1、4-24-2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量物理學物理學第五版第五版1Pz*OFrdFdFrMsin : 力臂力臂dFrM 對轉(zhuǎn)軸對轉(zhuǎn)軸 z 的力矩的力矩 F 一力矩一力矩 M 用來描述力對剛體用來描述力對剛體的轉(zhuǎn)動作用的轉(zhuǎn)動作用0, 0iiiiMFFF0, 0iiiiMFFF4-24-2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量物理學物理學第五版第五版2zOkFr討論討論FFFzFrkMzsin rFMzzFF （1）若力若力 不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，把力分不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，把力分解為平行和垂直于轉(zhuǎn)軸方向的兩個分量解為平行和垂直于轉(zhuǎn)軸方向的兩個分量 F 其中其中 對轉(zhuǎn)軸的對轉(zhuǎn)軸的力矩為零，故力矩

2、為零，故 對轉(zhuǎn)對轉(zhuǎn)軸的力矩軸的力矩zFF4-24-2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量物理學物理學第五版第五版3O（2）合力矩等于各分力矩的矢量和合力矩等于各分力矩的矢量和321MMMM （3）剛體剛體內(nèi)內(nèi)作用力作用力和和反作用力反作用力的力矩的力矩互相互相抵消抵消jiijMMjririjijFjiFdijMjiM4-24-2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量物理學物理學第五版第五版4 例例1 有一大型水壩高有一大型水壩高110 m、長、長1 000 m ,水深水深100m，水面與大壩表面垂直，如圖所水面與大壩表面垂直，如圖所示示. 求作用在大壩上的力，以及這個力對通求作用在大壩上

3、的力，以及這個力對通過大壩基點過大壩基點 Q 且與且與 x 軸平行的力矩軸平行的力矩 .QyOxyOhxL4-24-2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量物理學物理學第五版第五版5 解解 設(shè)水深設(shè)水深h，壩長，壩長L，在壩面上取面積，在壩面上取面積元元 ，作用在此面積元上的力，作用在此面積元上的力yLAdd ypLApFdddyOhxyAdydQyOxL4-24-2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量物理學物理學第五版第五版6)(0yhgpp令大氣壓為令大氣壓為 ，則，則 0pyLyhgpAPFd)(dd0hyLyhgpF00d)(代入數(shù)據(jù)，得代入數(shù)據(jù)，得N1091. 510FyOhx

4、yAdyd2021gLhLhpL4-24-2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量物理學物理學第五版第五版7QyOyydFdhFyMdd 對通過點對通過點Q的軸的力矩的軸的力矩FdyLyhgpFd)(d0hyLyhgpyM00d)(3206121LhgLhp代入數(shù)據(jù)，得：代入數(shù)據(jù)，得：mN1014212 .M4-24-2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量物理學物理學第五版第五版8Ormz二二 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律FtFnFrFMsinmrmaFttM （1）單個質(zhì)點單個質(zhì)點 與轉(zhuǎn)軸剛性連接與轉(zhuǎn)軸剛性連接m2mrM 2tmrrFM4-24-2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量物理學物理

5、學第五版第五版92iejjjjrmMM（2）剛體剛體 質(zhì)量元受質(zhì)量元受外外力力 ，內(nèi)內(nèi)力力jFejFi外外力矩力矩內(nèi)內(nèi)力矩力矩OzjmjrjFejFi2iejjjjjjrmMM0jijjiijMMM2mrM 4-24-2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量物理學物理學第五版第五版10 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角加速度與它所受的剛體定軸轉(zhuǎn)動的角加速度與它所受的合合外力矩外力矩成正比，與剛體的成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量成反比成反比.)rmMjjjj2e(轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律JM 2jjjrmJ定義轉(zhuǎn)動慣量定義轉(zhuǎn)動慣量OzjmjrjFejFimrJd24-24-2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量

