1、第四章第四章 平面圖形的幾何性質平面圖形的幾何性質4 4-1 1 靜矩和形心靜矩和形心4 4-2 2 慣性矩慣性矩極慣性矩極慣性矩慣性積慣性積4 4- -3 3 平行移軸公式和組合圖形慣性矩、平行移軸公式和組合圖形慣性矩、慣性積的計算慣性積的計算4 4- -4 4 轉軸公式轉軸公式主慣性軸和主慣性矩主慣性軸和主慣性矩比較比較分類法分類法第第4章知識點章知識點靜矩與形心靜矩與形心概念概念慣性矩、極慣性矩、慣性矩、極慣性矩、慣性積、慣性半徑慣性積、慣性半徑的概念的概念 平行移軸公式平行移軸公式 （應用公式注（應用公式注 意事項）意事項）靜矩（包括組合圖靜矩（包括組合圖形）的計算形）的計算記住幾種特

2、殊平面圖記住幾種特殊平面圖形的慣性矩和極慣性形的慣性矩和極慣性矩（矩形、圓形、圓矩（矩形、圓形、圓環）環）轉軸公式轉軸公式求組合圖形慣性矩求組合圖形慣性矩和慣性積的方法和慣性積的方法主慣性軸、主慣性主慣性軸、主慣性矩、形心主慣性軸矩、形心主慣性軸和形心主慣性矩的和形心主慣性矩的概念概念確定形心主慣性軸確定形心主慣性軸和形心主慣性矩的和形心主慣性矩的方法方法平面圖形的幾何性質平面圖形的幾何性質 與桿橫截面與桿橫截面形狀形狀、尺寸有關尺寸有關的的幾何量幾何量NF A NElFl A如：如：本章介紹：本章介紹：平面圖形幾何性質中一些概念的定義、計平面圖形幾何性質中一些概念的定義、計算方法和性質，如靜

3、矩、慣性矩、極慣性矩等。算方法和性質，如靜矩、慣性矩、極慣性矩等。 在軸向拉（壓）中：在軸向拉（壓）中：在扭轉這一章中：在扭轉這一章中： AAId2p 在彎曲應力這一章中：在彎曲應力這一章中：AzAySd AzAyId 24-4-1 靜矩和形心靜矩和形心一、靜一、靜矩矩二、形心二、形心三、組合圖形的靜矩和三、組合圖形的靜矩和形心形心一、靜一、靜矩矩整個圖形整個圖形 A 對對 x 軸的靜矩：軸的靜矩：整個圖形整個圖形 A 對對 y 軸的靜矩：軸的靜矩：ydA微面積微面積 dA 對對 x 軸的靜矩軸的靜矩xdA微面積微面積 dA 對對 y 軸的靜矩軸的靜矩定義：定義：（面積矩）（面積矩） 靜矩是對

4、某一根軸而言的，其值可以為正、負或靜矩是對某一根軸而言的，其值可以為正、負或零，零，單位：單位：m3、cm3、mm3。 AxAySd AyAxSdxyOAydAx結論：遍及于整個圖形上的微面積結論：遍及于整個圖形上的微面積 dA與它到與它到x 軸（軸（ y 軸）軸）距離乘積的總和稱為整個圖形對距離乘積的總和稱為整個圖形對x 軸（軸（ y 軸）的靜矩。軸）的靜矩。二、形心二、形心有有由理論力學知由理論力學知CAxyAAyS d ACyxAAxSdASAAyyASAAxxxACyACdd討論：若某軸過形心，則圖形對該軸靜矩為零；反討論：若某軸過形心，則圖形對該軸靜矩為零；反之之, ,圖形對某軸靜矩

