1、類型一類型一 觀察法：觀察法：已知前幾項，寫通項公式已知前幾項，寫通項公式一、普通數列：一、普通數列：121211 2 - - , - 32532 7 77 777 77773 ba b a（ ） ， ，（） ， ， ，（） ， ，12( 1)nnan 7(101)9nna ( 1)22nnababa 方法規律總結：方法規律總結：1.正負號用正負號用(-1)n或或(-1)n+1來調節。分式形式觀察分母間關系和分子間關系的來調節。分式形式觀察分母間關系和分子間關系的同時還要觀察分子與分母間的關系，有時還要把約分后的分式還原后觀察。同時還要觀察分子與分母間的關系，有時還要把約分后的分式還原后觀察。

2、2.如如0.7，0.77,0.777類的數列，要用類的數列，要用“歸九法歸九法”3.兩個循環的數列是兩個循環的數列是0,1,0,1的變形。可以拆成一個常數列的變形。可以拆成一個常數列b,b,b,b與與0,a-b,0,a-b.的和，分別寫通項然后相加再化簡。的和，分別寫通項然后相加再化簡。類型二、類型二、前前n項和法項和法 已知前已知前n項和，求通項公式項和，求通項公式11 (1) (2)nnnSnaSSn 設設an的前的前n項和為項和為Sn,且滿足且滿足Sn=n2+2n-1,求求an n的通項公式的通項公式.例例2：設數列設數列an滿足滿足a1=1, an=-SnSn-1(n2，nN*）求求a

3、n n的通項公式的通項公式.例例3：2 1 21 2nnann 1 1 1 2(1)nnann n 提示：把提示：把an代換成代換成Sn-Sn-1設各項正數數列設各項正數數列an的前的前n項和為項和為Sn,且滿足且滿足2Sn= an+1/ an，求求an n的通項公式的通項公式。( (有點難哦！有點難哦！) )練習：練習：1nann 例例2：在在an中，已知中，已知a1=1,an=an-1+n (n2),求通項求通項an.練：練： 111311,3 (2)2nnnnnaaaana n n已已知知中中,證,證明明：類型一、類型一、累加法累加法 形如形如 的遞推式的遞推式1( )nnaaf n11

4、223343221 1 2 3 . 3 2 nnnnnnnnaanaanaanaanaaaa 解解：以以上上各各式式相相加加n1 a(234)(n+2)(n-1) =1+2 an 得得二、遞推數列：二、遞推數列：條件：條件：f（1）+ f（2）+ f（n-1）的和要可以求出才可用）的和要可以求出才可用例例4： 12,3,.nnnnnaaaaa 1 1已已知知中中，求求通通項項練：練： 122,2,.nnnnaaaaan 1 1已已知知中中，求求通通項項類型二、類型二、累乘法累乘法形如形如 的遞推式的遞推式1( )nnaf na123412312342322123211 3, 3, 3, 3 .

5、 3 , 3 3 3333 2 3nnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaa 解解：以以上上各各式式相相乘乘得得1 2 3( -1)( -1)2( -1)2 2 3 2 3nn nn nna 條件：條件：f（1）f（2） f（n-1）的積要可以求出才可用）的積要可以求出才可用例例5： 111,21 .nnnnaaaaa 數數列列滿滿足足, 求, 求類型三、形如類型三、形如 的遞推式的遞推式1( )nnapaf n分析：構造等比分析：構造等比數列數列an+x，若可以觀察，若可以觀察x值更好值更好1 1、形如、形如1nnapaq通用方法：通用方法：待定系數法待定系數法2 2、形如、

6、形如1nnapaAn B類型三、形如類型三、形如 的遞推式的遞推式1( )nnapaf n分析：構造等比分析：構造等比數列數列an+kn+b，3 3、形如、形如21nnapaAnBnC類型三、形如類型三、形如 的遞推式的遞推式1( )nnapaf n分析：構造等比分析：構造等比數列數列an+xn2+yn+z，4 4、形如、形如1nnnapaAqB類型三、形如類型三、形如 的遞推式的遞推式1( )nnapaf n分析：構造等比分析：構造等比數列數列an+xqn+y，例例6： 111,21nnnnnaaaaaa 數數 列列滿滿 足足 : :求求通通 項項 公公 式式取倒法取倒法構造輔助數列構造輔助

