1、v1.0可編輯可修改高一立體幾何平行、垂直解答題精選已知直三棱柱ABC-ABiG,點N在AC上且CN=3AN點MP,Q分別是AA,ABi,BC的中點.求證：直線PQ/平面BMN.2 .如圖，在正方形ABCD-ABGD中，E,F,M分別是棱BG,BB,GD的中點，是否存在過點E,M且與平面AiFC平行的平面若存在，請作出并證明；若不存在，請說明理由3 .在正方體ABCDABiCiDi中，M,O分別是AB,BD的中點.(1)求證：OM/平面AA1D1D；(2)求證：OMBC1.4 .如圖，AB為圓O的直徑，點E,F在圓O上，且AB/EF,矩形ABCD所在的平面和圓O所在的平面垂直，且ADEFAF1

2、,AB2.(1)求證：平面AFC平面CBF;(2)在線段CF上是否存在了點M,使得OM/平面ADF并說明理由.2試卷第7頁，總7頁5 .已知：正三棱柱ABCAB1C1中，AAi3,AB2,N為棱AB的中點.(1)求證：AC1平面NB1c.(2)求證：平面CNB1平面ABB1A1.(3)求四棱錐C1ANB1A的體積.6 .已知BCD中，/BCD=90,BC=CD=1ABL平面BCD/ADB=60,E、F分別是AGAD上的動點，且AC 第(01).(1)求證：不論為何值，總有平面BEFL平面ABC(2)當入為何值時，平面BE吐平面ACD7 .如圖，在菱形ABCD中，ABC60：,AC與BD相交于點

3、O,AE平面ABCD,CF/AE,ABAE2.2BC 4, AB 273, BAD 90°, M ,0 分別為(I)求證：BD平面ACFE；(II)當直線FO與平面ABCD所成的角的余弦值為亞0時，求證：EFBE;10(III)在(II)的條件下，求異面直線OF與DE所成的余弦值8 .如圖，四棱錐PABCD中，AD/BC,ADCD和AC的中點，PO平面ABCD.(1)求證：平面PBM平面PAC；PN(2)是否存在線段PM上一點N,使用ON平面PAB,若存在，求PN-的值；如果不存在，說明理由PM9.如圖，在四棱錐PABCD中，側面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD是

4、邊長為2的菱形,BAD 60,N是PB的中點，過 A,D,N三點的平面交 PC于M ,E為AD的中點，求證:四棱錐P ABCD中,-1CD -AD E F AD2CEF D CEF P ABD(1) EN/平面PDC;(2) BC平面PEB;(3)平面PBC平面ADMN.10 .如圖，ADBCBCCEPABPD11 .如圖，點P是菱形ABCD所在平面外一點，BAD60,等邊三角形，AB2,PA272,M是PC的中點.(I)求證：PA平面BDM;(n)求證：平面PAC平面BDM;(m)求直線BC與平面BDM的所成角的大小12 .在四棱錐ABCDE中，底面BCDE為菱形，側面ABE為等邊三角形，且

5、側面ABE底面BCDE,O,F分別為BE,DE的中點.(I)求證：AOCD.(n)求證：平面AOF平面ACE.AP(出)側棱AC上是否存在點P,使得BP平面AOF若存在，求出上的值；若不存在，請說明理由PC13 .在四棱錐PABCD中，側面PCD底面ABCD,PDCD,E為PC中點，底面ABCD是直角梯形，AB/CD,ADC90：,ABADPD1,CD2.(2)求證：BC平面PBD;(3)在線段PC上是否存在一點Q，使得二面角QBDP為45若存在，求四的值；若不存在，請述PC明理由.V1.0可編輯可修改參考答案1 .見解析【解析】試題分析：根據(jù)題目給出的巳Q分別是AiB,BC的中點，想到取AB

6、的中點G連接PGQG后分別交BMBN于點E,F,根據(jù)題目給出的線段的長及線段之間的關系證出GE=GF=1,從而得到EF/PQ然后利用線面平行的判定即可得證;EPFQ31試題解析：如圖，取AB中點G連接PGQG別交BMBN于點E,F,則E,F分別為BMBN的中點.而GEAM2GEAMGF/Ian,GF=1aN,且CN=3AN所以GE=1,GF=AN-=1,所以GE=-GF=1,所以EF/PQ222EP3FQNC3EPFQ3又EF?平面BMNPC?平面BMN所以PQ/平面BMN.2 .詳見解析【解析】試題分析：由正方體的特征及N為BB的中點，可知平面AFC與直線DD相交，且交點為DD的中點G若過M