5、為零，則該軸必過形心。圖形對某軸靜矩為零，則該軸必過形心。ydAxxyOAxCCyC結論：平面圖形對某軸的靜矩等于平面圖形的面積乘以結論：平面圖形對某軸的靜矩等于平面圖形的面積乘以平面圖形的形心到該軸的距離。平面圖形的形心到該軸的距離。例例4-1 4-1 求三角形求三角形ABCABC對底邊對底邊BCBC的靜矩的靜矩解解: :)(,yhhbDEbDEhyhbhABCOyxdyDEyyyyhhbSxd)(dhAxxydyyhhbdSS0)(積分得積分得：203261312bhxxhhbShx3)21(hbhSx三、組合圖形的三、組合圖形的靜矩和形心靜矩和形心 組合圖形組合圖形由幾個簡單圖形由幾個簡

6、單圖形（如矩形、圓形等）（如矩形、圓形等） 組成組成的平面圖形的平面圖形如：如：1. .靜矩靜矩 AxAySd nAAAy1d niAiAy1d nixiS12. .形心形心CyA 1AxAxCiniiC niCiiyA1xyOCxCyC niyiySS1CxA niCiixA1 1AyAyCiniiC 結論：組合圖形各組成部分對某一軸靜矩的代數和，等結論：組合圖形各組成部分對某一軸靜矩的代數和，等于整個圖形對同一軸的靜矩。于整個圖形對同一軸的靜矩。注意：若組合圖形中有被注意：若組合圖形中有被挖去的圖形，則被挖去的圖形的靜矩用負值帶入。挖去的圖形，則被挖去的圖形的靜矩用負值帶入。2122112

7、211001890000mm1003020021530200AAyAyAASyxSyAyASxCCy2x例例4-24-2 確定組合圖形的靜確定組合圖形的靜矩和形心坐標矩和形心坐標mm 2302001003020021530200 mm 5 .157 解：解：2002003030 x（參考軸）yyCC例例4-3 4-3 確定圖示圖形形心確定圖示圖形形心C C的位置。的位置。解：解：AxAASxCiiyCmm7 .397001200510706012010AyAASyCiixCmm7 .197001200451070512010 xy4-4-2 慣性矩慣性矩 極慣性積極慣性積 慣性積慣性積一、一、

8、慣性矩慣性矩二、二、極慣性矩極慣性矩三、慣性積三、慣性積四、慣性半徑四、慣性半徑五、組合截面的慣性矩、慣性積五、組合截面的慣性矩、慣性積一、慣性一、慣性矩矩整個圖形整個圖形 A 對對x 軸的慣性矩軸的慣性矩整個圖形整個圖形 A 對對 y 軸的慣性矩軸的慣性矩y2dA微面積微面積 dA 對對 x 軸的慣性矩軸的慣性矩x2dA微面積微面積 dA 對對 y 軸的慣性矩軸的慣性矩定義：定義： 慣性矩是對某一根軸而言的，它永遠為正值，慣性矩是對某一根軸而言的，它永遠為正值，單位：單位：m4、cm4、 mm4。 AxAyId 2 AyAxId2xyOAydAx結論：遍及于整個圖形上的微面積結論：遍及于整個

9、圖形上的微面積 dA與它到與它到x 軸（軸（ y 軸）距軸）距離平方乘積的總和稱為整個圖形對離平方乘積的總和稱為整個圖形對x 軸（軸（ y 軸）的慣性矩。軸）的慣性矩。二、極慣性矩二、極慣性矩即：即： AAId2p xyIII p AAAyAxdd22結論：結論：平面圖形對任意一點的極慣性矩等于該圖形對通過該點的平面圖形對任意一點的極慣性矩等于該圖形對通過該點的任意一對相互垂直的坐標軸的慣性矩之和。任意一對相互垂直的坐標軸的慣性矩之和。xyOAydAx AAyxd22若若 x 、 y 軸為一對正交坐標軸軸為一對正交坐標軸 AAId2p 定義：定義：遍及于整個截面上的微面積遍及于整個截面上的微面