6、物理學物理學第五版第五版11討論討論JM（1）tJJMdd（2） =常量常量M，0轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律JM 4-24-2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量物理學物理學第五版第五版12三轉(zhuǎn)動慣量三轉(zhuǎn)動慣量 J 的的意義：意義：轉(zhuǎn)動慣性的量度轉(zhuǎn)動慣性的量度 . 轉(zhuǎn)動慣量的單位：轉(zhuǎn)動慣量的單位：kgm22jjjrmJmrJd2轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律JM 轉(zhuǎn)動慣量越大，剛體的轉(zhuǎn)動狀態(tài)越難以改變。轉(zhuǎn)動慣量越大，剛體的轉(zhuǎn)動狀態(tài)越難以改變。 4-24-2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量物理學物理學第五版第五版13v 質(zhì)量離散分布質(zhì)量離散分布22222112jjjjrmrmrmrmJ J 的計算方法的計算

7、方法 v 質(zhì)量連續(xù)分布質(zhì)量連續(xù)分布VrmrrmJVjjjdd222 ：質(zhì)量元：質(zhì)量元md ：體積元：體積元Vd4-24-2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量物理學物理學第五版第五版142mdJJCO四四 平行軸定理平行軸定理 質(zhì)量為質(zhì)量為 的剛體的剛體，如果對其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動如果對其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量為慣量為 ，則對任一與則對任一與該軸平行該軸平行，相距為相距為 的的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量CJmddCOm4-24-2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量物理學物理學第五版第五版15質(zhì)量為質(zhì)量為m，長為，長為L的細棒繞其一端的的細棒繞其一端的JP2221mRmRJP圓盤對圓盤對P 軸的

8、轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量RmO2231)2(mLLmJJc2mdJJc2121mLJcO1d=L/2O1O2O2大學物理學大學物理學第三章第三章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動16補充補充求質(zhì)量為求質(zhì)量為 m ，長為，長為 l 的均勻細棒對下面兩的均勻細棒對下面兩種給定的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。種給定的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。 轉(zhuǎn)軸通過棒的中轉(zhuǎn)軸通過棒的中心并與棒垂直。心并與棒垂直。 轉(zhuǎn)軸通過棒的一端并與棒垂轉(zhuǎn)軸通過棒的一端并與棒垂直。直。 解解：在：在 r 處取處取 dr 小段質(zhì)元小段質(zhì)元 r dr 2l 2lO r rdlmmd rdrlmmdrdJ22 對中心垂直軸對中心垂直軸 2222121mlrdrlmJ

9、ll z大學物理學大學物理學第三章第三章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動17 對端點垂直軸對端點垂直軸 20231mlrdrlmJl zOrrdrl剛體的轉(zhuǎn)動慣量與剛體的剛體的轉(zhuǎn)動慣量與剛體的質(zhì)量質(zhì)量和和轉(zhuǎn)軸位置轉(zhuǎn)軸位置有關(guān)。有關(guān)。 4-24-2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量物理學物理學第五版第五版18幾種規(guī)則形狀剛體的轉(zhuǎn)動慣量幾種規(guī)則形狀剛體的轉(zhuǎn)動慣量 剛體剛體轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動慣量慣量剛體剛體轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動慣量慣量細棒細棒通過中心并通過中心并與棒垂直與棒垂直 細棒細棒通過端點并通過端點并與棒垂直與棒垂直 圓環(huán)圓環(huán)通過中心并通過中心并與環(huán)面垂直與環(huán)面垂直 圓環(huán)圓環(huán)沿直徑沿直徑 圓盤圓

10、盤通過中心并通過中心并與盤面垂直與盤面垂直 圓盤圓盤沿直徑沿直徑 圓柱體圓柱體 沿幾何軸沿幾何軸 圓筒圓筒沿幾何軸沿幾何軸 球體球體沿直徑沿直徑 球殼球殼沿直徑沿直徑 221mR2121ml231ml2mR221mR252mR221mR241mR)(212221RRm 232mR4-24-2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量物理學物理學第五版第五版19剛體的轉(zhuǎn)動慣量與以下三個因素有關(guān)：剛體的轉(zhuǎn)動慣量與以下三個因素有關(guān)：（3）與轉(zhuǎn)軸的位置與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)有關(guān)（1）與剛體的質(zhì)量（體密度與剛體的質(zhì)量（體密度 ） 有關(guān)有關(guān)（2）與剛體的幾何形狀與剛體的幾何形狀( (及體密度及體密度 的分的分布布

