1、第四章 虛功原理和結構的位移計算主要內容4-1 概述4-2 變形體系的虛功原理4-3 結構位移計算的一般公式4-4 靜定結構在荷載作用下的位移計算4-5 圖乘法4-6 溫度變化和支座移動下的位移計算4-7 互等定理4-1 概述 在荷載等外因作用下結構都將產生形狀的改變，稱為結構的變形。各桿件的橫截面除移動外，還可能發生轉動，這些移動和轉動稱為結構的位移。 一、結構位移的概念一、結構位移的概念計算位移的目的：（計算位移的目的：（1）剛度驗算）剛度驗算 （2）為超靜定結構分析打基礎）為超靜定結構分析打基礎產生位移的原因：（產生位移的原因：（1）荷載）荷載cc1t12tt （2）溫度變化、材料脹縮）

2、溫度變化、材料脹縮（3）支座沉降、制造誤差）支座沉降、制造誤差AVBV以上都是絕對位移以上都是絕對位移以上都是相對位移以上都是相對位移廣義位移廣義位移二、結構位移計算概述二、結構位移計算概述1.一個截面的位移（絕對位移）一個截面的位移（絕對位移）（1）截面截面A 位置的移動（用截面形位置的移動（用截面形心的移動來表示）心的移動來表示）A，稱為線位移，稱為線位移，可分解為：可分解為：水平線位移水平線位移AH（也可記作（也可記作uA）豎向線位移豎向線位移 (撓度撓度)AV (也可記作也可記作vA)。 （2）截面）截面A 位置的轉動位置的轉動（用該點切線方向的變化來表示）（用該點切線方向的變化來表示

3、）A，稱為角位移或轉角。，稱為角位移或轉角。 ABCqA1B1AA AvAuA2.兩個截面之間的位移（相對位移）兩個截面之間的位移（相對位移）（1）相對線位移）相對線位移 BAAB（2）相對角位移）相對角位移DCCDAA1BB1FPFPCD A BCDCDE3.一個微桿段的位移一個微桿段的位移 dsuv微段剛體位移微段剛體位移dsg g0g g0dvdv= g g0 ds微段相對位移微段相對位移（剪切變形）（剪切變形）ds du= e eds微段相對位移微段相對位移（軸向變形）（軸向變形）ds微段相對位移微段相對位移（彎曲變形）（彎曲變形）d= ds/R =kdsAA一個微桿段的位移可分解為一

4、個微桿段的位移可分解為剛體位移和變形體位移剛體位移和變形體位移之和之和（1）剛體位移（不計微段的變形）：）剛體位移（不計微段的變形）：u、v、（2）變形位移（反映微段的變形）：）變形位移（反映微段的變形）：du、dv、d 。這是。這是描述微段總變形的三個基本參數。描述微段總變形的三個基本參數。sksvsudddddd0ge相對轉角相對剪切位移相對軸向位移 為軸向伸長應變為軸向伸長應變; 為平均剪切應變為平均剪切應變; k 為軸線曲率（為軸線曲率（ ，R為軸線為軸線變形后的曲率半徑）。變形后的曲率半徑）。 0gRk1dsuv微段剛體位移微段剛體位移dsg g0g g0dvdv= g g0 ds微

5、段相對位移微段相對位移（剪切變形）（剪切變形）dsdu= e eds微段相對位移微段相對位移（軸向變形）（軸向變形）ds微段相對位移微段相對位移（彎曲變形）（彎曲變形）d= ds/R =kds對于常見的在荷載作用下的彈性結構，則有對于常見的在荷載作用下的彈性結構，則有sEIMsGAFvsEAFuddddddQN式中，式中，FN、FQ、M分別為微段上的軸力、剪力、彎矩；分別為微段上的軸力、剪力、彎矩； EA、GA、EI分別為抗拉壓、抗剪、抗彎剛度；分別為抗拉壓、抗剪、抗彎剛度；為考慮剪應力分布不均勻系數，如對于矩形截面為考慮剪應力分布不均勻系數，如對于矩形截面 =1.2， 圓圓形截面形截面 =1

6、0/9，薄壁圓環形截面、工字形或箱形截面，薄壁圓環形截面、工字形或箱形截面 =A/A1（A1為腹板面積）。為腹板面積）。 三、結構位移計算的方法1、幾何法例如，材料力學中主要用于計算梁的撓度的積分法。 2、虛功法計算結構位移的虛功法是以虛功原理為基礎的，所導出的單位荷載法最為實用。單位荷載法能直接求出結構任一截面、任一形式的位移，能適用于各種外因，且能適合于各種結構；還解決了積分法推導位移方程較繁瑣且不能直接求出任一指定截面位移的問題。 一、功、實功與虛功一、功、實功與虛功 1 1、功、功 功包含了力和位移兩個因素。功包含了力和位移兩個因素。 2 2、實功、實功 所謂實功所謂實功，是指力在，是

