1、 第十三章動能定理 動能是力學中的重要概念，是機械運動的另一種度量。當機械運動和其它形式運動如電、熱等相互轉化時，用動能來度量機械運動。動能定理建立了質點和質點系動能的變化與作用力的功之間的關系，是研究質點和質點系動力學的重要依據(jù)。本章介紹動能定理及其應用，并將綜合運用動力學普遍定理分析較復雜的動力學問題。§13-1 力的功 §13-2 動能定理例1.質點的質量為，沿傾角為的斜面向上運動，若質點與斜面間的摩擦系數(shù)為，初速度為，求質點的速度與路程之間的關系。并求質點停止前經(jīng)過的路程。圖13-15 解：研究對象：質點。受力分析：重力，法向約束力和摩擦力。質點開始運動時

2、的動能為 經(jīng)過路程后的動能為 作用在質點上的力在路程上作的功為 其中是重力的功，是摩擦力的功，法向約束力不作功，由質點動能定理可得 所以 這就是質點的速度和路程的關系。令，可得質點停止前經(jīng)過的路程: 這就是質點停止前經(jīng)過的路程。若用質點運動微分方程解此問題，則需先建立運動微分方程，再進行積分，積分上下限由初始條件確定，即 經(jīng)變換有 積分上式，并注意初始條件 得 這與上面應用動能定理得到的結果相同，在力是常數(shù)或力是位置的函數(shù)時，積分形式的動能定理，直接給出了質點運動微分方程的第一次積分，得到了速度和位置的關系。所以，用動能定理解此類問題，比較方便。例2.撞擊試驗機的擺錘質量為，擺桿長為，質量不計

3、。擺錘在最高位置受微小擾動而下落，不計軸承摩擦，擺錘視為質點，求:(1)在任一位置擺錘的速度。(2)桿的約束力及其最大值。(3)桿的內力隨角的變化規(guī)律。解：(1)研究對象：擺錘。受力分析：作用在擺錘上的力有重力，約束力。圖13-16擺錘的初始動能為: 擺錘在任一位置時的動能: 作用在擺錘上的力在此運動過程中作的功為: 根據(jù)質點動能定理，得 求得擺錘的速度為 (2)為了求擺錘的約束力，可用質點運動微分方程的自然坐標式: 將代入上式，得 這就是擺錘在任一位置時受的約束力，結果表明約束力隨角而變化。顯然，當，即擺錘運動到最低位置時，約束力達到最大值，即，是靜約束力的5倍。例3.掛在吊索上的物體，質量

4、為以的速度下降，如吊索的上端突然被卡住，求此后吊索中的最大張力。吊索的質量不計，被卡住后的剛度系數(shù)為。解：重物為研究對象，作用力有重力和彈性力。 圖13-17 圖13-18重物的初始動能為 重物運動到最低位置時，吊索變形最大，張力也最大，重物的速度為零，動能為重物的速度由減小到，吊索的變形由原來的靜變形增加到，則彈性力的功為 重力的功為 根據(jù)質點的動能定理可得由初始時的平衡條件可得 代入上式并簡化得 所以 吊索的最大變形為，最大張力為 例4.將一質量為的質點從地球上沿垂直方向拋出，初速度為，不計空氣阻力和地球自轉的影響，求(1)質點在地球引力作用下的速度。(2)第二宇宙速度。解：(1)以質點為

5、研究對象，作用在質點上的力只有引，由萬有引力定律知 指向地心質點初始動能為 運動到處的動能為 在此過程中，引力的功為 根據(jù)動能定理可得 所以質點的速度為 結果表明，上拋初速度一定時，質點的速度隨的增加而減小，即愈來愈慢。(2)由速可見，若，為負值，故當增加到某一數(shù)值時，質點的速度減小為零，此后質點在地球引力作用下落回地面。若，則不多大，甚至當為無窮大時，質點的速度也不會減小到零，即質點將脫離地球引力場，一去不復返，所以，即 就是第二宇宙速度。即從地面發(fā)射飛行器，使之脫離地球，進入太陽系，成為人造衛(wèi)星所需的最小速度。質點系的動能定理例題講解例1.輸送機的主動輪上作用一不變轉矩，被輸送的重物的質量

