1、第六章 無窮級數1、數項級數、數項級數2、冪級數、冪級數3、傅立葉級數、傅立葉級數第一節 冪級數及其在近似計算中的應用 6.0 背景 6.1 數項級數 6.2.1 冪級數的有關概念 6.2.2 將函數展開成冪級數第一節 冪級數及其在近似計算中的應用 公元1655年英國J.沃利斯在無窮算術中引入了無窮級數級數是進行函數數值計算的主要工具，隨著計算機的廣泛使用，其在工程技術和近似計算中的作用日趨明顯用一個冪級數來逼近一個函數，通常在某一點（函數在某一點展開）附近非常接近于函數的真值，而在其它的地方卻不一定這樣公元1807年，法國J.B.J.傅立葉在熱傳導研究中提出了任意函數的三角級數表示法，即由三

2、角函數組成的級數，這種級數被后人稱做傅立葉級數它能在一個更大的區間上更接近于原來的函數傅立葉級數廣泛地應用在電學和信號科學等領域 自然界的許多現象都具有周期性或重復性，所以用周期函數來逼近它們就極具意義例如，聲波是由空氣分子的周期性振動產生的、心臟的跳動、肺的運動和三角波等等都屬于周期現象，它們的合成與分解都大量用到三角級數 背景背景 6.1 數項級數 一、引例 二、概念和公式的引出 三、案例第一節 冪級數及其在近似計算中的應用 一、引例 彈簧的運動總路程這樣運動下去，小球運動的總路程為222222100100100100 ( )100 ( )3333122100 ( )100 ( )33nn

3、 一只球從100米的高空落下，每次彈回的高度為上次高度的 ，32212222100200200 ( )200 ( )100 ( )3333nn 其特點是：由無窮多個數相加。第一節 冪級數及其在近似計算中的應用 二、概念和公式的引出設數列 ， ， ，則1u2unu12nuuu稱為常數項無窮級數常數項無窮級數，簡稱數項級數數項級數，記作 1nnu，即 1nnu12nuuu其中第 n項 nu稱為級數的一般項一般項或通項通項數項級數數項級數第一節 冪級數及其在近似計算中的應用級數 1nnu的前 n項的和 nnuuus21稱為級數 1nnu的部分和當 n依次取 12 3 ， ， ，時，得到一個新的數列1

4、1us 212uus3213uuus123nnsuuuu ns1nnu數列 稱為級數 的部分和數列 部分和部分和部分和數列部分和數列第一節 冪級數及其在近似計算中的應用若級數 1nnu的部分和數列 ns有極限 s即 ssnnlim，則稱級數 1nnu是收斂收斂的，并稱 s為級數 1nnu的和和，記作suuuunnn211若 ns沒有極限，稱級數 1nnu是發散發散的即若 ssnnlim級數 1nnu收斂收斂，且 sunn1數項級數收斂數項級數收斂第一節 冪級數及其在近似計算中的應用兩個重要結果兩個重要結果1、等比級數1111ppnnp發散收斂p級數 )0(p2、11111qqqaaqnn)0(

5、a發散第一節 冪級數及其在近似計算中的應用 三、案例 案例1.分蘋果 有A、B、C三人按以下方法分一個蘋果：先將蘋果分成四份每人各取一份；然后將剩下的一份又分成四份，每人又取一份依此類推，以至無窮驗證：最終每人分得蘋果的 第一節 冪級數及其在近似計算中的應用解根據題意，每人分得的蘋果為n4141414132它為等比級數，因 141所以此級數收斂，其和為第一節 冪級數及其在近似計算中的應用 案例2.增加投資帶來的消費總增長 假設政府在經濟上投入1億元人民幣以刺激消費如果每個經營者和每個居民將收入的25存入銀行，其余的75被消費掉，從最初的1億元開始，這樣一直下去問：由政府增加投資而引起的消費總增