7、指力在其自身引起的位移其自身引起的位移上所做的功。分上所做的功。分為常力實功和變力實功為常力實功和變力實功 。4-2 變形體系的虛功原理111121PW 111 1P1PP1 1111o1P11 1靜力荷載所做的實功為變力實功。靜力荷載，是指荷載由零逐漸以微小的增量緩慢地增加到最終值，結構在靜力加載過程中，荷載與內力始終保持平衡。 靜力荷載靜力荷載所做的實功所做的實功 FP1在12上做的功: W12是力FP1在另外的原因（M2）引起的位移上所做的功，故為虛功。所謂“虛”，就是表示位移與做功的力無關。在作虛功時，力不隨位移而變化是常力，故式中沒有系數1/2 。121P12FW3、常力所做的虛功、

8、常力所做的虛功 所謂虛功，是指力在另外的原因（諸如另外的荷載、溫度變化、支座移動等）引起的位移上所做的功。 FP11 12 1111 1212 1 12M2FP1 (先先) 1111 1212 2121 222212M2(后后)11對于各種形式常力所做的虛功，用力和相應位移這兩個彼此獨立無關的因子的乘積來表示，即:FWP式中:FP是做功的與力有關的因素，稱為廣義力， 可以是單個力、單個力偶、一組力、一組力偶等。是做功的與位移有關的因素，稱為與廣義力相應的廣義位移，可以是絕對線位移、絕對角位移、相對線位移、相對角位移等。 二、廣義力和廣義位移二、廣義力和廣義位移三、剛體體系的虛功原理三、剛體體系

9、的虛功原理剛體體系剛體體系處于處于平衡的必要和充分條件平衡的必要和充分條件是：對于符合約束條是：對于符合約束條件的任意微小虛位移，剛體體系上所有件的任意微小虛位移，剛體體系上所有外力外力所做的虛功總所做的虛功總和等于零。和等于零。 Fi i=01PF2NF1NF2PF去掉約束而代以相應的反力，去掉約束而代以相應的反力，該反力便可看成外力。則有：該反力便可看成外力。則有：FPAxFBFAyFPB- -FP P +FB B=012ABC1C1B四、變形體的虛功原理四、變形體的虛功原理 1、關于原理的表述、關于原理的表述變形體系變形體系處于處于平衡的必要及充分條件平衡的必要及充分條件是：是：對于符合

10、約束條件的任意微小虛位移，變形體系上所有對于符合約束條件的任意微小虛位移，變形體系上所有外力在虛位移上所做虛功總和外力在虛位移上所做虛功總和等于等于各微段上內力在其各微段上內力在其變變形虛位移形虛位移上所做虛功總和。上所做虛功總和。或者簡單地說，或者簡單地說，外力虛功等于變形虛功外力虛功等于變形虛功（數量上等于虛（數量上等于虛變形能）。變形能）。變外WW2、關于原理的證明、關于原理的證明狀態狀態2:位移狀態位移狀態(另外原因引起另外原因引起) 微段位移狀態微段位移狀態微段受力狀態微段受力狀態狀態狀態1:力狀態力狀態FPFR1FR2FR3Mqds E FFEdsE FdsqMFNFQM+dMFN

11、+dFNFQ+dFQABCDdsg g0g g0dudvddsdsBCC1dsADA1B1D1C2D2OO(1)按外力虛功與內力虛功計算按外力虛功與內力虛功計算（從變形的連續條件考慮）（從變形的連續條件考慮） dW總總= dW外外+dW內內將微段將微段ds上的作用力區分為上的作用力區分為外力與內力，外力與內力，微段總的虛功：微段總的虛功： FPFR1FR2FR3Mqds E FFEdsE FdsqMFNFQM+dMFN+dFNFQ+dFQABCDBCC1dsADA1B1D1C2D2OOdsg g0g g0dudvddsds整個結構的總虛功為整個結構的總虛功為： 內內外外總總WWWddd或簡寫為

12、：或簡寫為：W總總=W外外+W內內 由于任何由于任何兩相鄰微段的相兩相鄰微段的相鄰截面上鄰截面上的的內力內力是成對出是成對出現的，它們大小相等，方現的，它們大小相等，方向相反；向相反；qdsqMFNFQM+dMFN+dFNFQ+dFQA某微段受力某微段受力dsqM+dMFN+dFNFQ+dFQ右側相鄰微段受力右側相鄰微段受力左側相鄰微段受力左側相鄰微段受力 dsMFNFQ CDBDCAB又由于又由于虛位移虛位移是光滑的、連是光滑的、連續的，兩微段相鄰的截面總續的，兩微段相鄰的截面總是緊密貼在一起的，而且有是緊密貼在一起的，而且有相同的位移，相同的位移，因此，因此，每一對相鄰截面上的內力每一對相

13、鄰截面上的內力所做的虛功總是相所做的虛功總是相互抵消的。互抵消的。由此可見，必有：由此可見，必有：W內內= 0 ；因此：因此： W總總=W外外（a） (2)按剛體虛功與變形虛功計算按剛體虛功與變形虛功計算(從力系的平衡條件考慮從力系的平衡條件考慮) 將微段的虛位移區分為將微段的虛位移區分為剛體虛位移剛體虛位移和和變形虛位移兩類變形虛位移兩類 微段總的虛功微段總的虛功: dW總總=dW剛剛+dW變變FPFR1FR2FR3Mqds E FFEdsE FdsqMFNFQM+dMFN+dFNFQ+dFQABCDBCC1dsADA1B1D1C2D2OOdsg g0g g0dudvddsds由剛體虛功原理

