1、1第五章第五章電磁波的輻射電磁波的輻射2 電磁波是由電磁波是由運(yùn)動(dòng)電荷運(yùn)動(dòng)電荷輻輻射出來(lái)的。本章研究高頻交變射出來(lái)的。本章研究高頻交變電流輻射電磁波的規(guī)律。例如：電流輻射電磁波的規(guī)律。例如：無(wú)線(xiàn)電波是由發(fā)射天線(xiàn)上的高無(wú)線(xiàn)電波是由發(fā)射天線(xiàn)上的高頻交變電流輻射出來(lái)的。頻交變電流輻射出來(lái)的。3 嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，天線(xiàn)上的電流和它嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，天線(xiàn)上的電流和它激發(fā)的電磁場(chǎng)是相互作用的。天線(xiàn)激發(fā)的電磁場(chǎng)是相互作用的。天線(xiàn)電流激發(fā)電磁場(chǎng)，而電磁場(chǎng)又反過(guò)；電流激發(fā)電磁場(chǎng)，而電磁場(chǎng)又反過(guò)；來(lái)作用到天線(xiàn)電流上，影響著天線(xiàn)來(lái)作用到天線(xiàn)電流上，影響著天線(xiàn)電流的分布。所以輻射問(wèn)題本質(zhì)上電流的分布。所以輻射問(wèn)題本質(zhì)上也是一個(gè)邊值問(wèn)

2、題。也是一個(gè)邊值問(wèn)題。4 天線(xiàn)電流和空間電磁場(chǎng)是相互天線(xiàn)電流和空間電磁場(chǎng)是相互作用的兩方面，需要應(yīng)用天線(xiàn)表面作用的兩方面，需要應(yīng)用天線(xiàn)表面上的邊界條件，同時(shí)確定空間中的上的邊界條件，同時(shí)確定空間中的電磁波的形式和天線(xiàn)上的電流分布。電磁波的形式和天線(xiàn)上的電流分布。 這種問(wèn)題的求解一般比較復(fù)雜。僅局限于討論：這種問(wèn)題的求解一般比較復(fù)雜。僅局限于討論：給定天線(xiàn)上電流分布給定天線(xiàn)上電流分布, ,計(jì)算輻射電磁波計(jì)算輻射電磁波5主要內(nèi)容主要內(nèi)容把勢(shì)的概念并推廣到一般變化把勢(shì)的概念并推廣到一般變化電磁場(chǎng)電磁場(chǎng)通過(guò)勢(shì)求解電磁輻射通過(guò)勢(shì)求解電磁輻射高頻交變電流輻射電磁波的規(guī)高頻交變電流輻射電磁波的規(guī)律律65.1

3、 5.1 電磁場(chǎng)的矢勢(shì)電磁場(chǎng)的矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)和標(biāo)勢(shì)7考慮真空中的電磁場(chǎng)，麥克斯韋方程組考慮真空中的電磁場(chǎng)，麥克斯韋方程組t JtD D0 BH,D00 其中其中1. 1. 勢(shì)的引入勢(shì)的引入8 由由B B的無(wú)源性引入矢勢(shì)的無(wú)源性引入矢勢(shì)A A 一般情況下，仍然保持無(wú)源性，所以上一般情況下，仍然保持無(wú)源性，所以上式是普遍成立的。式是普遍成立的。 A A的物理意義：在任意時(shí)刻，的物理意義：在任意時(shí)刻，A A沿任一閉沿任一閉合回路的線(xiàn)積分等于該時(shí)刻通過(guò)回路內(nèi)的磁合回路的線(xiàn)積分等于該時(shí)刻通過(guò)回路內(nèi)的磁通量。通量。恒定場(chǎng)：恒定場(chǎng)：0 B9 一般的情況下，電場(chǎng)一般的情況下，電場(chǎng)E E既受到電既受到電荷的激發(fā)，也