6、為，由靜止開始運動。輪和均視為均質圓盤，質量為，半徑為，輸送帶的質量不計，傾角為，不計阻力，求重物的速度和加速度。圖13-19解：以整個輸送機為研究對象。作用在系統(tǒng)上的主動力有轉矩，重物的重力，輪和輪的重力，約束力有、輪軸承的約束力、，、。系統(tǒng)由靜止開始運動，故初始動能為 重物運動距離后，系統(tǒng)的動能為 系統(tǒng)受理想約束，故約束力不作功，主動力的功為 根據(jù)質點系動能定理可得: （a）解之得 這就是重物的速度。 將式（a）兩邊同時對時間求導，可得重物的加速度，即 結果表明，加速度為常數(shù)，即重物作勻加速運動。例2.一不變轉矩作用在絞車的鼓輪上，鼓輪視為均質圓盤，半徑為，質量為。重物質量為，沿傾角為的斜

7、面上升，重物與斜面的摩擦系數(shù)為，繩索質量不計，系統(tǒng)由靜止開始運動，求鼓輪的角速度和角加速度。圖13-20解：以整個系統(tǒng)為研究對象。作用在系統(tǒng)上的主動力有轉矩，重力和，重物與斜面間的摩擦力，故非理想約束。其它約束力都不作功。系統(tǒng)的初始動能 鼓輪轉過角后，系統(tǒng)的動能為 主動力及摩擦力的功根據(jù)動能定理可得 （a）解之得 對式（a）兩邊對時間求導可得 在有摩擦力的情況下，已不是理想約束，但把摩擦力視為主動力，計入摩擦力的功，適用于理想約束的動能定理。對于整個系統(tǒng)來說，摩擦力也是內力，是成對出現(xiàn)的，但由于作用在斜面上的那個摩擦力不作功，所以此一對大小相等，方向相反，作用線相同的摩擦力，它們作的功之和并不

8、為零。任何機器或機構，其傳動副間的滑動摩擦力總是存在的，它們雖然是一對作用力和反作用力，但作的功不能相互抵消，所以滑動摩擦的存在，總是消耗能量的。例3.重物質量為，當其下落時，借一無重量且不可伸長的繩子，使鼓輪沿水平軌道滾動而不滑動。已知鼓輪的質量為，外輪半徑為，內輪半徑為，對質心的回轉半徑為，滑輪的質量忽略不計，求重物的加速度。圖13-21解：以整個系統(tǒng)為研究對象。系統(tǒng)受理想約束，主動力有和。系統(tǒng)的初始動能，任一瞬時系統(tǒng)的動能為 其中 ，所以 主動力的功為 根據(jù)動能定理得兩邊對時間求導，并注意到 ，得 （方向向下）與之前的這道題的做法比較，用動能定理解此題比較簡便。這是因為理想約束的約束力不

9、作功，故在動能方程中不包含未知的約束力。而用剛體的平面運動微分方程解此題，約束力都包含在方程中。方程中包含未知約束力，不僅演算較繁，而且當未知數(shù)多于方程數(shù)時，還要將系統(tǒng)拆開，考慮幾個甚至多個研究對象，以尋求足夠的獨立方程。所以對于具有理想約束的一個自由度系統(tǒng)，一般都用動能定理確理確定其運動。例4.汽車連同車輪的總質量為，每個車輪的質量為，半徑為，對輪心的回轉半徑為。在主動輪上作用有主動力矩，空氣阻力與汽車速度的平方成正比，即，車輪軸承的總摩擦力矩為，不計滾動摩擦，求汽車的極限速度。圖13-22解：以汽車為研究對象，作用在汽車上的外力有汽車的重力，空氣阻力，前后輪的摩擦力、和法向約束力、，作用在

10、汽車上的內力有驅動力矩和摩擦力矩。系統(tǒng)的動能為 式中，所以有 由于作用力中包含有變力，故應用微分形式的動能定理 其中外力的元功為 內力的元功為 所以 等式兩邊同除以微小時間間隔，并注意到，得 這是汽車的運動微分方程，且有 顯然加速度隨速度增加而減小。當汽車加速度減小為零時，速度達到極值稱為極限速度，即 所以 顯然汽車達到極限速度時，系統(tǒng)所有內力和外力作功之和必為零，即來自于汽車發(fā)動機的驅動力矩之功完全消耗于空氣阻力和摩擦阻力，系統(tǒng)的動能不能再繼續(xù)增加，汽車以極限速度作勻速運動。例5如圖所示，均質桿長為，重為，均質圓盤半徑為，重為，與桿在處鉸接，初瞬時桿水平，桿與圓盤均靜止。求桿與水平線成角時桿