14、，可知：由剛體虛功原理，可知： dW剛剛=0于是，微段上總的虛功：于是，微段上總的虛功： dW總總=dW剛剛+dW變變=dW變變 對于全結構，有：對于全結構，有： 變總WWdd因此有：因此有： W總總=W變變 (b)比較（比較（a）、（）、（b）兩式，可得：）兩式，可得： W外外=W變變就是我們需要證明的結論。就是我們需要證明的結論。它不僅適用于桿件結構，也適用于板、殼等非桿件結構。它不僅適用于桿件結構，也適用于板、殼等非桿件結構。 (c)須注意的是：須注意的是：這里（這里（b）中的）中的W變變與（與（a）中的）中的W內內是有區別的。是有區別的。（a）中的）中的W內內是指所有微段上是指所有微段

15、上內力在截面的總位移內力在截面的總位移（包（包括剛體位移和變形位移兩部分）上所做虛功的總和，如括剛體位移和變形位移兩部分）上所做虛功的總和，如前所述，它恒等于零；前所述，它恒等于零；而這里（而這里（b）中的）中的W變變僅指所有微段上僅指所有微段上內力在截面的變形內力在截面的變形位移上位移上所做虛功的總和。所做虛功的總和。 假如此微段上還有集中荷載或力偶荷載作用，可以認為它們作假如此微段上還有集中荷載或力偶荷載作用，可以認為它們作用在截面用在截面AB上，因而當微段變形時，它們并不做功。總之，上，因而當微段變形時，它們并不做功。總之，僅僅考慮微段的變形虛位移而不考慮其剛體虛位移時，外力不做功，考慮

16、微段的變形虛位移而不考慮其剛體虛位移時，外力不做功，只有截面上的內力做功只有截面上的內力做功。對于平面桿系有。對于平面桿系有 dW變變= Md+ FNdu + FQdvvFuFMWWddddQN變變(d )W變變實際上是所有微段上實際上是所有微段上內力內力在變形虛位移上所做虛功的總和，在變形虛位移上所做虛功的總和，稱為稱為變形虛功變形虛功（數量上等于虛變形能）。（數量上等于虛變形能）。 由于微段上彎矩、軸力和剪力的增量由于微段上彎矩、軸力和剪力的增量dM、dFN和和dFQ以及分布以及分布荷載荷載q 在這些變形上所做虛功為高階微量而可略去，因此微段在這些變形上所做虛功為高階微量而可略去，因此微段

17、上各力在其變形上所做的虛功為上各力在其變形上所做的虛功為 （1） 變形虛功變形虛功W變變對于平面桿系而言，對于平面桿系而言，因為因為單個外力虛功單個外力虛功按式按式W=FP計算，計算，故所有外力（包括荷載和支座反力）在虛位移上所做虛功故所有外力（包括荷載和支座反力）在虛位移上所做虛功的總和為的總和為: W外外=S SFP 將有關將有關W外外和和W 的計算式（的計算式（e）和（）和（d）代入式（）代入式（c），則），則平面桿件結構的虛功方程平面桿件結構的虛功方程可表示為可表示為 :（e） （4-4） vFuFMFdddQNP平衡力系平衡力系位移狀態位移狀態（2） 外力虛功外力虛功W外外3、關于原

18、理的說明、關于原理的說明（1）在上面的推證過程中，）在上面的推證過程中，只考慮了力系的平衡條件和變只考慮了力系的平衡條件和變形的連續條件。形的連續條件。所以，虛功方程既可以用來代替平衡方程，所以，虛功方程既可以用來代替平衡方程，也可以用來代替幾何方程（即協調方程）。也可以用來代替幾何方程（即協調方程）。 （2）虛功方程）虛功方程是個是個“兩用方程兩用方程”，具體應用時可有兩種形式。，具體應用時可有兩種形式。鑒于力系與變形彼此是獨立無關的，因此，鑒于力系與變形彼此是獨立無關的，因此，a.如果力系是給定的，則可虛設位移，式（如果力系是給定的，則可虛設位移，式（4-4）便稱為變形體）便稱為變形體系的

19、系的虛位移方程虛位移方程，它代表力系的平衡方程，常可用于求力系中，它代表力系的平衡方程，常可用于求力系中的某未知力的某未知力 ；b.如果位移是實有的，則可虛設力系，式（如果位移是實有的，則可虛設力系，式（4-4）便稱為變形體）便稱為變形體系的系的虛力方程虛力方程，它代表幾何協調方程，常可用于求實際位移狀，它代表幾何協調方程，常可用于求實際位移狀態中某個未知位移。本章即主要介紹虛力方程及其應用態中某個未知位移。本章即主要介紹虛力方程及其應用 （ a ） vFuFMFdddQNP實實平衡力系平衡力系虛虛位移狀態位移狀態（ b ） vFuFMFdddQNP虛虛平衡力系平衡力系實實位移狀態位移狀態虛位