4、受到變化磁場(chǎng)的激發(fā)，荷的激發(fā)，也受到變化磁場(chǎng)的激發(fā)，而變化磁場(chǎng)激發(fā)的是有旋的電場(chǎng)。而變化磁場(chǎng)激發(fā)的是有旋的電場(chǎng)。 因此，一般情況電場(chǎng)是有源和因此，一般情況電場(chǎng)是有源和有旋的，不可能用一個(gè)單獨(dú)的標(biāo)勢(shì)有旋的，不可能用一個(gè)單獨(dú)的標(biāo)勢(shì)來(lái)描述。在變化情況下電場(chǎng)與磁場(chǎng)來(lái)描述。在變化情況下電場(chǎng)與磁場(chǎng)發(fā)生直接聯(lián)系，則電場(chǎng)的表示式必發(fā)生直接聯(lián)系，則電場(chǎng)的表示式必然包含矢勢(shì)然包含矢勢(shì)A A在內(nèi)。在內(nèi)。100)( t上式表明矢量上式表明矢量E+E+ A/A/ t t是無(wú)旋是無(wú)旋場(chǎng)，因此可以用場(chǎng)，因此可以用標(biāo)勢(shì)標(biāo)勢(shì) 描述，描述，一般情況下一般情況下電場(chǎng)的表示電場(chǎng)的表示式為式為 tt t 11此兩式把電磁場(chǎng)用矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)

5、表示出來(lái)。注此兩式把電磁場(chǎng)用矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)表示出來(lái)。注意現(xiàn)在的電場(chǎng)意現(xiàn)在的電場(chǎng)E E不再是保守力場(chǎng)，一般不存在不再是保守力場(chǎng)，一般不存在勢(shì)能的概念，標(biāo)勢(shì)勢(shì)能的概念，標(biāo)勢(shì) 失去作為電場(chǎng)中的勢(shì)能失去作為電場(chǎng)中的勢(shì)能的意義。因此，在高頻系統(tǒng)中，電壓的概念的意義。因此，在高頻系統(tǒng)中，電壓的概念也失去確切的意義。在變化場(chǎng)中，磁場(chǎng)和電也失去確切的意義。在變化場(chǎng)中，磁場(chǎng)和電場(chǎng)是相互作用著的整體，必須把矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)場(chǎng)是相互作用著的整體，必須把矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)作為一個(gè)整體來(lái)描述電磁場(chǎng)。作為一個(gè)整體來(lái)描述電磁場(chǎng)。 t 122. 2. 規(guī)范變換和規(guī)范不變性規(guī)范變換和規(guī)范不變性 用矢勢(shì)用矢勢(shì)A和標(biāo)勢(shì)和標(biāo)勢(shì) 描述電磁場(chǎng)不是描述電磁

6、場(chǎng)不是唯一的，即給定的唯一的，即給定的E和和B并不對(duì)應(yīng)于并不對(duì)應(yīng)于唯一的唯一的A和和 。 對(duì)矢勢(shì)對(duì)矢勢(shì)A可以加上一個(gè)可以加上一個(gè)任意函數(shù)的梯度，結(jié)果不任意函數(shù)的梯度，結(jié)果不影響影響B(tài)，而這加在而這加在A上的梯上的梯度部分又可以從度部分又可以從中除去，中除去，結(jié)果也不影響結(jié)果也不影響B(tài)。設(shè)設(shè) 為任為任意時(shí)空函數(shù)，做變換意時(shí)空函數(shù)，做變換tAAA 13有有 tt 描述同一描述同一電磁場(chǎng)電磁場(chǎng))( ,)( ,一種規(guī)范一種規(guī)范 t 勢(shì)的規(guī)范變換勢(shì)的規(guī)范變換14 在經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)中，由于表示電磁場(chǎng)客觀屬性在經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)中，由于表示電磁場(chǎng)客觀屬性的可測(cè)量的物理量為的可測(cè)量的物理量為E和和B，而不同規(guī)范又對(duì)應(yīng)