11、) )有關(guān)有關(guān)質(zhì)量越遠離轉(zhuǎn)軸分布，轉(zhuǎn)動慣量質(zhì)量越遠離轉(zhuǎn)軸分布，轉(zhuǎn)動慣量越大。越大。說說 明明轉(zhuǎn)動慣量是標量，且具有可加性。轉(zhuǎn)動慣量是標量，且具有可加性。 對于穿過質(zhì)心的轉(zhuǎn)軸，其轉(zhuǎn)動慣量最小。對于穿過質(zhì)心的轉(zhuǎn)軸，其轉(zhuǎn)動慣量最小。 4-24-2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量物理學物理學第五版第五版竿子長些還是短些較安全？ 飛輪的質(zhì)量為什么大都飛輪的質(zhì)量為什么大都分布于外輪緣？分布于外輪緣？4-24-2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量物理學物理學第五版第五版21( (2) ) 為瞬時關(guān)系為瞬時關(guān)系 ( (3) ) 轉(zhuǎn)動中轉(zhuǎn)動中 與平動中與平動中 地位相同地位相同maF JM ( (

12、1) ) , 與與 方向相同方向相同 JM M說明說明 轉(zhuǎn)動定律應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律應(yīng)用JM 4-24-2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量物理學物理學第五版第五版22解題基本方法（隔離法）解題基本方法（隔離法）明確對象明確對象隔離物體隔離物體受力分析受力分析建坐標系建坐標系列方程列方程解方程解方程結(jié)果討論結(jié)果討論平動物體平動物體-質(zhì)點質(zhì)點-牛頓定律牛頓定律 轉(zhuǎn)動物體轉(zhuǎn)動物體-剛體剛體-轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 利用線量與角量的關(guān)系利用線量與角量的關(guān)系 列輔助方程列輔助方程 4-24-2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量物理學物理學第五版第五版23 例例2 質(zhì)量為質(zhì)量為mA的物體的物體A 靜止在光

13、滑水靜止在光滑水平面上，和一質(zhì)量不計的繩索相連接，繩平面上，和一質(zhì)量不計的繩索相連接，繩索跨過一半徑為索跨過一半徑為R、質(zhì)量為、質(zhì)量為mC的圓柱形滑輪的圓柱形滑輪C，并系在另一質(zhì)量為，并系在另一質(zhì)量為mB 的物體的物體B上，上，B 豎豎直懸掛直懸掛滑輪與繩索間無滑動，滑輪與繩索間無滑動， 且滑輪與且滑輪與軸承間的摩擦力可略去不計軸承間的摩擦力可略去不計( (1) )兩物體的兩物體的線加速度為多少？線加速度為多少？ 水平和豎直兩段繩索的水平和豎直兩段繩索的張力各為多少？張力各為多少？( (2) ) 物體物體 B 從靜止落下距從靜止落下距離離 y 時，其速率是多少時，其速率是多少？4-24-2力矩

14、轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量物理學物理學第五版第五版24解解 ( (1) ) 用用隔離法分隔離法分別對各物體作受力分析，別對各物體作受力分析，取如圖所示坐標系取如圖所示坐標系A(chǔ)BCAmBmCmAPOxT1FNFAmyOT2FBPBmT2FT1FCPCF4-24-2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量物理學物理學第五版第五版25amFAT1amFgmBT2BJRFRFT1T2Ra yOT2FBPBmT2FT1FCPCFAPOxT1FNFAm4-24-2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量物理學物理學第五版第五版262CBABmmmgma2CBABAT1mmmgmmF2)2(CBA

15、BCAT2mmmgmmmF解得：解得：4-24-2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量物理學物理學第五版第五版27如令如令 ，可得，可得BABAT2T1mmgmmFF （2） B由靜止出發(fā)作勻加速直線運動，由靜止出發(fā)作勻加速直線運動，下落的速率下落的速率2/22CBABmmmgymayv0Cm2CBABAT1mmmgmmF2)2(CBABCAT2mmmgmmmF4-24-2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量物理學物理學第五版第五版28穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當其受到微小擾動時，細穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當其受到微小擾動時，細桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈O 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動試計算