20、移方程虛位移方程虛力方程虛力方程（3）在推證式（）在推證式（4-4）時，）時，沒有涉及到材料的性質沒有涉及到材料的性質。因此，。因此，變形體系的虛功方程是一個普遍方程，既適用于變形體系的虛功方程是一個普遍方程，既適用于彈性問彈性問題，也適用于非彈性問題題，也適用于非彈性問題。 （4）變形體系的虛功原理）變形體系的虛功原理同樣適用于剛體體系同樣適用于剛體體系。由于剛。由于剛體體系發生虛位移時，各微段不產生任何變形位移，故體體系發生虛位移時，各微段不產生任何變形位移，故變形虛功變形虛功W變變=0，于是可得，于是可得W=0 剛體體系的虛功原理剛體體系的虛功原理只是變形體系虛功原理的一個特例。只是變形

21、體系虛功原理的一個特例。 6.36.3結構位移計算的一般公式結構位移計算的一般公式一、利用虛功原理計算結構位移一、利用虛功原理計算結構位移根據平面桿件結構的虛功方程（4-4），其等號左側為iicFcFcFF 11R 2R21R1PFP1FP2dsdsd , du, dv c1c2K1Kiiq+t1+t2FP=1iiR1FR2FNQFFM,例,求K點位移，則在K點虛加一單位力Fp=1虛平衡力系虛平衡力系實位移狀態實位移狀態于是有于是有vFuFMcFddd1QNR即得即得 cFvFuFMRQNddd（4-7 ) 此式適用于任何材料的靜定或超靜定結構。這種通過虛設單位荷載作用下的平衡狀態，利用虛力原

22、理求結構位移的方法，稱為單位荷載法。該方法適用于結構小變形情況。 廣義單位荷載FP=1為外加單位荷載（FP上面不加橫線表示），屬單位物理量，是量綱1的量（以往稱為無量綱量）。（式中（式中FR i 、 M ，FN ，FQ為虛設單位力作用下引起的反力和內力）二、虛擬單位荷載的施加方法二、虛擬單位荷載的施加方法 應用單位荷載法每次只能求得一個位移。這個位移可以是線位移，也可以是角位移或相對線位移、相對角位移，即屬廣義位移。因此，需特別強調，當求任意廣義位移時，所需施加的虛單位荷載，應是一個在所求位移截面、沿所求位移方向并且與所求廣義位移相應的廣義力。這里，“相應”是指力與位移在做功上的對應，如集中力

23、與線位移對應，力偶與角位移對應，等等。 （1）圖示為求剛架 K 點沿 i-i方向的 線位移時的虛擬力狀態。 FP=1iiK（2）圖示為求剛架K截面角位移時的虛擬力狀態。（3）圖示為求剛架A、B兩點沿其連線方向相對線位移時的虛擬力狀態。 （4）圖示為求剛架A、B兩截面相對角位移時的虛擬力狀態。M=1KFP=1FP=1ABM=1M=1AB（5）求桁架A、B兩點沿其連線方向相對線位移時的虛擬力狀態 （6）桁架第i桿角位移時的虛擬力狀態。施加于該桿兩端結點的一對力正好構成一個單位力偶M=1，其中每一個力均為1/li且與該桿垂直，這里的li為第i桿的長度。 7）桁架第i與第j桿兩根桿間相對角位移的虛擬力

24、狀態。施加于該兩桿兩端結點的各一對力，正好構成方向相反的一對單位力偶。 FP=1FP=1ABli1/li1/lililj1/li1/li1/lj1/lj4.4靜定結構在荷載作用下的位移計算靜定結構在荷載作用下的位移計算當僅考慮荷載作用時，無支座位移項vFuFMdddQN式中，d、du和dv是實際狀態中由荷載引起的微段ds上的變形位移，該公式中的各內力M、FN、FQ，應具體采用由實際狀態中的荷載引起的內力MP、FNP、FQP。(4-8)dsqMFNFQM+dMFN+dFNFQ+dFQA微段受力狀微段受力狀態態dsdsdsg g0g g0dudvd微段變形狀態微段變形狀態sEIMsGAFvsEAF

25、uddddddQN（i）式式sGAFsEAFFsEIMMdFddQPQNPNP（4-13） 如果各桿均為直桿，則可用dx代替ds，得荷載作用下位移計算的一般公式:xGAFxEAFFxEIMMdFddQPQNPNP（4-13） MP、FNP、FQP實際荷載引起的內力； 、 、 虛設單位荷載引起的內力。 MNFQF將（i）式代入式(4-8) 得平面桿件結構在荷載作用下的位移計算公式:關于內力的正負號規定如下： 軸力FN 以拉力為正； 剪力FQ 以使微段順時針轉動者為正；彎矩 MP 、 只規定乘積 的正負號。當 與MP使桿件同側纖維受拉時，其乘積取正值。 MMPMM二、各類結構的位移公式二、各類結構