11、的角速度與角加速度，以及處的反力。圖13-23解：先以圓盤為研究對象，受力如圖所示，由相對質心的動量矩定理或剛體平面運動微分方程，有 故得圓盤的角速度常量，因圓盤開始靜止，即，所以在運動過程中，圓盤始終作平動。再以圓盤與桿一起為研究對象，任一位置受力分析如圖，則系統(tǒng)的初動能 角位置時系統(tǒng)動能 由水平位置運動至角位置過程中只有重力、作功，有 根據(jù)動能定理有 （1）可得 將式（1）兩邊對時間求導，得 其中，代入上式可得 求處反力可應用質心運動定理，即有 式中，代入上式，即可求得，（略）。§13-3勢力場勢能機械能守恒定理機械能守恒定理例題講解例1.如圖所示，桿長度為，質量為，輪及輪的半徑

12、均為，質量均為，圓形槽道的半徑為，初瞬時靜止，且，求運動至時軌道作用在輪子上的摩擦力。圖13-27解：取輪、輪及桿組成的系統(tǒng)為研究對象，系統(tǒng)只受有重力，約束力及內力均不作功，故系統(tǒng)機械能守恒。由圖示的幾何關系有，桿作定軸轉動，輪及輪作平面運動，則，為輪子的角速度，即，則任一位置時系統(tǒng)的動能可寫為 取初瞬時位置，即為系統(tǒng)的零勢能位置，則在位置時系統(tǒng)具有的重力勢能為根據(jù)系統(tǒng)的機械能守恒常量，有 由初始條件，即時，代入上式可得，所以可得 將上式兩邊對時間求導可得 當時，所以有。再取輪為研究對象，受力分析如圖，列剛體平面運動微分方程有 所以即軌道作用于輪上的摩擦力為零。例2.均質細桿長為，質量為，上端

13、靠在光滑的墻上，下端以鉸鏈和圓柱體的中心相連。圓柱體質量為，半徑為，放在粗糙的地面上，自圖示位置由靜止開始滾動，滾動阻力可不計。如果初瞬時桿與水平線的夾角，求此瞬時點的加速度。圖13-28解：取圓柱和桿組成的系統(tǒng)為研究對象，受力如圖所示。在作用于系統(tǒng)上所有力當中，顯然只有重力作功。故該系統(tǒng)在運動中機械能守恒。以經(jīng)過圓柱體中心的水平面為勢能的零位置。則在圖示位置桿的重力勢能為 因圓柱體和桿皆作平面運動，在圖示位置它們的速度瞬心分別為點和點，則系統(tǒng)的動能為 根據(jù)機械能守恒定理 常量得 將上式兩端對時間求導，得 上式中 ，代入上式并注意到初瞬時，可得 注：本題亦可用微分形式的動能定理求解。例3.試用

14、機械能守恒定律計算第二宇宙速度。解：設飛行器質量為，視為質點。發(fā)射后在地球引力場中運動，不計空氣阻力，則飛行器的機械能保持不變。飛行器在任一位置時，受地球的引力為 其機械能為（選無窮遠處為引力勢能的零勢能位置）圖13-29 其中是地球半徑，是飛行器到地心的距離。設飛行器在地面的發(fā)射速度為，則械械能為 飛行器要能脫離地球引力場，成為人造衛(wèi)星，必須滿足條件，因為在無窮遠處，地球引力趨于零，飛行器速度稍大于零，即可脫離地球引力場，成為人造衛(wèi)星。顯然，應用條件，進行計算，即可求得從地面發(fā)射所需之最小初速度，即第二宇宙速度。根據(jù)上述條件可知飛行器在無窮遠處的機械能為零。根據(jù)機械能守恒定律可得 從而可算得

15、 這就是第二宇宙速度。第二宇宙速度在前面的例4中已用動能定理計算過。在此重算之目的在于通過對比，常握動能定理和機械能守恒定律的內在聯(lián)系，掌握機械能守恒定律解題的方法和特點。對于在勢力場中運動的自由質點和質點系，或受有理想約束的非自由質點和質點系，用機械能守恒定律確定其運動，十分簡便。用機械能守恒定律解題，關鍵在于正確計算勢能，故必須正確理解勢能的概念，熟練常握重力、彈性力及萬有引力勢能的計算。計算勢能時要特別注意基準點的選擇。§13-4功率 功率方程 機械效率功率 功率方程 機械效率例題講解 例1.車床電動機的功率，主軸的最低轉速，傳動系統(tǒng)中損耗的功率是輸入功率的，或工件的直徑，求切