7、而不同規(guī)范又對(duì)應(yīng)著同一的著同一的E和和B，因此如果用勢(shì)來(lái)描述電磁場(chǎng)，因此如果用勢(shì)來(lái)描述電磁場(chǎng)，客觀規(guī)律應(yīng)該和勢(shì)的特殊的規(guī)范選擇無(wú)關(guān)。客觀規(guī)律應(yīng)該和勢(shì)的特殊的規(guī)范選擇無(wú)關(guān)。規(guī)范不變性規(guī)范不變性: :當(dāng)勢(shì)作規(guī)范變換時(shí)，所有物理量當(dāng)勢(shì)作規(guī)范變換時(shí)，所有物理量和物理規(guī)律都應(yīng)該保持不變的一種不變性。和物理規(guī)律都應(yīng)該保持不變的一種不變性。15 Cld 在量子力學(xué)中，在量子力學(xué)中，E和和B不能完全描述電磁不能完全描述電磁場(chǎng)的所有物理效應(yīng)。例如在場(chǎng)的所有物理效應(yīng)。例如在A-B效應(yīng)中，在效應(yīng)中，在非單連通區(qū)域內(nèi)繞閉合路徑一周的電子波非單連通區(qū)域內(nèi)繞閉合路徑一周的電子波函數(shù)相位差，就由回路積分描述，它不能函數(shù)相位

8、差，就由回路積分描述，它不能用用B的局域作用來(lái)描述。的局域作用來(lái)描述。16但是，此回路積分仍然是規(guī)范不變的。但是，此回路積分仍然是規(guī)范不變的。因?yàn)閷?duì)因?yàn)閷?duì)A A做規(guī)范變換后做規(guī)范變換后 l ddl dl dl d )(表明在量子力學(xué)中，所有可測(cè)量的物表明在量子力學(xué)中，所有可測(cè)量的物理量仍然保持規(guī)范不變性。理量仍然保持規(guī)范不變性。17 在經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)中，勢(shì)在經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)中，勢(shì)A和和 的引的引入是作為描述電磁場(chǎng)的一種方法，入是作為描述電磁場(chǎng)的一種方法，規(guī)范不變性是對(duì)這種描述方法所加規(guī)范不變性是對(duì)這種描述方法所加的要求。的要求。 在近代物理中，規(guī)范變換是由在近代物理中，規(guī)范變換是由量子力學(xué)的基本原理

9、引入的，規(guī)范量子力學(xué)的基本原理引入的，規(guī)范不變性是一條重要的物理原理。不變性是一條重要的物理原理。18 在量子力學(xué)中在量子力學(xué)中A和和 的地位也比在經(jīng)典電動(dòng)的地位也比在經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)中重要得多。因此力學(xué)中重要得多。因此要熟悉用勢(shì)描述電磁場(chǎng)要熟悉用勢(shì)描述電磁場(chǎng)的方法。的方法。19 現(xiàn)在已經(jīng)清楚，不僅在電磁相互作現(xiàn)在已經(jīng)清楚，不僅在電磁相互作用中，而且在其他基本相互作用，包括用中，而且在其他基本相互作用，包括弱相互作用和強(qiáng)相互作用中，規(guī)范不變?nèi)跸嗷プ饔煤蛷?qiáng)相互作用中，規(guī)范不變性是決定相互作用形式的一條基本原理。性是決定相互作用形式的一條基本原理。傳遞這些相互作用的場(chǎng)稱(chēng)為規(guī)范場(chǎng)傳遞這些相互作用的場(chǎng)稱(chēng)為

10、規(guī)范場(chǎng)電磁場(chǎng)是最熟知的一種規(guī)范場(chǎng)電磁場(chǎng)是最熟知的一種規(guī)范場(chǎng)20 從數(shù)學(xué)上來(lái)說(shuō)，從數(shù)學(xué)上來(lái)說(shuō)，規(guī)范變換自由度的存規(guī)范變換自由度的存在是由于在勢(shì)的定義在是由于在勢(shì)的定義式中，只給出式中，只給出A A的旋的旋度，而沒(méi)有給出度，而沒(méi)有給出A A的的散度。散度。 因此，還不足以確定這因此，還不足以確定這矢量場(chǎng)。為了確定它還必須矢量場(chǎng)。為了確定它還必須給定它的散度。給定它的散度。t 21 電磁場(chǎng)電磁場(chǎng)E和和B本身對(duì)本身對(duì)A的散的散度沒(méi)有任何限制。因此，作度沒(méi)有任何限制。因此，作為確定勢(shì)的輔助條件，我們?yōu)榇_定勢(shì)的輔助條件，我們可以取可以取A為任意的值。為任意的值。22 每一種選擇對(duì)應(yīng)一種規(guī)范。采用適當(dāng)每一種

