1、相相 似似 理理 論論什么是相似什么是相似? ?一、相似的基本理論一、相似的基本理論 相似的概念相似的概念 幾何相似幾何相似 -一個物體經過均勻變形后和另一個物體完全重合稱為兩個物體一個物體經過均勻變形后和另一個物體完全重合稱為兩個物體幾何相似。幾何相似。 運動相似運動相似 -兩個幾何相似的物體運動時，對應點的運動路徑幾何相似，并兩個幾何相似的物體運動時，對應點的運動路徑幾何相似，并且對應點經過對應路徑的時間之比是常數，稱為兩個物體運動相似。且對應點經過對應路徑的時間之比是常數，稱為兩個物體運動相似。動力相似動力相似-兩個幾何相似和運動相似的物體，對應點受力成比例，成為兩兩個幾何相似和運動相似

2、的物體，對應點受力成比例，成為兩個物體個物體動力相似動力相似 。一、相似的基本理論一、相似的基本理論 相似理論相似理論相似第一定律相似第一定律-“彼此相似的現象，它們的同名相似準則必相彼此相似的現象，它們的同名相似準則必相等等。” 相似第二定律相似第二定律-“相似的現象中由相似準則所描述的函數關系對相似的現象中由相似準則所描述的函數關系對兩個現象是相同的。兩個現象是相同的。” 相似第三定律相似第三定律-“凡是單值條件相似，由單值量所組成的相似準凡是單值條件相似，由單值量所組成的相似準則相等的同類現象必定彼此相似則相等的同類現象必定彼此相似。” 一、相似的基本理論一、相似的基本理論 相似第一定律

3、是關于相似準則存在的定理。相似第一定律是關于相似準則存在的定理。 相似第二定律解決了實驗數據的整理方法和實驗相似第二定律解決了實驗數據的整理方法和實驗結果的應用問題。結果的應用問題。 相似第三定律確定了現象相似的充分必要條件。相似第三定律確定了現象相似的充分必要條件。 推導相似第一定律、第三定律得出第二定律研究相似理論的目的 按照相似原理設計模型試驗(相似第三定律） 根據模型試驗的結果整理出原型對應的成果（相似第二定律）與流體力學有關的相似參數與流體力學有關的相似參數VllVVl22Re Reynolds粘性力慣性力數英國物理學家（英國物理學家（1842-1912）。）。主要應用范圍：流體運動

4、，速度變化很大的流動。主要應用范圍：流體運動，速度變化很大的流動。avMa氣體壓縮力慣性力數 Mach德國物理學家（德國物理學家（1838-1916）。）。主要應用范圍：氣體的可壓縮流動。主要應用范圍：氣體的可壓縮流動。與流體力學有關的相似參數與流體力學有關的相似參數glVglVlFr322 Froude重力慣性力數英國造船專家。英國造船專家。主要應用范圍：受重力影響的運動。主要應用范圍：受重力影響的運動。VflfmlklSt2 Strouhal慣性力彈簧的彈性力數捷克物理學家（捷克物理學家（1850-1925）。）。主要應用范圍：彈性結構體的振動；卡門渦街。主要應用范圍：彈性結構體的振動；卡

5、門渦街。與流體力學有關的相似參數與流體力學有關的相似參數22122222 EulerVpVlplEu慣性力壓力數瑞士數學家、物理學家（瑞士數學家、物理學家（1707-1783）。）。主要應用范圍：管流、繞流、氣蝕、流體機械。主要應用范圍：管流、繞流、氣蝕、流體機械。SCVMCSVDCSVLCVlFNeMDL22122122122,Newton如：慣性力外力數英國數學家、自然哲學家（英國數學家、自然哲學家（1642-1727）。）。主要應用范圍：繞流主要應用范圍：繞流與流體力學有關的相似參數與流體力學有關的相似參數lVllVlRo233 Rossby離心力科里奧利力數瑞典籍美國氣象學家（瑞典籍美

