1、模塊復習模塊復習 菱形菱形 基礎知識基礎知識 自主學習自主學習要點梳理要點梳理性質判定邊兩組對邊分別平行兩組對邊分別相等有一個角是直角的平行四邊形是矩形角矩形的四個角都是直角有三個角是直角的四邊形是矩形對角線矩形的兩條對角線相等對角線相等的平行四邊形是矩形推論直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半如果一個三角形一邊上的中線等于這邊的一半,那么這個三角形是直角三角形矩形矩形基礎知識基礎知識 自主學習自主學習要點梳理要點梳理基礎知識基礎知識 自主學習自主學習要點梳理要點梳理性質判定邊菱形的四條邊都相等.一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.四條邊都相等的四邊形是菱形.角對角相等.鄰角互補.對角線菱形的兩條

2、對角線互相垂直；并且每條對角線平分一組對角.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形.基礎知識基礎知識 自主學習自主學習要點梳理要點梳理菱形菱形 難點正本疑點清源難點正本疑點清源 正確運用菱形的性質、判定來解題正確運用菱形的性質、判定來解題 菱形的性質是我們研究菱形的角或邊的重要依據，利用菱形的性質，菱形的性質是我們研究菱形的角或邊的重要依據，利用菱形的性質，可以求角的度數、線段的長度，也可以證明角相等、線段相等、線段可以求角的度數、線段的長度，也可以證明角相等、線段相等、線段平分線等問題其關鍵是根據所要證明的全等三角形，選擇需要的邊、平分線等問題其關鍵是根據所要證

3、明的全等三角形，選擇需要的邊、角相等條件角相等條件 包括定義在內，菱形共有三種判定方法，對于不同的題目，應通過仔包括定義在內，菱形共有三種判定方法，對于不同的題目，應通過仔細觀察分析，選出合適的判定方法來解答，在實際運用中，要注意性細觀察分析，選出合適的判定方法來解答，在實際運用中，要注意性質和判定的聯系和區別質和判定的聯系和區別 定義：定義：一組鄰邊相等的平行四邊形一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；是菱形； 四條邊都相等的四邊形四條邊都相等的四邊形是菱形；是菱形； 對角線互相垂直的平行四邊形對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；是菱形； 題型分類題型分類 深度剖析深度剖析題型一菱形的性質 例1 菱

4、形ABCD中，B=60，點E在邊BC上，點F在邊CD上. （1）如圖1，若E在邊BC上，且E為BC中點，AEF=60；求證：BE=DF； （2）如圖2，若EAF=60；求證：AEF是等邊三角形.證明：（1）如圖1，連結AC，在菱形ABCD中，B=60AB=BC=CDC=180-B=120ABC是等邊三角形E是BC的中點AEBCAEF=60FEC=90-AEF=30CFE=180-FEC-ECF =180-30-120=30FEC=CFEEC=CFBE=DF（2）如圖2，連結AC，ABC是等邊三角形AB=AC，ACB=60B=ACF=60ADBCAEB=EAD=EAF+FAD=60+FAD AF

5、C=D+FAD=60+FADAEB=AFCABEACF（AAS）AE=AFEAF=60AEF是等邊三角形.探究提高探究提高 菱形對邊相等，對邊平行，對角相等，鄰角互補，對菱形對邊相等，對邊平行，對角相等，鄰角互補，對角線垂直且互相平分，利用這些性質可以解決與菱形相關角線垂直且互相平分，利用這些性質可以解決與菱形相關的問題。的問題。 注意：菱形的一條對角線把菱形分成兩個全等的等腰注意：菱形的一條對角線把菱形分成兩個全等的等腰三角形；菱形的兩條對角線把菱形分成四個直角三角形三角形；菱形的兩條對角線把菱形分成四個直角三角形. 因因此，有關菱形的問題往往可轉化為直角三角形或等腰三角此，有關菱形的問題往

6、往可轉化為直角三角形或等腰三角形的問題來解決形的問題來解決.題型二菱形的判定題型二菱形的判定例例2 如圖，在四邊形如圖，在四邊形ABCD中，中，AB=CD，M，N，P，Q分別是分別是AD，BC，BD，AC的中點的中點. 求證：求證：MN與與PQ互相垂直平分互相垂直平分. 分析：要直接證明MN與PQ互相垂直平分比較困難，聯想到菱形的對角線互相垂直平分的性質，所以只要連結MP，PN，NQ，QM，再進一步證明四邊形MPNQ是菱形即可.證明： 如圖，連結MP，PN，NQ，QM. M，N，P，Q分別是AD，BC， BD，AC的中點MPAB，QNAB，PNCD， MQCD，MP= AB，MQ= CD. M

7、PQN，PNMQ. 四邊形MPNQ是平行四邊形AB=CDMP=MQ四邊形MPNQ是菱形MN與PQ互相垂直平分.注意點：本題主要應用了三角形中位線性質，也可證明四邊形PNQM的一組對邊平行且相等，還可以直接根據中位線的性質證明四邊形PNQM的四條邊都相等.探究提高探究提高探索菱形成立的條件，有多種方法判定：探索菱形成立的條件，有多種方法判定： 若條件中涉及對角線，考慮用若條件中涉及對角線，考慮用“對角線互相垂直的平行對角線互相垂直的平行四邊形是菱形四邊形是菱形”來說明；來說明； 若條件中涉及邊，考慮用若條件中涉及邊，考慮用“一組鄰邊相等的平行四邊形一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形是菱形”或或“四條

8、邊都相等的四邊形是菱形四條邊都相等的四邊形是菱形”來證明；來證明；題型三折出來的菱形題型三折出來的菱形例3 動手操作：在一張長12cm，寬5cm的矩形紙片內，要折出一個菱形，小穎同學按照取兩組對邊中點的方法折出菱形EFGH（方案一），小芳同學沿矩形的對角線AC折出CAE=CAD，ACF=ACB的方法得到菱形AECF（見方案二）.（1）你能說出小穎、小芳所折出的菱形的理由嗎？（2）請你通過計算，比較小穎和小芳同學的折法中，哪種菱形面積較大？分析：（1）從菱形的判定方法入手思考；（2）計算各方案的面積時，方案一：矩形的面積減去4個直角三角形的面積；方案二：先求出邊長BE，利用勾股定理列式求解. 解

9、：（1）小穎的理由：依次連結矩形各邊的中點所得到的四邊形是菱形. 小芳的理由：四邊形ABCD是矩形，ADBC，則DAC=ACB. 又CAE=CAD，ACF=ACB，CAE=CAD=ACF=ACB，AE=EC=CF=FA，四邊形AECF是菱形.（2）方案一：S菱形=S矩形ABCD-4SAEH=125-4 6 =30(cm2)；2125方案二：設BE=x，則CE=12-x，AE= . 由四邊形AECF是菱形，則AE2=CE2，x2+25=(12-x)2，x= ，S菱形AECF=S矩形ABCD-2SABE =125-2 5 35.21(cm2)，比較可知，小芳同學所折的菱形的面積較大.11924121192422225BEABx注意點：操作性問題，要充分揭示其操作的條件來求解.1. 菱形的定義：菱形的定義：2. 矩形的性質：矩形的性質：3. 矩形的判別：矩形的判別：兩組對邊兩組對邊分別平行分別平行相等相等有一組鄰邊有一組鄰邊四邊形四邊形 平行平行四邊形四邊形 平行平行四邊形四邊形有一組鄰邊相等有一組鄰邊相等對角線垂直對角線垂直ABCD,ADBC,ABCD,ADBC