10、積 與它與它到坐標原點到坐標原點O距離平方乘積的總和稱距離平方乘積的總和稱為截面圖形對坐標原點為截面圖形對坐標原點O的極慣性矩。的極慣性矩。dA極慣性矩是對坐標原點極慣性矩是對坐標原點O O 而言的，它恒為正，而言的，它恒為正，單位：單位：m4 、cm4、mm4。整個圖形整個圖形 A 對對 x 軸、軸、 y軸的慣性積軸的慣性積定義：定義： xydA微面積微面積 dA 對對 x 軸、軸、 y 軸的慣軸的慣性積性積 慣性積是對一對坐標軸而言的，它可為正、負或為零，慣性積是對一對坐標軸而言的，它可為正、負或為零， 單單 位：位：m4、cm4 、mm4。 AxyAxyId設：設： x 軸和軸和 y 軸

11、為一對相互垂直的坐標軸軸為一對相互垂直的坐標軸三、三、慣性積慣性積xyOAydAx結論：遍及于整個圖形上的微面積結論：遍及于整個圖形上的微面積 dA與它到與它到x 軸、軸、 y 軸距離乘軸距離乘積的總和稱為整個圖形對積的總和稱為整個圖形對x 軸、軸、 y 軸的慣性積。軸的慣性積。慣性慣性積的性質積的性質當當 x 、 y 軸中有一軸為對稱軸軸中有一軸為對稱軸xyO AxyAxyId niiiiiiiAAyxAyxi10lim niiiiAAyxi210lim0 xyA xyA -性質性質 ： 在一對正交軸中，只要有一個對稱軸，則該圖形對這對軸在一對正交軸中，只要有一個對稱軸，則該圖形對這對軸的慣

12、性積為零。的慣性積為零。 (1) (1) 矩形截面的慣性矩矩形截面的慣性矩xI 12 3bh 12 3hbIy 1xIxCyydydAOx1y 222dhhybyh2_h2_b2_b2_ AAy d2 AAy d2 hyby02d33bh 常用圖形的慣性矩和極慣性矩（常用圖形的慣性矩和極慣性矩（必須記住必須記住）：）： bhI x123討論：討論：(2) (2) 環形截面的極慣性矩環形截面的極慣性矩即即yzddA=rd d rdDrd rO AAId2p Dd 式中式中 )1(32 44p DI 22202d dDdrrr 323244dD ( (3) ) 圓形截面的極慣性矩圓形截面的極慣性矩

13、 在環形截面中，令在環形截面中，令 = = 0，得到，得到 32 4pDI （4）圓形截面的慣性矩）圓形截面的慣性矩D324D pIIIyx 由對稱性由對稱性644D IIyx（3）環形截面的慣性矩）環形截面的慣性矩dxyO)(DII yx44164圖形對圖形對 x 軸的軸的慣性慣性半徑半徑慣性半徑是對某一根軸而言的，慣性半徑是對某一根軸而言的， 單位：單位： m、cm 、mm。型鋼的慣性矩、慣性半徑等可查材料力學書。型鋼的慣性矩、慣性半徑等可查材料力學書中的附錄。中的附錄。AIixx AIiyy 2 AIxxi2 AIyyi四、四、 慣性半徑慣性半徑 在力學計算中，有時把在力學計算中，有時把

14、慣性矩慣性矩寫成寫成即：即：圖形對圖形對 y 軸的軸的慣性慣性半徑半徑注意：注意：即：即：? Cxyi ? d 222CxAxyAiAAyI Cxyi Cyxi 思考下列問題思考下列問題:慣性矩能否這樣寫慣性矩能否這樣寫:五、組合截面的慣性矩五、組合截面的慣性矩 、慣性積、慣性積組合截面的慣性矩、慣性積組合截面的慣性矩、慣性積 niyiyII1nixixII1nixyixyII1為第為第 i個簡單截面對個簡單截面對 y, x 軸的慣性矩，慣性積。軸的慣性矩，慣性積。xyixiyiIII,注意：若組合圖形中有被挖去的圖形，則該圖形的慣注意：若組合圖形中有被挖去的圖形，則該圖形的慣性矩、慣性積用負