26、的位移公式1、梁和剛架、梁和剛架在梁和剛架中，位移主要是彎矩引起的，軸力和剪力的影響較小，因此，位移公式可簡化為 sEIMMdP（4-14） 2、桁架、桁架在桁架中，在結點荷載作用下，各桿只受軸力，而且每根桿的截面面積 A 、軸力FN和FN沿桿長一般都是常數，因此，位移公式可簡化為: EAlFFsEAFFNPNNPNd（4-15） 3、組合結構、組合結構在組合結構中，梁式桿主要受彎曲，桁桿只受軸力，因此位移公式可簡化為sEAFFsEIMMddNPNP（4-16）4、拱、拱 計算表明，通常只需考慮彎曲變形的影響，但當拱軸線與壓力線比較接近（即兩者的距離與桿件的截面高度為同量級），或者是計算扁平拱

27、（f / l1/5）中的水平位移時，則還需要考慮軸向變形的影響，即有 sEAFFsEIMMddNPNP（4-17） 而像拱壩一類的厚度較大的拱形結構，剪切變形的影響則需一并考慮。本節中所列出的在荷載作用下的位移計算公式，不僅適用于靜定結構，也同樣適用于超靜定結構。三、單位荷載法的計算步驟三、單位荷載法的計算步驟（1）列出在實際荷載作用下的）列出在實際荷載作用下的MP的表達式（或作的表達式（或作出荷載彎矩圖出荷載彎矩圖MP圖）；圖）； （2）施加相應的單位荷載，列出）施加相應的單位荷載，列出 的表達式（或作的表達式（或作出單位彎矩圖出單位彎矩圖 圖）；圖）； MM（3）計算位移值：將）計算位移值

28、：將 和和 MP代入公式（代入公式（4-13），），求出擬求的位移求出擬求的位移 。注意：須在計算所得的位移值后，加圓括號，注明位注意：須在計算所得的位移值后，加圓括號，注明位移的實際方向移的實際方向 M例4-1 試求圖示簡支梁在均布荷載作用下跨中截面C的豎向位移CV。已知EI=常數。 解：(1)列出在實際荷載作用下的MP的表達式：建立x坐標，如右圖所示：當0 xl時，有：)(22PxlxqMABCKqlxql/2ql/2ql2/8ABCKMP圖)(22PxlxqM(2)施加單位荷載，并列寫在虛加單位荷載作用下的 M 表達式根據擬求CV，在點C加一豎向單位荷載，作為虛擬力狀態，如右圖所示。當0

29、 xl/2時，有： 2xM AABBCCKKxl/2l/42xM 1/21/21M圖圖)(3845d)(2d)(2212d24203220220PVEIqlxxlxEIqxxlxqxEIxEIMMlllC計算結果為正，說明點C豎向位移的方向與虛擬單位荷載的方向相同，即向下。 (3)計算位移值：梁只考慮彎矩引起的位移，故代入式（4-4）得：例例4-2 試求圖示簡支曲梁點試求圖示簡支曲梁點A的水平位移的水平位移 AH。已知。已知EI=常數。常數。 解：(1)列寫在實際荷載作用下的MP的表達式 當0 xa時， xFlalMPP當axl時， )(PPxlFlaM)(42xlxlfyAABBflal-a

30、CDxyFPFPDK1K2xxl-x(0 xa) (axl)xFlalMPP)(PPxlFlaMPFlaPFlal (2)列寫在虛設單位荷載作用下的的表達式當當0 xl時，時，)(42xlxlfyM(3)計算位移值)()(3d)()(41d)(41d222PP20P20PHalaallEIlafFxxlFlaxlxlfEIxxFll-axlxlfEIxEIMMlaalAABxyyM11例4-3 試求圖示桁架B點的豎向位移B。設各桿的剛度EA均相同。PPP4m3=12m3mAEBF5P8PP=15/34/3000000000013P解：作圖示的軸力圖。B154280P(3P 1 35P58P4)

31、EA333EA 解：(1)計算在實際荷載作用下各桿的軸力FNP (2)在點A加水平單位荷載，求各桿的軸力 1NF(3)在點A加豎向單位荷載，求各桿的軸力 2NF例例4-4 試求圖示桁架結點試求圖示桁架結點A的水平位移的水平位移 AH及垂直位移及垂直位移 AV。 AFP-FPFPFPPF2aaA11A1112-1(4)計算位移值 )()() 1(1PPNPN1HEAaFaFEAEAlFFA)()221 ()() 1(2221PPPNPN2VEAaFaFaFEAEAlFFAAFP-FPFPFPPF2aaA11A1112-14.5圖乘法圖乘法 計算梁和剛架在荷載作用下的位移時，常利用下式計算sEIM

32、MdP一、簡化的條件（適用條件）一、簡化的條件（適用條件）（1）桿件(或桿段)的軸線為直線； （2）桿件(或桿段)的EI為常數；（3）桿件(或桿段)的 M 圖和 MP 圖中至少有一個為直線圖形。(4-19)(a)二、簡化方法二、簡化方法AxEIAxEIxMMEIsEIMMddddPPtan)(tan(11式中：dA=MPdx為MP圖中微段dx對應的陰影部分的微分面積；而 即為整個MP圖的面積對y軸的靜矩；用x0表示MP的形心至 y 軸的距離，則有 Axd0dAxAx(b) 圖圖xyOxx0y0dxAABBC形心形心面積面積AdA=MPdxMP圖圖MPMMaxxMMtan)(y0 =x0tan