6、國氣象學家（1898-1957）。）。主要應用范圍：大氣移動和海流。主要應用范圍：大氣移動和海流。222 WeberlVlVlWe表面張力慣性力數德國機械專家（德國機械專家（1871-1945左右）。左右）。主要應用范圍：受表面張力影響的現象。主要應用范圍：受表面張力影響的現象。與流體力學有關的相似參數與流體力學有關的相似參數ReKarmenKa數 匈牙利籍美國空氣動力學家（匈牙利籍美國空氣動力學家（1881-1955）。）。主要應用范圍：稀薄氣體的主要應用范圍：稀薄氣體的Re數。數。KaMalVlalalVKn)(/(/ Knudsen2222慣性力絕熱壓縮力稀薄氣體的粘性力數物理學家（物理

7、學家（1871-1949）。）。主要應用范圍：稀薄氣體在壁面附近流動。主要應用范圍：稀薄氣體在壁面附近流動。與傳熱學有關的相似參數與傳熱學有關的相似參數ppCVlCVl2323EcEckert蓄熱量慣性能數德國藉美國熱力學家（德國藉美國熱力學家（1904-）。）。主要應用范圍：強迫對流傳熱。主要應用范圍：強迫對流傳熱。2322232GrashoflglVVllgGr粘性力慣性力浮力數德國技術專家（德國技術專家（1826-1893）。）。主要應用范圍：熱氣體流動。主要應用范圍：熱氣體流動。與傳熱學有關的相似參數與傳熱學有關的相似參數FoNuVChlCthlStpp32 Stanton蓄積熱對流傳

8、熱數英國土木及機械專家（英國土木及機械專家（1865-1931）。）。主要應用范圍：固體壁與流體間傳熱。主要應用范圍：固體壁與流體間傳熱。khltklthlNu2Nusselt導熱量對流傳熱量數德國熱力學家（德國熱力學家（1880-1957）。）。主要應用范圍：傳熱。主要應用范圍：傳熱。與傳熱學有關的相似參數與傳熱學有關的相似參數klVClVtkllCVllV322PrPrandtl傳導熱量蓄積熱量慣性力粘性力數德國流體力學家（德國流體力學家（1875-1953）。）。主要應用范圍：受迫對流傳熱。主要應用范圍：受迫對流傳熱。lVlVCklCtklFo3 Fourier蓄積熱量傳導熱量數法國數學

9、家、熱力學家（法國數學家、熱力學家（1768-1830）。）。主要應用范圍：導熱。主要應用范圍：導熱。 =k/C 為溫度擴散率。為溫度擴散率。例題例題 根據雷諾相似準則導出流速、流量、時間、力、切應力等物理量比尺的表達式例題例題 根據重力相似準則導出流速、流量、時間、力、壓強等物理量比尺的表達式。最常用的流體力學相似準則判定方法：物理法則法： 雷諾相似準則 重力相似準則相似準則的第二種尋找方法：Pi定律如果只有一個相似準則，它必定是常數例題例題 油(比重為0.85,運動粘性系數0.24Ns/m2)以速度3.5m/s在直徑為100mm的管道中流動。問雷諾數多大？例題例題 一股垂直的水射流以速度7

10、6ft/sec從一個噴管向上噴出，其高度距離地面為90ft. 要使一股水流在月球上升到120ft的高度，問這股射流的速度應該多大？不計空氣阻力，月球的加速度為1/6地球的加速度。例題例題 為了研究潮汐，建造了一個1:600的模型。1）與原型中一天的時間相對應的模型的時間長度是多大？2)假設我們這個模型可以在月球上實驗，那么這種情況下，模型與原型的時間關系如何？例題例題 水流過一個1：35的溢洪道的頂部，在其上一個特定的點測得流速為0.46m/s.這個速度對應在原型上是多大？在模型某個面積上測得的受力為0.12N.問元模型對應面積上的力是多大？力的比尺是多少？例題例題 在一個模型溢洪道，每1m寬

11、度的流量為100L/s. 當模型比尺為1:20的時候，試問原型溢洪道中的1m寬度的流量為多少？例題例題 一個飛機模型，其尺寸是原型的1/30.計劃在一臺加壓的風洞中對此模型進行吹風實驗，空氣的溫度風速都和原型相同，試問在保證雷諾數相同的情況下，風洞中的壓強應該比大氣壓高出多少？例題例題 在船池中進行船模試驗，船模比尺為1/50,實船航速25km/h,分別假設流動:1)重力起主導作用；2)表面張力起主導作用；3)粘性力起主導作用。試計算船模的速度應該為多少才能保證動力相似？設實驗和實船都是在相同溫度的海水中。(Fr 3.54km/h,We 177km/h,Re 1250km/h）例題例題 有一個