15、值代入。性矩、慣性積用負值代入。結論：組合截面對某軸的慣性矩（或某對軸的慣性積）結論：組合截面對某軸的慣性矩（或某對軸的慣性積）等于各簡單圖形對某軸（或某對軸的慣性積）的代數和。等于各簡單圖形對某軸（或某對軸的慣性積）的代數和。4-4-3 平行移軸公式和組合圖形慣性矩、平行移軸公式和組合圖形慣性矩、慣性積的計算慣性積的計算一、平行移軸公式一、平行移軸公式二、組合圖形慣性矩、慣性積的計算二、組合圖形慣性矩、慣性積的計算一、平行移軸公式一、平行移軸公式bxxC 2AaIICxx ayyC CxI AxAyId2 ACAayd)(2 AACAaaAyd 2d22 ACAy d0 Aa2 即：即：yO

16、AxCdAyxxccycyxcab 2AaIIcxx 2abAIIAbIICCCyxxyyy CyyII CxxII 顯然：顯然：即：在平面圖形對所有相互平行的坐標軸的慣性矩即：在平面圖形對所有相互平行的坐標軸的慣性矩 中，以對形心軸的慣性矩為最小。中，以對形心軸的慣性矩為最小。同理同理上式即為上式即為慣性矩和慣性積的平行軸公式慣性矩和慣性積的平行軸公式。注意：注意：a、b是是式圖形形心式圖形形心C的坐標，應用平行移軸公式時要考慮正負的坐標，應用平行移軸公式時要考慮正負號。號。yOAxCdAyxxccybacyxc 上述平行移軸公式用文字表達為：截面對任意軸的慣性矩，等于截面對與該軸平行的形心

17、軸的慣性矩加上截面面積與兩軸間距平方的乘積；截面對任意一對正交軸系的慣性積，等于截面對與這對軸平行的一對正交形心軸的慣性積加上截面面積與兩對軸之間距離的乘積（必須記住）。 2AaIIcxx 2abAIIAbIICCCyxxyyy yOAxCdAyxxccybacyxc二、組合圖形慣性矩、慣性積的計算二、組合圖形慣性矩、慣性積的計算組合圖形對形心軸慣性矩或形心對軸慣性積的計算方法組合圖形對形心軸慣性矩或形心對軸慣性積的計算方法:1、用分割法或負面積法算組合圖形的形心坐標、用分割法或負面積法算組合圖形的形心坐標 、 ： 通過組合圖形的形心作形心軸通過組合圖形的形心作形心軸 、 。 cxcy2、寫出

18、組合圖形對形心軸、寫出組合圖形對形心軸 、 或形心對軸或形心對軸 慣性矩和慣性矩和慣性積公式：慣性積公式：xixIIyiyIIxiyixyII（1）3、用平行移軸公式分別算出各簡單圖形對形心軸或形、用平行移軸公式分別算出各簡單圖形對形心軸或形心對軸的慣性矩和慣性積：心對軸的慣性矩和慣性積：iixcixiAaII2iizciziAaII2iiixciycixiyiAbaII（2）4、將（、將（2）式代入）式代入(1）,即可求出即可求出 。xyyxIII,AxAxiicAyAyiicxyxoyxy解：解：cccyyyIII12200303 47mm 1005. 2 12302003 1230200

19、3 42mm 302005 .57 12 1AIIccxx1a47mm 1098. 3 22 2AIIccxx2acccxxxIII47mm 1001. 6 cxIcyI例例 4-4 求求 和和III200200303047mm 1003. 2 xcCcyc157.5a1a2xC1xC2 例例4-54-5：求圖示平面圖形對：求圖示平面圖形對x x、y y軸的慣性矩軸的慣性矩 Ix、 IyCL6TU11yxaad（y y為對稱軸、過形心）為對稱軸、過形心）646128212223343daddadIIIyIIyIyIIIII解解（1 1）求求Iy（2)2)求求Ix: :xxxIII2I12)2(