7、E的平面風與平面AiFCGT行，注意到EMFBD/FG則平面風必與CC相交于點N,結合ME1為棱CD,BG的中點，易知CN：GC=1.于是平面EMhW足要求.4試題解析：如圖，設N是GC上的一點，且GN=彳GC時，平面EMNi點E,M且與平面AiFC平行.答案第1頁，總19頁v1.0可編輯可修改證明如下：設H為棱CC的中點，連接BH,DH.CiN=0C,J.GN=GH.又E為BC的中點，EN/BH又CF/BH,EN/CE又EN?平面AFC,CF?平面AFC,EN/平面AiFC同理MN/DH,DH/AF,.MN/AF.又MN?平面AFC,AiF?平面AFC,.MN/平面AiFC又ENAMN=N,

8、平面EMM平面AiFC點睛：本題考查線面平行的判定定理和面面平行的判定定理的綜合應用，屬于中檔題.直線和平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；平面與平面平行的判定定理：一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面分別平行，則這兩個平面平行.3. （i）見解析（2）見解析【解析】試題分析：（i）連接AD ,BD的中點可證 OM / AD ,即可證ADi,由M,O分別是AB,答案第2頁，總i9頁V1.0可編輯可修改明OM/平面AA,D1D；（2）由D1cl/AB且D1clAB可證D1clBA為平行四邊形，即可證AD1IIBC1,再根據(jù)ADAD1即可證明OMBC1

9、.試題解析:（1）連接A1D,AD1,因為M,O分別是A1B,BD的中點，所以OM/AD,且AD平面AA1D1D,所以OM/平面AAD1D（2）由題意D1G/AB且D1clAB,所以D1clBA為平行四邊形，所以AD1/BC1,由（I）OM/AD,且ADAD1,所以OMBc14. （1）證明見解析；（2）存在，見解析；【解析】試題分析：（1）要證明平面AFc平面cBF,只需證AF平面cBF,則只需證AFcB,AFBF,再根據(jù)題目條件分別證明即可；（2）首先猜測存在cF的中點M滿足OM/平面ADF,作輔助線，通過OM/AN,由線面平行的判定定理，證明OM/平面ADF。試題解析：解：（1）因為平面

10、ABcD平面ABEF,cBAB,平面ABcD平面ABEFAB,所以cB平面ABEF,因為AF平面ABEF,所以AFCB,又AB為圓O的直徑，所以AFBF,因為CBBFB,所以AF平面CBF,因為AF平面AFC,所以平面AFC平面CBF.(2)如圖，取CF的中點M,DF的中點NA,連接N,MN,OM,一1一則MN/CD,MN-CD,2-1.又AO/CD,AOCD,所以MN/AO,MNAO,2所以四邊形MNAO為平行四邊形，所以OM/AN,又AN平面DAF,OM平面DAF,所以OM/平面DAF,即存在一點M為CF的中點，使得OM/平面DAF5. (1)見解析；(2)見解析;(3)2【解析】試題分析

11、：答案第5頁，總19頁(1)要證線面平行，就是要證線線平行，考慮過直線ACi的平面AGB與平面CBiN的交線ON(其中O是BCi與BC的交點)，而由中位線定理易得AG/ON,從而得線面平行；(2)由于ABC是正三角形，因此有CNAB,從而只要再證CN與平面ABB1A內(nèi)另一條直線垂直即可，這可由正棱柱的側棱與底面垂直得到，從而得線面垂直，于是有面面垂直；(3)要求四棱錐的體積，由正三棱柱的性質知AB1cl中，邊AB1的高就是四棱錐的高，再求得四邊形ANBiAi的面積，即可得體積.試題解析：(1)證明：連接BCi,交BiC于O點，連接NO,;在ABCi中，N,O分別是AB,BCi中點，NOAC1，

12、.NO平面NCB1,AC1平面NCB1,ACi平面NCBi,(2)證明：二.在等邊&ABC中，N是棱AB中點，CNAB,又在正三棱柱中，BBi平面ABC,vi.0可編輯可修改CN平面ABC,BB1CN,ABBBiB點，AB,BBi平面ABB1A1,.CN平面ABB1A,.CN平面CNB1,，平面CNB1平面ABB1A.(3)作CiDABi于D點，CiD是四棱錐CiANBiA高,ABtan60i一.9底面積S323i_22VCi ANBiAi3.3-Sh32【點睛】(i)證明平面和平面垂直的方法：面面垂直的定義；面面垂直的判定定理(2)已知兩平面垂直時，一般要用性質定理進行轉化，在一個平

13、面內(nèi)作交線的垂線，轉化為線面垂直，然后進答案第6頁，總i9頁V1.0可編輯可修改一步轉化為線線垂直.66.（1）見解析（2）入=7【解析】（1）證明：.AB，平面BCD-AB±CD.CDLBG且ABHBC=B,.CDL平面ABC.AEACAFAD=入（0入1）,答案第10頁，總19頁不論入為何值，恒有EF/CD.EFL平面ABGEF平面BEF.不論入為何值恒有平面BEFL平面ABC.(2)解：由知，BE!EF,二,平面BEFL平面ACD，BE1平面ACDJBE!AC.BG=CD=1,/BCD=90°,/ADB=60°,BD=短,AB=V2tan60°=6