12、1:50的船模，以速度1m/s在水中行駛，波阻力為0.02N 試求與之對應的原型的波阻。并求原型需要多大的馬力？原型的速度為多大？ 2500N,23.7Hp例題例題 在水槽中進行汽車模型試驗，以測定汽車以30m/s的速度行駛時的迎面阻力，（假定此時空氣的密度=1.224 kg/m3，運動粘性系數=1.51010-5m2/s，），模型比尺L=3，模型試驗時，水的密度=997.4 kg/m3，運動粘性系數=0.982910-6m2/s。問模型試驗水流速度應該是多少？（精確到0.001m/s）。假設在此速度下，測得模型的水阻力為5180N，問換算到汽車的阻力是多少？例題例題 某水閘泄水流量 =120

13、m3/s ，擬進行模型試驗。已知實驗室最大供水流量為 0.75m3/s ，則可選用的模型長度比尺 的最小值為多少？又測得模型閘門上的作用力 F=2.8 N，則原型閘門上的作用力為多少？ 7.61 1234N例題例題 在深水中進行炮彈模型試驗，模型的大小為實物的1/1.5，若炮彈在空氣中的速度為500km/h，問欲測定其粘性阻力時，模型在水中試驗的速度應當為多少？（設溫度t均為200C） (vm=13.99m/s)相似準則的第二種尋找方法：Pi定律布金漢布金漢定理的運用步驟定理的運用步驟1.確定關系式。根據對所研究現象的認識，確定影確定關系式。根據對所研究現象的認識，確定影響這個現象的各個物理量

14、及其關系式。響這個現象的各個物理量及其關系式。12( ,)0nf x xx 2.確定基本物理量。從確定基本物理量。從n個物理量中選取所包含的個物理量中選取所包含的m個基本物理量作為基本量綱的代表，一般取個基本物理量作為基本量綱的代表，一般取m=3。使基本量綱的行列式不等于零，即保障基。使基本量綱的行列式不等于零，即保障基本無論量相互獨立。本無論量相互獨立。3. 確定基本物理量依次與其余物理量組成的確定基本物理量依次與其余物理量組成的表達表達式。式。 解題步驟123(1,2,)iiiabciix x x xinm 4. 滿足滿足為無量綱相，由量綱和諧性原理定出各為無量綱相，由量綱和諧性原理定出各

15、項基本物理量的指數項基本物理量的指數a、b、c。 5. 寫出描述現象的關系式。寫出描述現象的關系式。 12(,)0n mf 題 目 在用布金漢在用布金漢定理時，要選取定理時，要選取3個相互基本物理個相互基本物理量，如何合理的選擇這量，如何合理的選擇這3個基本物理量呢？個基本物理量呢？ 答：（答：（1）基本物理量與基本量綱相對應。即若基本量綱選）基本物理量與基本量綱相對應。即若基本量綱選（M，L，T）為三個，那么基本物理量也選擇三個；倘若基）為三個，那么基本物理量也選擇三個；倘若基本量綱只出現兩個，則基本物理量同樣只須選擇兩個。本量綱只出現兩個，則基本物理量同樣只須選擇兩個。 （2）選擇基本物理

16、量時，應選擇重要的物理量。換句話說，）選擇基本物理量時，應選擇重要的物理量。換句話說，不要選擇次要的物理量作為基本物理量，否則次要的物理量不要選擇次要的物理量作為基本物理量，否則次要的物理量在大多數項中出現，往往使問題復雜化，甚至要重新求解。在大多數項中出現，往往使問題復雜化，甚至要重新求解。 （3）為保證三個基本物理量相互獨立，其量綱的指數行列式）為保證三個基本物理量相互獨立，其量綱的指數行列式應滿足不等于零的條件。一般是從幾何學量、運動學量、動應滿足不等于零的條件。一般是從幾何學量、運動學量、動力學量中各選一個，即可滿足要求。力學量中各選一個，即可滿足要求。題 目 文丘里流量計是用來測文丘