6、長為多少？如果每人只存10，結果為多少？第一節 冪級數及其在近似計算中的應用根據題意，若每人收入的25存入銀行解n)41()43()43(43132它為等比級數，因 143所以此級數收斂，其和為91010111limlimnnns則引起的消費總增長為6.2.1 冪級數的有關概念 一、引例 二、概念和公式的引出第一節 冪級數及其在近似計算中的應用 一、引例 冪函數具有一些很好的性質，在近似計算中，常用冪函數來擬合任一函數。如經過實驗，獲得以下數據x=0 02 03 052 064 07 10;y=03 045 047 050 038 033 024;如圖1所示第一節 冪級數及其在近似計算中的應用

7、做四次多項式的曲線擬合得3019. 03072. 03565. 31052. 93792. 5234ttttp00.10.20.30.40.50.60.70.80.910.20.250.30.350.40.450.5圖1其近似程度見圖200.10.20.30.40.50.60.70.80.910.150.20.250.30.350.40.450.50.55圖第一節 冪級數及其在近似計算中的應用 二、概念和公式的引出函數項級數函數項級數 設 ), 2 , 1)(nxun是定義在區間上的函數，則級數)()()()(211xuxuxuxunnn稱為區間 I上的函數項級數 冪級數冪級數 形如 0nnn

8、xannxaxaxaa2210(7-2)的函數項級數稱為冪級數，其中常數 012,na a aa稱為冪級數的系數 第一節 冪級數及其在近似計算中的應用形如 nnxxaxxaxxaa)()()(0202010（7-3） 的函數項級數稱為 0()xx的冪級數令 0 xxt冪級數 00)(nnnxxa即為冪級數 0nnnta冪級數的收斂區間 冪級數 0nnnxa的收斂半徑為 1limnnnaaR第一節 冪級數及其在近似計算中的應用當 R時 收斂區間為),(當0R時 0 x0a收斂區間為點，其和為當0R時 收斂區間為 ),(RR,RR),RR或 ,(RR之一 例如，冪級數 nxxx21的收斂半徑為R=

9、1，收斂區間為 ) 1 , 1(6.2.2 將函數展開成冪級數 一、引例 二、概念和公式的引出 三、案例第一節 冪級數及其在近似計算中的應用 一、引例自然數 e是一個超越數，如何計算它的值呢？下面尋找的表達式。第一節 冪級數及其在近似計算中的應用 二、概念和公式的引出泰勒級數泰勒級數 若當 n時 0)(xrn則函數 )(xf在點 0 x的附近能展開成泰勒級數( )20000000()()()()()()().2!nnfxfxf xfxxxxxxxn在近似計算中，可用 10)1()()!1()()(nnnxxnfxr( 在 和 x0 x之間)的絕對值來估計n次多項式與函數的誤差 第一節 冪級數及

10、其在近似計算中的應用由此結果，可以得到以下幾重要冪級數展開式nxxxx211111x1、xsin)!12() 1(! 5! 31253nxxxxnnx2、xe!212nxxxnx3、xcos)!2() 1(! 4! 21242nxxxnnx4、1) 1(32)1ln(132nxxxxxnn11x5、第一節 冪級數及其在近似計算中的應用 三、案例e的近似計算 案例1 計算的近似值，誤差不超過e410解由 e!1!2111n0!1nn取前 n項 e)!1(1!2111n則誤差要求為 410)!1(3)!1(nnern得 7n4710!81r則 e7183. 2! 71! 第一節 冪級數及其在近似計算中的應用 傅立葉（Fourier, Jean Baptiste Joseph, 1768-1830） 法國數學家及物理學家。最早使用定積分符號，改進符號 法則及根數判別方法。傅立葉級數（三角級數）創始人。 他的主要貢獻是在研究熱的傳播時創立了一套數學理論。1807年向巴黎科學院呈交熱的傳播論文， 推導出著名的熱傳導方程 ，并在求解該方程時發現解函數可以由三角函數構成的級數形式表示，從 而 提 出 任 一 函 數 都 可 以 展 成 三 角 函 數