14、.AC=.AB2BC2=7.由 AB2=AE- AG得 AE=與.”=6 ,7 AC 7故當入=6時, 7平面BEH平面ACD7. (I )見解析;（II ）見解析；（III ）4【解析】試題分析：（I）要證BD與平面ACFE垂直，只要證BD與平面ACFE內(nèi)兩條相交直線垂直即可，這由已知線面垂直可得一個，又由菱形對角線垂直又得一個，由此可證；（II）由已知線面垂直得FC平面ACFE,從而知FOC為直線FO與平面ACFE所成的角，從而可得FC,FO,然后計算出三線段EF,BE,BF的長，由勾股定理逆定理可得垂直;（III）取BE中點M,則有MO/DE,從而可得異面直線所成的角，再解相應三角形可得

15、.試題解析:(I) BD平面ACFE(BDBD AC 菱形 ABCDAE AE 平面 ABCD(II ) FC平面ABCD直線FC與平面ABCD所成的角 FOC cos FOC匹而且Rt FOC 10中,CO1 FO 10, FC3,過E作EN/AC交FC于點NRtFNE中EF 底 Rt FCB 中FB炳 Rt EAB 中 EB,8222EF EB FBEF EB ；(III）取BE邊的中點M連接MO, MO/DE 且-1MO DE2FOM為所求的角或其補角,Rt FEM 中，F(xiàn)M.EF2 EM2.7 RtFOM 中 cosFOMFO2MO2 FM 22FO MO5異面直線OF與DE所成的余弦

16、值為48. （1）證明見解析；（2）試題分析：（1）以A為原點建立空間直角坐標系A xyz,可得(百3,0) , AC(273,2,0)BM aC 0BM AC 又 BM PO得 BM平面PAC ,進而得結論；（2）設OP h ,可得平面PAB的一個法向量為2 hn (0, h,1),再根據(jù)h h 0可解得試題解析：（1）如圖，以A為原點建立空間直角坐標系Axyz,B(2有,0,0) , C(2褥,2,0) , D(0,4,0),所以 CD 中點 M (曲,3)，則舒(73,3,0) , aC(273,2,0),bMAC(v3)(2.3)320所以BMAC.又PO平面ABCD,所以BMPO,由

17、AC0POO,所以BM平面PAC,又BM平面PBM,所以平面PBM平面PAC.法一：設 op h,則 Oh/3,i,0),P(73,i,h),則 pM(0,2, h),設平面PAB的一個法向量為n(x0,y0,z0),AP(J3,1,h),AB(2,0,0),所以nAP0,則由x0y0hz00,令z°i,nAB02x00得n(0,h,1),II設 PN PM (0,2h) (01),則ON oP PN (0,2,hh)，若ON/平面PAB,則ONn法二：（略解）：連接MO延長與AB交于點E,連接PE,若存在ON/平面PAB,則ON/PE,OE1證明OE1即可.EM3考點：1、利用空間

18、向量證明線面垂直、面面垂直；2、利用空間向量研究線面平行.9. （1）見解析（2）見解析（3）見解析【解析】試題分析：（1）先證明四邊形EDMN是平行四邊形，得ENDM,DM平面PDC,進而可得結論；（2）先由面面垂直的性質可得PEBC,再證BEAD，由ADBC可得BEBC，可得BC平面PEB;（3）由可得PBMN，由等腰三角形性質得PBAN,進而由面面垂直的判定定理得結論.試題解析：（1）；AD/BC,ADADMN,BC平面ADMN,BC/平面ADMN,11*MN平面ADMN平面PBC,BC平面PBC,BC/MN，又因AD/BC,AD/MN,ED/MN,11.N是PB的中點，E是AD的中點，

19、底面ABCD是邊長為2的菱形，EDMN1,四邊形EDMN是平行四邊形，EN/DM,DM平面PDC,v1.0可編輯可修改EN/平面PDC;(2)側面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，E為AD的中點，PEAD,PEEB,PEBC,；BAD60,AB2,AE1,由余弦定理可得BEJ3,由正弦定理可得：BEAD由AD/BC可得BEBC,kiBEPEE,BC平面PEB;由(2)知BC平面PEB,EN平面PEBBCEN,；PBBC,PBAD,PBMN,；APAB2,N是PB的中點，PBAN,MNANN,?PB平面ADMN.平面PBC平面ADMN.【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、線面垂直的