17、里流量計是用來測量有壓管路的流量，如右量有壓管路的流量，如右圖所示，已知圖所示，已知1-1斷面和斷面和2-2斷面之間的壓強差斷面之間的壓強差p隨流隨流量量Q，流體密度，流體密度，液體粘，液體粘度度 以及大小直徑以及大小直徑D1，D2變變化。試用化。試用定律求出的壓強定律求出的壓強降落降落p表示的流量公式。表示的流量公式。D1D22211Qh=pg文丘里流量計文丘里流量計1. 分析影響因素，列出函數方程分析影響因素，列出函數方程解解： 根據題意可知，壓強差根據題意可知，壓強差p p與通過的流量與通過的流量Q，流，流體的密度體的密度，液體的粘度，液體的粘度 以及大小直徑以及大小直徑D D1 1,

18、,D D2 2有關，有關，用函數關系式表示為：用函數關系式表示為：0),(21pDQDf可以看出函數中的變量個數可以看出函數中的變量個數 n6解題步驟解題步驟 選取三個基本物理量，它們分別是幾何學量選取三個基本物理量，它們分別是幾何學量D1，運動學量運動學量Q以及動力學量以及動力學量 。2. 選取基本物理量選取基本物理量1030130011dimdimdimMTLMTLQMTLD33101001100量綱指數行列式量綱指數行列式由量綱公式：由量綱公式：故上述所選的三個基本物理量式相互獨立的。故上述所選的三個基本物理量式相互獨立的。解題步驟3363n11111abcD Q222221abcDD

19、Q3. 列出無量綱列出無量綱值值列出列出 個無量綱的個無量綱的值。值。其中其中 為待定指數。為待定指數。iiia b c、33331abcpD Q4. 根據量綱和諧性原理，確定各根據量綱和諧性原理，確定各 項的指數項的指數11111313() ()abcL T MLLTL M對于對于1，其量綱式為：，其量綱式為：11111: 133: 1:1LabcTbMc 111111abc 所以所以：QD111解題步驟解題步驟222313() ()abcLLLTL M33312313() ()abcL T MLLTL M對于對于2，其量綱式為：，其量綱式為：對于對于3 ，其量綱式為：，其量綱式為：2221

20、00abc333421abc 122DD2413QDp解題步驟5. 寫出無量綱量方程寫出無量綱量方程0),(),(2411211321QDpDDQDff),(1211241DDQDfpQD)(Re,12121DDfpDQ 上式中的數可根據需要取其倒數，而不會改變它上式中的數可根據需要取其倒數，而不會改變它的無量綱性質。即：的無量綱性質。即：題 目 流體在水平圓管中作恒定流動，管道截面沿流體在水平圓管中作恒定流動，管道截面沿程不變，管徑為程不變，管徑為D，由于阻力的作用，壓強將沿，由于阻力的作用，壓強將沿流程下降，通過觀察，已知兩個相距為流程下降，通過觀察，已知兩個相距為 l 的斷面的斷面間的壓

21、強差間的壓強差p與斷面平均流速與斷面平均流速V，流體密度，流體密度，動，動力粘性系數力粘性系數以及管壁表面的平均粗糙度以及管壁表面的平均粗糙度等因素等因素有關。假設管道很長，管道進出口的影響不計。有關。假設管道很長，管道進出口的影響不計。試用布金漢試用布金漢定理求定理求p 的一般表達式。的一般表達式。 1. 列出上述影響因素的函數關系式列出上述影響因素的函數關系式 解解：解題步驟0),(plVDf100dimDLT M011dimMTLV103dimMTL2. 在函數式中在函數式中n7；選取；選取3個基本物理量，依次為個基本物理量，依次為幾何學量幾何學量D、運動學量、運動學量V和動力學量和動力

22、學量，三個基本物，三個基本物理量的量綱是理量的量綱是 解題步驟其量綱指數行列式為其量綱指數行列式為 故說明基本物理量的量綱是相互獨立的。故說明基本物理量的量綱是相互獨立的。可寫出可寫出n3734個無量綱個無量綱項。項。 10011010301 解題步驟3. 列出無量綱列出無量綱值值其中，其中， 為待定指數。為待定指數。iiia b c、1111abclD V2222abcD V3333abcD V4444abcpD V4. 根據量綱和諧性原理，各根據量綱和諧性原理，各項中的指數分別確定項中的指數分別確定如下（以如下（以1為例）為例） 11111:13:0:0LabcTbMc 111100abc