20、3adIx12824ddd22823dda2282312)2(3adIxI22)32)(8(dadIIcIIxxII224)32)(8(128dddIxcIIyxaadIIIII一、轉軸公式一、轉軸公式二、主慣性軸、主慣性矩二、主慣性軸、主慣性矩4 4- -4 4 轉軸公式轉軸公式主慣性軸和主慣性矩主慣性軸和主慣性矩一、轉軸公式一、轉軸公式規定：規定： 角逆時針轉向為角逆時針轉向為 + sincos1yxx 兩組坐標系之間的關系：兩組坐標系之間的關系： sincos1xyy 將（將（3）分別代入（）分別代入（2）中各式，）中各式， AyxAyAxAyxIAxIAyId ,d ,d1121211

21、111xyOdAyxA x1y1x11yAxyAyAxAdxyI AdxI AdyI,22（1）（2）（3） 2cos2sin2 2sin2cos22 2sin2cos22 1111xyyxyxxyyxyxyxyyxyxxIIIIIIIIIIIIIIII xyOdAyxA x1y1x11y將（將（2）式展開，注意（）式展開，注意（1）式）式最后得到如下兩組坐標系關系最后得到如下兩組坐標系關系 的結果，即的結果，即轉軸公式轉軸公式：顯然顯然const pI 性質性質：平面圖形對通過一點的任意一對正交軸的兩個：平面圖形對通過一點的任意一對正交軸的兩個 慣性矩之和為常數，且等于圖形對該點的極慣慣性矩

22、之和為常數，且等于圖形對該點的極慣 性矩。性矩。 11yxyxIIII xyOdAyxA x1y1x11y二、主慣性軸、主慣性矩二、主慣性軸、主慣性矩 1. .定義定義主慣性軸主慣性軸慣性積為零的一對坐標軸，簡稱主軸慣性積為零的一對坐標軸，簡稱主軸主慣性矩主慣性矩圖形對主慣性軸的慣性矩圖形對主慣性軸的慣性矩形心主慣性軸形心主慣性軸通過圖形形心的主慣性軸通過圖形形心的主慣性軸形心主慣性矩形心主慣性矩圖形對形心主慣性軸的慣性矩圖形對形心主慣性軸的慣性矩討論：討論：1）若圖形有一根對稱軸，則對稱軸與任一和它垂直的）若圖形有一根對稱軸，則對稱軸與任一和它垂直的 軸就構成主軸。軸就構成主軸。 2）若圖形

23、有兩根對稱軸，則兩根對稱軸即為主軸，因）若圖形有兩根對稱軸，則兩根對稱軸即為主軸，因為它通過圖形的形心，所以又是形心主軸。為它通過圖形的形心，所以又是形心主軸。 3）若圖形沒有對稱軸，則主軸、形心主軸需通過計算）若圖形沒有對稱軸，則主軸、形心主軸需通過計算確定，下面就來研究這種情況。確定，下面就來研究這種情況。 2cos2sin2 2sin2cos22 2sin2cos22 1111xyyxyxxyyxyxyxyyxyxxIIIIIIIIIIIIIIII （1）主慣性軸的方位）主慣性軸的方位 設主慣性軸的方位為設主慣性軸的方位為 0，對應的坐標軸為，對應的坐標軸為 x0、y0令令得到得到02c

24、os2sin20000 xyyxyxIIII 22 tg0yxxyIII2 2、主慣性軸及主慣性矩的求解、主慣性軸及主慣性矩的求解）（。或，；，；，；，為為銳銳角角注注：在在第第四四象象限限，則則在在第第三三象象限限，則則在在第第二二象象限限，則則在在第第一一象象限限，則則IIIIII-III-IIIyxxyyxxyyxxyyxxy-360220021802200218022002220022000000000討論：討論：（2） 主慣性矩主慣性矩因因故故 22 tg0yxxyIIIxyxyxyxy220 220422sinxyyxxyIIII 22042cosxyyxyxIIIII 有有 4)