16、細桿轉(zhuǎn)動到與豎直線成動試計算細桿轉(zhuǎn)動到與豎直線成 角時角時的角加速度和角速度的角加速度和角速度例例3一長為一長為 l 、質(zhì)量質(zhì)量為為 m 勻質(zhì)細桿豎直放置，勻質(zhì)細桿豎直放置，其下端與一固定鉸鏈其下端與一固定鉸鏈O相相接，并可繞其轉(zhuǎn)動接，并可繞其轉(zhuǎn)動由于由于此豎直放置的細桿處于非此豎直放置的細桿處于非m,lOmg4-24-2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量物理學物理學第五版第五版29 解解 細桿受重力和細桿受重力和鉸鏈對細桿的約束力鉸鏈對細桿的約束力 作用，由轉(zhuǎn)動定律得作用，由轉(zhuǎn)動定律得NFJmglsin21式中式中231mlJ 得得sin23lgNFm,lOmg4-24-2力矩轉(zhuǎn)動定律

17、轉(zhuǎn)動慣量力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量物理學物理學第五版第五版30ttdddddd由角加速度的定義由角加速度的定義對上式積分，利用初始條件，對上式積分，利用初始條件，ddNFm,lOmg)cos1 (3lg解得：解得：lgdsin23d有有物理學物理學第五版第五版314-1 4-1 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動4-2 4-2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量4-3 4-3 角動量角動量 角動量守恒定律角動量守恒定律本章目錄本章目錄4-4 4-4 力矩作功力矩作功 剛體定軸轉(zhuǎn)動的剛體定軸轉(zhuǎn)動的 動能定理動能定理4-0 4-0 教學基本要求教學基本要求* *4-5 4-5 剛體的平面平行運動剛體

18、的平面平行運動選擇進入下一節(jié)：選擇進入下一節(jié)：物理學物理學第五版第五版四、剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用例例、一個質(zhì)量為、半徑為、一個質(zhì)量為、半徑為的定滑輪（當作均勻圓盤）上面的定滑輪（當作均勻圓盤）上面繞有細繩，繩的一端固定在滑輪繞有細繩，繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為的物邊上，另一端掛一質(zhì)量為的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體由靜止下落高度時的速度體由靜止下落高度時的速度和此時滑輪的角速度。和此時滑輪的角速度。mg解： RamaTmgm :對對221 MRJJTRMM：對對 物理學物理學第五版第五版MmmghRRv 241 例例2、一個飛輪的質(zhì)量為、一個

19、飛輪的質(zhì)量為69kg，半徑為半徑為0.25m,正在以每分正在以每分1000轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動。現(xiàn)在要轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動。現(xiàn)在要制動飛輪，要求在制動飛輪，要求在5.0秒內(nèi)使秒內(nèi)使它均勻減速而最后停下來。求它均勻減速而最后停下來。求閘瓦對輪子的壓力閘瓦對輪子的壓力N為多大？為多大？ 242Mmmghahv gMmma2 解方程得：F0物理學物理學第五版第五版解：飛輪制動時有角加速度：飛輪制動時有角加速度t0 20rad/s920s5 0 rad/s7104r1000.min/ t外力矩是摩擦阻力矩，角加速度為負值。 2mRJNRRfMr 2mRNR N784 mRN0Nfr物理學物理學第五版第五版35物理學物

20、理學第五版第五版36 Lmg cos21L 8 如圖，一長如圖，一長L、質(zhì)量為質(zhì)量為m的細棒可繞其的細棒可繞其一端自由轉(zhuǎn)動，開始一端自由轉(zhuǎn)動，開始時棒處于水平位置，時棒處于水平位置，求棒轉(zhuǎn)到與水平線成求棒轉(zhuǎn)到與水平線成角度角度 時的角速時的角速度、角度、角加速度加速度物理學物理學第五版第五版37解 231mLJ cos23Lg應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律JM 求 Lmg cos21Lcos2mgLM 物理學物理學第五版第五版 ddJdtdddJdtdJJM 21 cosmglM代入 dJdmgl cos21 0021dJdmgl cos22121 Jmgl sinlgJmgl sinsin3 dJMd 物理學