11、選擇對(duì)應(yīng)一種規(guī)范。采用適當(dāng)?shù)妮o助條件可以使基本方程和計(jì)算簡(jiǎn)化，的輔助條件可以使基本方程和計(jì)算簡(jiǎn)化，而且物理意義也較明顯。從計(jì)算方便考慮，而且物理意義也較明顯。從計(jì)算方便考慮，在不同問(wèn)題中可以采用不同的輔助條件。在不同問(wèn)題中可以采用不同的輔助條件。應(yīng)用最廣泛的是以下兩種規(guī)范條件。應(yīng)用最廣泛的是以下兩種規(guī)范條件。(1) (1) 庫(kù)侖規(guī)范庫(kù)侖規(guī)范(2) (2) 洛倫茲規(guī)范洛倫茲規(guī)范23(1) (1) 庫(kù)侖規(guī)范庫(kù)侖規(guī)范0 輔助條件輔助條件A為無(wú)源場(chǎng)為無(wú)源場(chǎng)t 無(wú)源場(chǎng)無(wú)源場(chǎng)( (橫場(chǎng)橫場(chǎng))-)-感應(yīng)電場(chǎng)感應(yīng)電場(chǎng)無(wú)旋場(chǎng)無(wú)旋場(chǎng)( (縱場(chǎng)縱場(chǎng))-)-庫(kù)侖場(chǎng)庫(kù)侖場(chǎng)24012 tc 這種規(guī)范在基本理論以及解決實(shí)際

12、輻射問(wèn)這種規(guī)范在基本理論以及解決實(shí)際輻射問(wèn)題中是特別方便的題中是特別方便的(2) (2) 洛倫茲規(guī)范洛倫茲規(guī)范輔助條件輔助條件采用這種規(guī)范時(shí)采用這種規(guī)范時(shí), ,勢(shì)的基本方程化為特勢(shì)的基本方程化為特別簡(jiǎn)單的對(duì)稱(chēng)形式別簡(jiǎn)單的對(duì)稱(chēng)形式, ,對(duì)其物理意義也特對(duì)其物理意義也特別明顯。別明顯。253. 3. 達(dá)朗貝爾達(dá)朗貝爾( (dAlembert)dAlembert)方程方程由麥克斯韋方程組推導(dǎo)由麥克斯韋方程組推導(dǎo)A和和 所滿(mǎn)足的基本方程所滿(mǎn)足的基本方程2200000)(ttJ 02 t t DJtD 26應(yīng)用應(yīng)用200/1 c Jtctc022222)1(1 02t 這是適用一般規(guī)范的方程組。這是適用

13、一般規(guī)范的方程組。27(1) (1) 采用庫(kù)侖規(guī)范采用庫(kù)侖規(guī)范Jtctc02222211 02 )0( 這種規(guī)范的特點(diǎn)是標(biāo)勢(shì)所滿(mǎn)足的方程與靜電這種規(guī)范的特點(diǎn)是標(biāo)勢(shì)所滿(mǎn)足的方程與靜電場(chǎng)情形相同，其解是庫(kù)侖勢(shì)。解出場(chǎng)情形相同，其解是庫(kù)侖勢(shì)。解出 后代入第后代入第一式可解出一式可解出A A，因而可以確定輻射電磁場(chǎng)。因而可以確定輻射電磁場(chǎng)。Jtctc022222)1(1 02t 28Jtc022221 022221 tc)01(2 tc (2) (2) 采用洛倫茲規(guī)范采用洛倫茲規(guī)范達(dá)朗貝爾方程達(dá)朗貝爾方程非齊次的波動(dòng)方程非齊次的波動(dòng)方程電荷產(chǎn)生電荷產(chǎn)生標(biāo)勢(shì)波動(dòng)標(biāo)勢(shì)波動(dòng)電流產(chǎn)生電流產(chǎn)生矢勢(shì)波動(dòng)矢勢(shì)波動(dòng)J