7、數列類型四、形如類型四、形如 的遞推式的遞推式1nnnpaaqar111n11n12111 221a11 2aannnnnnaaaaaa 解解：是是以以為為首首項項，以以 為為公公差差的的等等差差數數列列111(1)221 21nnnnnaaan 類型五、（類型五、（1）形如）形如 的遞推式的遞推式11nnnaAaB A例例7： 1113,33,nnnnaaaaa n n數數列列滿滿足足: :求求通通項項公公式式. .11111 33 133 133 -11333nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaannan 解解：是是以以為為首首項項，以以 為為公公差差的的等等差差數數列列（） 相除法相

8、除法類型五、（類型五、（2）形如）形如 的遞推式的遞推式11nnnaAaB C相除法相除法11-3,35 2nnnaaaa n 1n 1求求變式：變式：類型五、（類型五、（3）形如）形如 的遞推式的遞推式11nnnnapaqaa例例8：1112,0,2.nnnnnnaaaaaaa已知且,求1111111 2 211 -211545 -1 (-2)-2222 45nnnnnnnnnaaaaaaaannnaaan 解解：是是以以為為首首項項，以以為為公公差差的的等等差差數數列列（）兩邊同除以兩邊同除以an+1an相除法相除法類型六、（類型六、（1）形如）形如 的遞推式的遞推式1rnnapa分析：取

9、對數分析：取對數后后構造等比構造等比數列數列分析：分析：先先轉化轉化后后取對數取對數再再構造等比構造等比數列數列類型六、（類型六、（2）形如）形如 遞推式遞推式1()rnnaxp ax 類型七、特征根法、不動點法類型七、特征根法、不動點法（一）理論部分：（一）理論部分：21nnnapaqa類型七、特征根法、不動點法類型七、特征根法、不動點法（一）理論部分：（一）理論部分：1nnnpaqarah類型七、特征根法、不動點法類型七、特征根法、不動點法（二）特征根法：（二）特征根法：特征根解法如下：特征根解法如下：試求斐波那契數列（兔子數列）：試求斐波那契數列（兔子數列）：1,1,2,3,5,8,13

10、,21,34,55,89 的通項公式的通項公式類型七、特征根法、不動點法類型七、特征根法、不動點法（三）不動點法：（三）不動點法：類型七、特征根法、不動點法類型七、特征根法、不動點法（三）不動點法：（三）不動點法：不動點法理論純字母推導比較難，看一個具體的例題，幫助理解不動點法理論純字母推導比較難，看一個具體的例題，幫助理解特征根法對待定系數的妙用：特征根法對待定系數的妙用：類型八、其他方法類型八、其他方法（一）開方、平方法（一）開方、平方法 求遞推數列的通項的主要思路是通過轉化求遞推數列的通項的主要思路是通過轉化, 構造新的熟知構造新的熟知數列數列,使問題化陌生為熟悉使問題化陌生為熟悉.我們

11、要根據不同的遞推關系式我們要根據不同的遞推關系式,采取采取不同的變形手段不同的變形手段,從而達到轉化的目的從而達到轉化的目的. 類型八、其他方法類型八、其他方法（二）裂項疊加法（二）裂項疊加法類型八、其他方法類型八、其他方法（三）換元法（三）換元法類型類型方法方法1、已知前幾項、已知前幾項觀察法觀察法2、已知前、已知前n項和項和Sn前前n項和法項和法3、形如、形如 的遞推式的遞推式累加法累加法4、形如、形如 的遞推式的遞推式累乘法累乘法5、形如、形如 的遞推式的遞推式待定系數法待定系數法6、形如、形如 的遞推式的遞推式取倒法取倒法7、形如、形如 的遞推式的遞推式相除法相除法8、形如、形如 的遞