33、將式（b）代入式（a），則有 ：EIAyEIxAxAEIsEIMM000)tan()(tan dP式中，y0=x0tana是MP圖的形心C處所對應的M 圖中的豎標。可見，上述積分式等于一個彎矩圖的面積A乘以其形心C處所對應的另一直線彎矩圖上的豎標 y0，再除以EI。 這種以圖形互乘代替積分運算的位移計算方法，稱為圖乘法。 (4-21) 圖xyOxx0y0dxAABBC形心面積AMP圖My0 =x0tan如果結構上所有各桿段均可圖乘，則位移計算公式可寫為 :EIAysEIMM0dP(4-21)例題：試求集中荷載P作用下跨中點C的撓度（EI為常數）。ABCl/2Pl/2AABBCCKKxl/2l/

34、42xM 1/21/21M圖AABBCCKKxl/2Pl/42xPMPP/2P/2PPM圖解法一：用積分法。解法一：用積分法。（1）求實際荷載下的彎矩 MP 隨 x的關系式：（2）在所求的位移上加相應單位荷載， 并求彎矩 M隨 x的關系式：（3）代入積分公式（4-19）求位移。)(4832)(202222EIPldxEIdxEIlxlPxlPxxCll VMP =)22lxxP (0 )22)(lxlxlP( M =)22lxx (0 )22lxlxl( 解法二：用圖乘法。解法二：用圖乘法。（1）作實際荷載下的彎矩圖 MP 圖；（2）根據所求的位移施加相應的單位荷載， 并作單位彎矩圖 M 圖；

35、（3）用圖乘法公式（4-21）求位移：)(48)432()4221(2)(130220110EIPllPllEIyAyAEIEIAyCVAABBCCC1l/2l/41/21/21M圖y01y02C2AABBCCKC1l/2Pl/4P/2P/2PPM圖A1A2C2三、應用圖乘法的計算步驟三、應用圖乘法的計算步驟（1）作出實際荷載作用下的彎矩圖）作出實際荷載作用下的彎矩圖MP圖；圖；（2）根據所求的位移施加相應的單位荷載，并作出單）根據所求的位移施加相應的單位荷載，并作出單位位 彎矩圖彎矩圖 M 圖；圖； （3）檢查是否符合圖乘法適用條件，當符合條件時用圖）檢查是否符合圖乘法適用條件，當符合條件時

36、用圖 乘法公式（乘法公式（4-21）求位移。）求位移。EIAysEIMM0dP四、應用圖乘法的注意事項四、應用圖乘法的注意事項（1）縱坐標y0 只能取自直線圖形，而面積A 應取自另一圖形。（2）當 A與y0 在彎矩圖的基線同側時，其乘積值取正號； 在不同側時，應取負號。 （3）需要記住幾種常見簡單圖形的面積與形心位置（下頁圖） 須注意的是：圖中所示拋物線M圖均為標準拋物線，即M 圖曲線的中點（或端點）為拋物線的頂點: 曲線頂點處 的切線與基線平行，該處剪力為零。 lllllhhCCCCCCC2l/3l/3(l+a)/3(l+b)/3abl/2l/23l/4l/43l/85l/82l/53l/5

37、4l/5l/5頂點頂點頂點頂點頂點頂點二次半拋物線二次半拋物線三次拋物線三次拋物線A=hl/2A=hl/2A=2hl/3A1A2A1A2A1 =2hl/3A2 =hl/3A1 =3hl/4A2 =hl/4直角三角形直角三角形一般三角形一般三角形二次全拋物線二次全拋物線（4）如果MP與M均為直線，則y0可取自其中任一圖形。（5）如果M是折線圖形，而MP為非直線圖形，則應分段圖乘， 然后各段相加。 )(10220110yAyAEIEIAyA1A2y01y02MP圖M圖（6）如果桿件為階形桿（EI分段為常數），則應按各個EI段分 段圖乘，然后各段相加，如圖所示。 202210110EIyAEIyAE

38、IAyMMP圖A1A2y01y02EI1EI2圖（7）如果）如果MP圖為復雜的組合圖形圖為復雜的組合圖形（由不同類型荷載按區段（由不同類型荷載按區段疊加法繪出），因而其面積和形心位置不便確定，則可用疊疊加法繪出），因而其面積和形心位置不便確定，則可用疊加法的逆運算，將加法的逆運算，將MP圖分解（還原）為每一種荷載作用下的圖分解（還原）為每一種荷載作用下的幾個簡單圖形，分別進行圖形互乘，然后相加。幾個簡單圖形，分別進行圖形互乘，然后相加。)(10220110yAyAEIEIAydcydcyblAalA3231,313221,21020121其中其中 梯形的分解：梯形的分解： MA1A2y01y0

39、2MP圖圖圖圖abcdl當當MP或或M圖的豎標圖的豎標a、b或或c、d不在基線同側時不在基線同側時，如下圖所，如下圖所示，處理原則仍和上面一樣，可將示，處理原則仍和上面一樣，可將MP分解為位于基線兩側分解為位于基線兩側的兩個三角形（其中的兩個三角形（其中A1在上側，在上側，A2在下側），按上述方法，在下側），按上述方法，分別圖乘，然后疊加。分別圖乘，然后疊加。 MMP圖圖A1A2y01y02abcdl圖圖cdydcyblAalA3132,313221,21020121)(10220110yAyAEIEIAy（8）拋物線非標準圖形的分解 =+MAMBqa2/8MAMBdxqa2/8ABMAMBa