16、削力。圖13-30解：車床正常運轉時主軸是等角速度轉動，故系統(tǒng)動能不隨時間變化，即。根據(jù)功率方程可得 其中輸入功率，損耗功率，故用于切削工件的功率為 又 故切削力 例2.皮帶輸送機的速度，輸送量，高度，損耗功率為輸入功率的，求輸入功率。圖13-31解：輸送帶在時間內輸送的質量為。以皮帶上被輸送的材料為研究對象（包括將要進入輸送帶的質量）。經(jīng)時間，輸送帶將質量的材料以速度拋出，同時又有質量的材料從靜止狀態(tài)進入輸送帶。由于拋出質量速度的大小未改變，而進入質量的速度由零增加到，故在時間內，系統(tǒng)動能的增量為 動能對時間的導數(shù)為 根據(jù)功率方程 得 其中是工作用的功率，用于在時間內將質量的材料提高，即 是

17、損耗功率，已知，所以輸入功率 §13-5動力學普遍定理綜合應用前面各章節(jié)講述了用于研究質點或質點系的運動變化與所受力之間關系的動量定理、動量矩定理及動能定理。但每一定理只反映了這種關系的一個方面，這些定理既有共性，又各有其特殊性。例如，動量定理和動量矩定理都既反映速度大小的變化，也反映速度方向的變化，而動能定理只反映速度大小的變化。動量定理和動量矩定理涉及所有外力（包括約束力），卻與內力無關，而動能定理則涉及所有作功的力（不論是內力、外力）等都是特殊性的反映。前面各章節(jié)中的例題，有的可用不同的定理求解，這是它們共性的表現(xiàn)，而有的只能用某一定理求解，則是各自特殊性的表現(xiàn)。一般來說，在求

18、解具體問題時，根據(jù)質點系的受力情況、約束情況、給定的條件及要求的未知量，就可判定應用某一定理求解最為簡捷。只用某一定理，往往不能求得問題的全部解答。例如，應用動能定理可以方便地求出物體在兩個位置的速度大小的變化，但一般不能確定速度的方向，也不能確定中間的運動過程，因為不考慮不作功的約束力，自然也就不能用來求那些約束力。有些問題需要同時使用兩個或三個定理才能求解全部解答。因此，我們必須對各定理較透徹的了解，弄清楚什么樣的問題宜用什么定理求解，再進一步常握各定理的綜合應用。動力學普遍定理綜合應用例題講解例1.、輪質量均為，半徑為、視為均質圓柱體。重物質量為，三角塊質量為，傾角為，固結于地面。輪在斜

19、面上作無滑動滾動。求（1）重物的加速度。（2）三角塊受地面的約束力。（3）、輪間繩索的張力。（4）輪與斜面間的摩擦力。圖13-32解：（1）求重物的加速度。以整個系統(tǒng)為研究對象。系統(tǒng)中重物作平動，輪作定軸轉動，輪作平面運動。作用在系統(tǒng)上的主動力有重力、和約束力、。由于三角塊固定不動，故、不作功。系統(tǒng)內其他各物體均受理想約束。根據(jù)動能定理得式中，上式可簡化為 等式兩邊各項對時間求導，并考慮到，可求得重物的加速度為 結果表明，當時，輪才能由靜止向上滾動，重物向下作勻加速度運動。（2）求約束力、仍以整個系統(tǒng)為研究對象。重物和輪質心加速度已求出，故可用質心運動定理求約束力、。根據(jù)質心運動定理可得 所以

20、 （3）求張力和摩擦力以輪為研究對象。作用在其上的力有重力，繩索的張力，斜面的法向約束力和摩擦力。輪作平面運動，輪心的加速度已求出，根據(jù)滾動無滑動條件，則可求出輪的角加速度，即根據(jù)剛體平面運動微分方程可得 由此可求出 應該注意，此時斜面的摩擦力是一種約束力，它決定于輪子的運動和作用在輪子上的其他力，而與接觸面的物理條件無關，即。滾動無滑動時，一般，否則就要產生相對滑動。求繩索中張力，亦可用輪和重物組成的系統(tǒng)作為研究對象，用動量矩定理求解。受力情況如圖（c），根據(jù)動量矩定理得 即 其中 ，故張力為 要注意由于考慮了滑輪的質量，所以滑輪兩邊繩子的張力是不相等的。下邊繩索張力。例2.原長、具有彈簧常數(shù)的彈性軟繩，一端固定于一光滑水平面上點，另一端系有一重的小球。開始時，把軟繩拉長，并給予小球與軟繩相垂直的初速度，如圖所示。求當軟繩恢復到原長時，小球的速度的大小以及與軟繩間的夾角。圖13-33解：因水平面的約束反力不作功，故小球處于