運算封閉，得證。這是因為對任意這是因為對任意A，B (A A)， 由于由于 A= (A A) ，則，則B A A，則則BA (A A)，于是，于是 (A A)對對差運算封閉差運算封閉顯然：顯然： A (A A) 。下證對下證對任意的任意的A (A A)， (

39、A A) A ，即即 A 為包含為包含A A 的單調類的單調類2022-3-20北京郵電大學電子工程學院39第一節第一節 集合代數和集合代數和-代數代數不妨分三步加以說明：不妨分三步加以說明： 輔助集合類輔助集合類 A 為為單調類單調類 當當A A A 時，時，A A A1. 當當A (A A) ，有：，有：A A A2022-3-20北京郵電大學電子工程學院401、首先證明、首先證明A (A A) ， A是單調類是單調類1nAnnAnBBB欲證明：若，且，有： 為單調類，而且，A AnnnBAABB A AA AABBABBnnnAn，且，則111,nnnnnnBBAA B，且AAA1111

40、nnnnnnnnBABAABA B又：，AAA1nnB即證：1,nnBA11nnnnBAABAA，(1)2022-3-20北京郵電大學電子工程學院411nAnnAnBBB欲證明：若，且，有：(2)1、首先證明、首先證明 A是單調類是單調類同理可證。同理可證。從而證明對任意的從而證明對任意的A (A A) ， A是單調類是單調類2022-3-20北京郵電大學電子工程學院42ABB，有欲證：A A A AA AA ABAAB，是集代數，有： A AA ABABAA當時，有：AA 當當A A A ，有：，有：A A A,BAB AA BAA，即證：2022-3-20北京郵電大學電子工程學院43 BB A AA A ，有有等等價價于于證證明明： AB A A而而 A AA AA A AAA，即即的的結結論論有有：，由由2( )則則，AB,B AA AB A A即即： 當當A (A A) ，有：，有：A A AB, AA有有即即證證對對A ABA 于于是是. )(,A AA A ABB,AA,A有有即即證證對對2022-3-20北京郵電大學電子工程學院44第一節第一節