40、qABMAMBqa2/8aMAMBdxqa2/8ABaMAMBABq=+例4-4試求圖4-15（a）所示懸臂梁中點C的撓度。已知EI=常數。解：在c點加一豎向的單位力EIqllqllEIlqllqlEIlC384172213222321)2800222(62/422作相應的彎矩圖，用圖乘法例4-5試求圖4-16（a）所示簡支梁C點的撓度。已知EI=常數。解：在c點加豎向單位力EIqllqlllqlllqlllqllEIC97211)922118323292329322192217233292329321(142222例4-6圖4-17（a）為一簡支梁在荷載作用下的圖，已知EI=常數，試求截面B

41、的轉角。解：將桿件分為AC和CB兩段，分別進行圖乘計算。EIlMMlMlEIB6)652213121221(1000例4-6圖4-17（a）為一簡支梁在荷載作用下的圖，已知EI=常數，試求截面B的轉角。解：或者，利用式（e）計算。EIlMMMEIloB6)01120(600例4-7試求圖4-18（a）所示剛架D點的豎向位移，并繪制剛架的變形曲線。各桿EI相等。解：在d點加單位水平力EIFlFlllFlllEID8)22423(13解：繪制剛架變形曲線時，可先根據圖判斷桿件彎曲后的凹凸性。AE段右側受拉，應向右凸；EB段左側受拉，應向左凸；同理，BC段向上凸，CD段向右凸。在彎矩為零的E點應有一

42、反彎點。然后，根據支座處的位移邊界條件和結點處的位移連續條件，即可確定變形曲線的位置。A處為固定約束，線位移和角位移均為零。B、C為剛結點，在剛結點處各桿端的夾角應始終保持不變，仍為直角。最后，根據求出的D點豎向位移向上，考慮到忽略各桿的軸向變形，便可繪制出剛架變形曲線的形狀，見圖4-18（d）中虛線。例 試求圖示懸臂梁端截面B的撓度BV。已知EI=常數。ABCl/2l/2lqql)(128454EIql解法一解法一lqlllqlllqlllqllEIyAyAyAyAEIC43)32232(65)85221(43)22(3)2221(1)(1222044033022011V(1)作MP圖，并按

43、A1、A2、A3、A4 四部分劃分，如圖所示 ;(2)作M圖(3)利用公式進行圖乘MAAABBBCCCl/2l/2lqqlA1A2A3A422ql892ql)32(2qly01y02y03y04lMP 圖圖圖圖1解法二解法二)(1284587)8231(32)21(1)(1422022011VEIqllqlllqllEIyAyAEIC（1）作MP圖，并按A1、A2兩 部分劃分，如圖所示。（2）作M圖（3）圖乘計算結果與前法完全相同，但因對MP圖分塊恰當，使計算更簡便。 MMP圖圖AABBCA1A2y01y021l82qlql2例求圖示剛架鉸例求圖示剛架鉸C左右兩側截面的相對轉角左右兩側截面的相

44、對轉角 。 EI=常數。常數。 21CC解：解：EIlFllFllFEIyAyAyAyAEICC2471)2421(232)421(2112PPP04403302201121 橫梁二立柱ABCDEC1C2FPlll/2l/2FPl/4FPl/4MP圖圖A1A2A3A4M111y01y02y03y04圖圖15m5m5m5m5m2kN/m7kN10kNABGCDEF15kN50kN.m253510201kN2kN10101020AHEI11255056101255023102352541210125252310 12101010131012102010231031875 .EI1594102.m例

45、例.求求A點水平位移。點水平位移。2022-3-18744.6靜定結構由于溫度變化引起的位移計算靜定結構由于溫度變化引起的位移計算一、關于溫度變化的假定一、關于溫度變化的假定1.溫度沿桿件長度均勻分布； 2.溫度沿截面高度按直線變化。 二、靜定結構溫度變形的特征二、靜定結構溫度變形的特征 靜定結構當溫度發生變化時，各桿件均能自由變形（但不產生內力），溫變（替代前面章節中由荷載引起的微元體上的內力）成為引起結構桿件微元體變形的原因； 溫度引起的變形作為實際位移狀態，虛設單位力及其引起的內力作為虛平衡力系。虛力原理同樣成立，同樣可采用單位荷載法。uFMddN（4-25） 由于上述第一點假設：溫度沿

46、桿長度均勻分布，桿件不可能出現剪切變形（即微段dv=0）；同時注意到實際狀態的支座位移為零c=0（因此，位移公式可進一步簡化為 式中，d 和du為實際溫度狀態下，因材料熱脹冷縮所引起的各微段的彎曲變形和軸向變形。只要能求出d 和du的表達式，即可利用（4-25）求得結構的位移。三、關于三、關于d du u 的計算表達式的計算表達式截取一微段ds ,截面變形之后仍保持為平面。其上側、下側形心軸處纖維伸長分別為：du1 = at1dsABCABCdsdsB1C1 CVt1t1t2t2t1t2dsd ,du1duh h1 h2 t1ds t2ds t0dsd 形心軸形心軸NFM,du2 = at2d