23、所以所以：1lD解題步驟11113() ()abcLLLTL M解題步驟 同理可得同理可得DV2D324Vp5. 寫出無量綱量方程，其中寫出無量綱量方程，其中2項根據需要取其倒數，項根據需要取其倒數，但不會改變其無量綱性質，所以但不會改變其無量綱性質，所以 0),(2VpDDVDlf解題步驟 求壓差求壓差p 時，以時，以 ， 代代入，可得入，可得 / ,Re/gDVvDV vgVDlDfphf2)(Re,21 令令 ，最后可得沿程水頭損失公式為，最后可得沿程水頭損失公式為 )(Re,1DfgVDlhf22上式就是沿程損失的一般表達式。上式就是沿程損失的一般表達式。定理定理MF2Hf061300

24、4題 目 試用瑞利法和試用瑞利法和定理（布金漢定理）推導圓定理（布金漢定理）推導圓柱繞流的阻力柱繞流的阻力FD的表達式，并說明瑞利法和布的表達式，并說明瑞利法和布金漢金漢定理各適用于何種情況？已知圓柱繞流定理各適用于何種情況？已知圓柱繞流阻力阻力FD與圓柱的直徑為與圓柱的直徑為D、流體的流速為、流體的流速為V、流、流體的密度為和流體的動力粘滯系數為有關。體的密度為和流體的動力粘滯系數為有關。Vd1. 已知與阻力已知與阻力FD有關的物理量為有關的物理量為d，V，即，即 解解：一、瑞利法求解一、瑞利法求解 解題步驟2. 將阻力寫成將阻力寫成d，V， ， 的指數乘積形式，即的指數乘積形式，即 ( ,

25、 , , )DFf D V abceDFkD V 3. 寫出量綱表達式寫出量綱表達式 ()abceDDimFk Dim D V 解題步驟 因為上面的三個方程式中有四個未知數，所以因為上面的三個方程式中有四個未知數，所以不能全部解出。我們保留其中的不能全部解出。我們保留其中的e，待實驗中去確定，待實驗中去確定，并用它表示其余的指數并用它表示其余的指數 4. 選選L、T、M作基本量綱，表示各物理量的量綱作基本量綱，表示各物理量的量綱 23a bc ec eb eLMTLMT 5. 由量綱和諧性原理，求各量綱的指數由量綱和諧性原理，求各量綱的指數 L：1= a+b-3c-e M：1= c+eT：-2

26、=-b-ea=2-e，b=2-e，c=1-e解題步驟6. 帶入指數乘積式，得帶入指數乘積式，得 221eeeeDFkDV2222()()eek D Vk D VDVDV即即 22ReeDFk D V 如果令繞流阻力系數如果令繞流阻力系數 ，l為圓柱長，則為圓柱長，則得阻力公式得阻力公式 2ReDek DCl2222DDDVVFC lDC A 其中，繞流阻力系數其中，繞流阻力系數CD與物體的形狀和雷諾數與物體的形狀和雷諾數有關，最后由實驗確定。有關，最后由實驗確定。1. 根據題意，本題共有根據題意，本題共有5個物理量，即個物理量，即n = 5，這些，這些物理量之間存在下述關系式物理量之間存在下述

27、關系式 解題步驟2. 選取選取3個基本物理量，依次為幾何學量個基本物理量，依次為幾何學量D、運動、運動學量學量V和動力學量和動力學量，三個基本物理量的量綱是，三個基本物理量的量綱是 二、二、定理求解定理求解(, , , )0Df FD V 100dimDLT M011dimMTLV103dimMTL解題步驟其量綱指數行列式為其量綱指數行列式為 故說明基本物理量的量綱是相互獨立的。故說明基本物理量的量綱是相互獨立的。可寫出可寫出n3532個無量綱個無量綱項。項。 10011010301 解題步驟3. 列出無量綱列出無量綱值值其中，其中， 為待定指數。為待定指數。iiia b c、1111dabc