25、(212 2200 xyyxyxyxIIIIIII 2sin2cos222sin2cos2211xyyxyxyxyyxyxxIIIIIIIIIIII（3）主慣性矩的性質）主慣性矩的性質 當當Ix1取極值時，取極值時，對應對應的方位為的方位為 1 得到得到 11dd xI0 112cos22sin)( xyyxIIIyxxyIII 22tg1 02tg 即：即：01 性質性質：主慣性矩為極值慣性矩，其中一個為極大慣性：主慣性矩為極值慣性矩，其中一個為極大慣性 矩矩Imax，另一個為極小慣性矩，另一個為極小慣性矩Imin。令令 2sin2cos22 1xyyxyxxIIIIII3、求形心主慣性軸的

26、位置及形心主慣性矩大小的步驟：、求形心主慣性軸的位置及形心主慣性矩大小的步驟：1）找出形心位置（）找出形心位置（由分割法、負面積法計算由分割法、負面積法計算）；）；2）通過形心）通過形心C 建立參考坐標建立參考坐標 xOy，求出，求出Ix、Iy、Ixy（見組合截面慣性矩、慣性積的計算方法見組合截面慣性矩、慣性積的計算方法）3）求）求0、Ix0、Iy0（由本節的公式計算由本節的公式計算） 例例4-6 4-6 一截面的尺寸如圖所示，已知截面的一截面的尺寸如圖所示，已知截面的形心形心C C位于截面上邊緣以下位于截面上邊緣以下20mm20mm和左邊緣以右和左邊緣以右40mm40mm處處, ,試計算截面

27、的形心主慣性矩。試計算截面的形心主慣性矩。 通過截面形心通過截面形心C C，先選擇一對分別與上邊緣和左，先選擇一對分別與上邊緣和左邊緣平行的形心軸邊緣平行的形心軸 ( (見圖見圖) )。CCyx 和mmamma25,15解:mmbmmb35,20列表計算圖示截面列表計算圖示截面對所選形心軸的慣對所選形心軸的慣性矩和慣性積性矩和慣性積( (參參看圖看圖) )如下如下 0Cx0Cy將截面分為將截面分為I I，IIII兩兩矩形，兩矩形形心矩形，兩矩形形心坐標分別為坐標分別為29.6133.870.8項目列號分塊號iAi mm2mm104mm4aibiai2Aibi2AixciI （1）（2）（4）（

28、3）（5）（6）120070015-2520352743.84885.8128.697.3097.3144.63661.3項目列號分塊號i（7）（8）（9）（10）（11）（12)104mm4iyCIixCIiyCIiiyCxCIiiyCxCI0019286.43661.32872.41440.6278.4100.3計算列表計算列表iiiAba把求得的把求得的 代人式（代人式（4-134-13），得），得xCyCyCxCIII,093.1104 .278104 .100103 .97222tan4440yxxyIIIoo8 .1136 .227200即形心主慣性軸即形心主慣性軸xco可從形心軸

29、可從形心軸x xc c沿逆時針向轉沿逆時針向轉11380得到。得到。把求得的把求得的 代人式（代人式（4-154-15），），即即得得形心形心主慣性矩的數值主慣性矩的數值xCyCyCxCIII,)(104 .5722)(10321224422min4422max00mmIIIIIIImmIIIIIIIccCCyxycxcycxcyCyxycxcycxcxC解：解：例例 2 求圖示圖形的形心主慣性矩。求圖示圖形的形心主慣性矩。yz120108010IIIC zcyycz_212211AAyAyAy cm 171215 . 4175 . 0121 cm 97. 1 212211AAzAzAz cm 171215 . 0176121 cm 97. 3 1. .確定確定形心位置形心位置解：解：例例 2 求圖示圖形的形心主慣性矩。求圖示圖形的形心主慣性矩。yz120108010IIIC zcyycz_ 2. .求求 、 和和CyICzICCzyI1211AaIICCyy 12197. 361212123 45.193 4cm2222AaIICCyy 715 . 097. 3121723 87.84 4cm 32.278 CCCyyyIII4cm解：解：例例 2 求圖示圖形的形心主