20、判定定理及面面垂直的判定定理，屬于難題.證明線面平行的常用方法：利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關鍵是設法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質或者構造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.利用面面平行的性質，即兩平答案第11頁，總19頁V1.0可編輯可修改面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面.本題(1)是就是利用方法證明的.10.(D見解析(2)見解析(3)VDCEF-VpABD4【解析】試題分析:(I)要證線面平行，就要證線線平行，在四邊形ABCD中，由已知可得AE與BC平行且相等，從而得平行四邊形，因此有CE/AB,因可得

21、線面平行；(n)要證PD與平面CEF垂直，就要證PD與此平面內(nèi)兩條相交直線垂直，而已知PD與平面PAB垂直,因此PD與平面PAB內(nèi)所有直線垂直，現(xiàn)在已有CE/AB,因此有PDCE,再有，E,F是所在線段中點，因此有EF/PA,從而也可得PDEF,這樣可得題設線面垂直；(出)都改為以D為頂點，則底面積比為-,高的比也是-,因此體積比為-.224試題解析：(I)證明：因為八1八八八八八八BCADBCADEADAEBCAEBCABCECEABABPABCEPABCEPABEF2ADPDEFPAPDPABPA,ABPABPDABPDPAPDEFCEABPDCEEFCEEPDCEFV華匚1【解析】試題分

22、析：VPABD46(I)要證明PA與平面MDB平行，只要找到一條平行線，由于M是PC中點，AC與BD的交點。是AC中點，則必有PA/MO,從而有線面平行；(n)要證面面垂直，就要證線面垂直，從圖形中知BDAC,在MBD，計算后可得BDMO,從而BOPA于是有線面垂直，從而得面面垂直；(出)易證PC平面BDM,從而知BM為BC在平面BDM內(nèi)的射影，因此CBM就是直線BC與平面BDM所成的角，在CBM中求解可得.試題解析:(I)證明：連接MO.在菱形ABCD中，。為AC中點，且點M為PC中點,所以MO/A,又MO平面BDM,PA平面BDM.所以PA/平面BDM(n)證明：在等邊三角形'PC

23、D中，DCAB2,M是PC的中點，所以DMJ3.在菱形ABCD中，BAD60,AB2,1所以DOBD1.2又MO衣，所以DO2MO2DM2,所以BDMO.在菱形ABCD中，BDAC.又ACMOO,所以BD平面PAC.又BD平面BDM,所以平面PAC平面BDM.（出）因為BD平面PAC,PC平面PAC,所以BDPC又因為PDDC,M為PC中點，所以DMPC又DMBDD,所以PC平面BDM,則BM為直線BC在平面BDM內(nèi)的射影，所以平面CBM為直線BC與平面BDM的所成角因為PC2,所以CM1,在 RtCBM 中，sin CBM CMBCCBM 一6所以直線BC與平面BDM的所成角為12.（1）證

24、明見解析；（n）證明見解析;（出）側棱APAC上存在點P ,使得BP 平面AOF ,且交匚 PC【解析】試題分析：（1）要證A1O CE，只需證明AO 平面BCDE即可；（2）連結BD,因為四邊形BCDE答案第19頁，總19頁為菱形，所以CEBD,因為O,F分別為BE,DE的中點，所以OF/BD,且CEOF,由（1）知AO平面BCDE,進而證得CE平面AOF,從而證的平面AOF平面ACE;（3）設CE與BD,OF的交點分別為M,N連結AN,PM,因為四邊形BCDE為菱形，O,F分別為BE,DE的中點，所以-NMMCAPNM1設P為AC上晶近A點二等分點，則，所以pm/an,進而彳#到BP/平面

25、AOF.PCMC2試題解析：解：（1）因為ABE為等邊三角形，O為BE的中點，所以AOBE又因為平面ABE平面BCDE,平面ABE平面BCDEBE,AO平面ABE,所以AO平面BCDE,又因為CD平面BCDE,所以AOCD.(2)連結BD,因為四邊形BCDE為菱形，所以CEBD,因為O,F分別為BE,DE的中點，所以OFBD,CEOF,由(1)知AO平面BCDE,；CE平面BCDE,AOCE,；AOOFO,CE平面AOF,又因為CE平面ACE,所以平面AOF平面ACE.(3)當點P為AC上的三等分點(靠近A點)時，BP平面AOF.證明如下:設CE與BD,OF的交點分別為M,N連結AN,PM.因為四邊形BCDE為菱形，.NM1O,F分別為BE,DE的中點，所以一，設P為AC上靠近A點三等分點，MC2APNM1則，所以PMAN,因為AN平面AOF,PM平面PCMC2AOF,PM平面AOF.由于BDOF,OF平面AOF,BD平面AOF,BD平面AOF,即BM平面AOF,BBMPMM,所以平面BMP平面AOF,:BP平面BMP,BP平面AOF.可見側棱AC上存在點P，使得BP平面AOF,曰AP1.且-