28、FD V2222abcD V4. 根據量綱和諧性原理，各根據量綱和諧性原理，各項中的指數分別確定項中的指數分別確定如下如下 對于對于1，其量綱式為，其量綱式為111213() ()abcLTMLLTL M11111:13: 2:1LabcTbMc 111221abc解題步驟122dFD V對于對于1，其量綱式為，其量綱式為2221113() ()abcL T MLLTL M22222: 13: 1:1LabcTbMc 222111abc12ReDVDV解題步驟5. 寫出無量綱量方程，其中寫出無量綱量方程，其中2項根據需要取其倒數，項根據需要取其倒數，但不會改變其無量綱性質，所以但不會改變其無量

29、綱性質，所以 22(Re)dFfD V22222(Re)(Re)()22dDDfVVFfD VlDC Al 式中：式中： ，稱為繞流阻力系數，與物體的，稱為繞流阻力系數，與物體的形狀和雷諾數有關，由實驗確定。形狀和雷諾數有關，由實驗確定。2(Re)DDfCl 由以上可以看出，用兩種不同的量綱分析法得由以上可以看出，用兩種不同的量綱分析法得到的結果完全相同。一般，瑞利法適用于比較簡單到的結果完全相同。一般，瑞利法適用于比較簡單的問題，相關變量未知數的問題，相關變量未知數n45個，而布金漢個，而布金漢定理定理是具有普遍性的方法。是具有普遍性的方法。 魚群探測器 設空氣氣泡在水中的振動固有頻率為N，

30、是水密度，局部壓力，氣泡大小的函數。試確定相互之間的關系。犁 設犁的深度H與土壤比重gama，土壤剪切強度C，犁重量W，拉力D原子彈爆破當量估計原子彈爆破當量估計 兩年以后，美國政府首次公開了這次爆炸的錄影帶，沒有發布任何有關的數據。如何對原子彈爆炸的能量進行估計？ Taylor通過研究這次爆炸的錄影帶，建立數學模型對這次爆炸所釋放的能量進行了估計。 1945年7月16日上午5時24分，美國科學家在新墨西哥州阿拉莫戈夫的“三一”試驗場內的一個30米高的鐵塔上進行試驗， 試爆了全球第一顆原子彈。泰勒，G.I.（Geoffrey Ingram Taylor 18861975）英國力學家 泰勒出生于

31、英國，倫敦。他的父親是一位藝術家。他的母親，瑪格麗特布耳的娘家是一個數學家家庭(他的阿姨是艾麗西亞布爾斯托特,他的祖父是喬治布爾，布爾代數的鼻祖)。泰勒爵士跟隨著他的祖父的腳步，在劍橋大學三一學院專修數學。在他還是個小孩子的時候他對于科學非常的著迷，在出席英國皇家科學學會的耶誕講座后和完成并進行使用油漆輥和粘性膠帶的實驗。 泰勒的第一篇論文涉及量子力學方面的研究。他將光源減弱到一個程度，在任何時間，最多只有一個光子通過雙狹縫，在這狀況下，他成功的證實，楊氏雙縫實驗仍舊能夠產生顯明的干涉圖樣。緊接著這重要的實驗結果，他又發表了一篇關于震波的論文。這杰作為他贏得了史密斯獎。他在關于湍流的學術領域也

32、頗有建樹，發表的論文Turbulent motion in fluids，為他贏得了 1915 年的亞當斯獎 (Adams Prize) 。 在1913 年，泰勒被聘為國際冰山巡邏隊 (International Ice Patrol) 巡邏船 (Scotia) 的氣象學家。他在船上所做的許多觀察，為日后的研究，空氣湍流混合的理論模式，奠定了寶貴的基礎。第一次世界大戰爆發后，因為泰勒精通于飛機設計，他被派到位于漢普夏郡的皇家飛機工廠 (Royal Aircraft Factory) 。在那里，他主要的工作是構思更先進的，能夠承受更多應力的螺旋槳軸。他不愿意簡單地過一個研究科學的生活，他也學會了如何開飛機與跳降落傘。 大戰結束后，泰勒回到三一學院，繼續做自己的研究工作。在那里，他應用湍流理論于海洋學研究物體通過旋轉液體的問題。1923 年，他被任命為皇家學會的雅羅研究教授 (Yarrow Research Professor) ，也因為被任為教授，再也不必花時間于教書他已經教了四年的書