14、tctc022222)1(1 02t 29 離開(kāi)電荷電流分布區(qū)域以后，矢離開(kāi)電荷電流分布區(qū)域以后，矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)都以波動(dòng)形式在空間中傳勢(shì)和標(biāo)勢(shì)都以波動(dòng)形式在空間中傳播，由它們導(dǎo)出的電磁場(chǎng)播，由它們導(dǎo)出的電磁場(chǎng)E和和B也以也以波動(dòng)形式在空間中傳播。當(dāng)然波動(dòng)形式在空間中傳播。當(dāng)然E和和B的波動(dòng)性質(zhì)是和規(guī)范無(wú)關(guān)的。的波動(dòng)性質(zhì)是和規(guī)范無(wú)關(guān)的。30 在洛倫茲規(guī)范下，方程連同輔助在洛倫茲規(guī)范下，方程連同輔助條件（洛倫茲條件式）是用勢(shì)表述條件（洛倫茲條件式）是用勢(shì)表述的電動(dòng)力學(xué)基本方程組。求得勢(shì)的的電動(dòng)力學(xué)基本方程組。求得勢(shì)的基本解后，電磁場(chǎng)基本解后，電磁場(chǎng)E和和B由勢(shì)定義由勢(shì)定義給出。給出。31例例 求平面電

15、磁波的勢(shì)求平面電磁波的勢(shì) 從下例可以看出這兩種規(guī)范各自的優(yōu)點(diǎn)。從下例可以看出這兩種規(guī)范各自的優(yōu)點(diǎn)。平面電磁波在沒(méi)有電荷電流分布平面電磁波在沒(méi)有電荷電流分布的空間中傳播，因而勢(shì)的方程變的空間中傳播，因而勢(shì)的方程變?yōu)椴▌?dòng)方程，其平面波解為為波動(dòng)方程，其平面波解為解解32,0 t)xki(e ) (0txkie 對(duì)對(duì)A和和 加上洛倫茲條件得加上洛倫茲條件得020kc 33因此，只要給因此，只要給定矢量定矢量A0，就就可以確定平面可以確定平面電磁波。場(chǎng)強(qiáng)電磁波。場(chǎng)強(qiáng)E和和B為為k inckckkick)k(kicik it 2222)( 和第四章和第四章1 1結(jié)結(jié)果一致。果一致。34注意：平面電磁場(chǎng)只

16、依賴(lài)于矢勢(shì)注意：平面電磁場(chǎng)只依賴(lài)于矢勢(shì)A的橫向分量，對(duì)的橫向分量，對(duì)A加上任意縱向部分加上任意縱向部分 k（同時(shí)對(duì)（同時(shí)對(duì) 加上加上 0， 為任為任意常數(shù)）都不影響意常數(shù)）都不影響 電磁場(chǎng)值。這說(shuō)明在平面波情電磁場(chǎng)值。這說(shuō)明在平面波情形，即使加上洛倫茲條件后，形，即使加上洛倫茲條件后，A和和 仍然不是唯一仍然不是唯一確定的，還剩下一些規(guī)范變換自由度。最簡(jiǎn)單的選確定的，還剩下一些規(guī)范變換自由度。最簡(jiǎn)單的選擇是取擇是取A只有橫向部分，只有橫向部分，kA=0則則 =0。用這規(guī)范時(shí)。用這規(guī)范時(shí)有有i,k i )0( k35如果我們采用庫(kù)侖如果我們采用庫(kù)侖規(guī)范，勢(shì)的方程在規(guī)范，勢(shì)的方程在自由空間中變?yōu)樽杂煽臻g中變?yōu)?12222 ttc02 )0( 平面波解為平面波解為) (0txkie 當(dāng)全空間沒(méi)當(dāng)全空間沒(méi)有電荷分布有電荷分布時(shí)，庫(kù)侖場(chǎng)時(shí)，庫(kù)侖場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)的標(biāo)勢(shì) =0=0 36ik i )0( 庫(kù)侖條件保證庫(kù)侖條件保證A只有橫向分量只有橫向分量37 (1) (1)庫(kù)侖規(guī)范的優(yōu)點(diǎn)庫(kù)侖規(guī)范的優(yōu)點(diǎn): : 它它的標(biāo)勢(shì)的標(biāo)勢(shì) 描述庫(kù)侖作用，可直描述庫(kù)侖作用，可直接由電荷分布接由電荷分布 求出求出; ;它的矢勢(shì)它的矢勢(shì)只有橫