47、sdu = at0ds式中，a為材料的線膨脹系數。按幾何關系可得中性軸溫度的變化為:)d()d( )dd()d()d()dd(dd21121211012110sthsthststhsthsthststhhstst化簡得：故得:hththt21120ABCABCdsdsB1C1 CVt1t1t2t2t1t2dsd ,du1duh h1 h2 t1ds t2ds t0dsd 形心軸形心軸NFM,當截面對稱于形心軸，即 時，則 221hhh2210ttt于是，溫度變化引起的微段軸向變形:studd0（4-26） ABCABCdsdsB1C1 CVt1t1t2t2t1t2dsd ,du1duh h1

48、h2 t1ds t2ds t0dsd 形心軸形心軸NFM,四、關于四、關于d 的計算表達式的計算表達式hstthststd)(ddd1212若將上下邊緣溫差記為:12tttt1t2dsduh h1 h2 t1ds t2ds t0dsd 形心軸形心軸則溫度引起的微段彎曲變形可表達為:hstdd（4-27） 五、靜定結構由于溫度變化引起的位移計算公式五、靜定結構由于溫度變化引起的位移計算公式將式（4-26）和式（4-27）代入式（4-25），即得： sFshtMdtd10N若t0、t和h沿各自桿件全長為常量，則：)dt()d(N0sFsMht即即N0tFMAAht（4-29） 式中式中 : ，為，

49、為 圖的面積；圖的面積； ，為，為 圖的面積。圖的面積。sMAMdMsFAFdNNNF對于梁和剛架，對于梁和剛架，在計算溫度變化在計算溫度變化引起的位移時，引起的位移時，軸向變形的影響軸向變形的影響一般不容忽視。一般不容忽視。 六、關于符號的規定六、關于符號的規定當實際溫度變形與虛擬內力方向一致時，變形虛功為正，即其乘積為正（或：溫變、單位荷載在桿件同側纖維上引起的變形一致時，其乘積為正），反之則為負。據此：如t取絕對值，當M 圖位于高溫一側時，第一項乘積為正；如 t0 以升高為正，當 F 為拉力時為正，則第二項乘積為正。 N0tFMAAhtlllllAtAhtNFMEt240)421()30

50、()42121(1 . 0300SSllllllAtAhtNFMEt840)21()30() 122121(1 . 0300SS6.6靜定結構由于支座移動引起的位移計算靜定結構由于支座移動引起的位移計算 靜定結構當支座發生位移時，并不產生內力，也不產生 微段變形，而只發生剛體位移。這時，平面桿系結構位移計算的一般公式（4-7）可簡化為：cFR（4-31） 位移計算的一般公式為： cFvFuFMRQNddd（4-7 )（式中FR、 M ，FN ，FQ為虛設單位力作用下引起的反力和內力）式中: 為虛擬狀態中由單位荷載引起的與支座位移相應的支座反力； c為實際狀態中與 FR 相應的已知的支座位移；

51、S為反力虛功總和，當FR與c方向一致時，其乘積取正；相反時，取負。須注意，式（4-31）前面的負號，是原來推導公式（4-7）移項時所得，不可漏掉。 cFR（4-31） RF例例4-10 4-10 圖示三鉸剛架圖示三鉸剛架A A支座往下位移了支座往下位移了b b，B B支座往右移動了支座往右移動了a a，求，求C C點的豎向位移點的豎向位移 和和C C點的相對轉角點的相對轉角 。 CVC解：（解：（1 1）求）求C C點的豎向位移點的豎向位移 CV真實位移狀態真實位移狀態 abL/2L/2LABC在在C C點作用一個豎向單位力，點作用一個豎向單位力，求出求出 和和 。 YAFXBF虛設力狀態虛設

52、力狀態 ABC1YAFXBF12YAF14XBF11()2424CVbaba （ ）支座移動引起的位移計算公式：支座移動引起的位移計算公式： RiiFC S2022-3-1889真實位移狀態真實位移狀態 abL/2L/2LABCABC1虛設力狀態虛設力狀態 YAFXBF1XBFL（）1()CaaLL 0YAF（2 2）求）求C C點的相對轉角點的相對轉角 C在在C C點作用一對單位力偶，點作用一對單位力偶，求出求出 和和 。 YAFXBF支座移動引起的位移計算公式：支座移動引起的位移計算公式： RiiFC S結果為正則位移與虛設力方向一致；結果為正則位移與虛設力方向一致； 結果為負則位移與虛設力方向相反。結果為負則位移與虛設力方向相反。 2022-3-1890例例4-11：圖示桁架，已知：圖示桁架，已知n nB = C，試求桿，試求桿 BC的角位移的角位移 BC。 ACECldACE解：把單位力偶換算成組成力偶的兩個力 F=1/d， 分別作用在結點 E、C上，并與 CE垂直。1/d1/dFAy=1lFCy=1l