1、方陣行列式及其性質方陣行列式及其性質 行列式是一種常用的數學工具，也是代數學中必不可少的基本概念，在數學和其他應用科學以及工程技術中有著廣泛得用應用.本部分主要介紹行列式的概念、性質和計算方法.第一章 教學目的：教學目的：通過本章的教學使學生了解行列式的概念，掌握行列式的性質，會計算各種類型的行列式. 教學要求教學要求：理解行列式的概念，深刻理解方陣與方陣的行列式的關系，會用行列式的六條性質熟練計算各種類型的行列式，掌握行列式的展開定理和拉普拉斯定理. 教學重點：教學重點：方陣行列式的性質及展開定理，計算典型的行列式的各種方法. 教學難點：教學難點：n階行列式的計算，拉普拉斯定理的應用. 11

2、2212211122122(),a aa axbaa b 當 時，求得方程組有唯一解：112212210a aa a122122111221221,b aa bxa aa a11 2121211221221.a bbaxa aa a 二元線性方程組 11112212112222,a xa xba xa xb11221221211 2121().a aa axa bba1121122122222111211 2121212,baDbaa bbaabDa bbaab1112112212212122det,aaDAa aa aaa1122;.DxDDxD機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 11122

3、122aaAaa121231,245 .xxxx1310,24D 11319,54D 2113,25D1119,10DxD223.10DxD 二階行列式的應用1111221331211222233231 13223333,.a xa xa xba xa xa xba xa xa xb1112132122233132330aaaDaaaaaa時，112233,.DxDDxDDxD1121312222333233,baaDbaabaa1111322122331333,abaDabaaba111213212223313233aaaDaaaaaa1112132122231323.aabDaabaab1

4、12233a a a132231a a a122133a a a112332.a a a122331a a a132132a a a對角線規則（沙流氏規則對角線規則（沙流氏規則) )12312312351,51,20.xxxxxxxxx 1151516,112D 111515118,012D 211511 16,102D 31111516,110D 解解 由于311DDx122DDx133DDx所以，方程組的解為 ， ， . 三階行列式的應用,.nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb11112211211222221122111212122212,nn

5、nnnnaaaaaaDaaa111121221,nnjnnnnabaabaDaba1, 2 ,jn二、三階行列式的推廣,jjDxD1,2, .jnl（1）D=？（怎么算）？l（2）當D0時，方程組是否有唯一解？l（3）若D0時，方程組有唯一解，解的形式是否是 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 l 2.1、全排列l 用1，2，3三個數字可以排6個不重復三位數即： 123，231，312，132，213，321. 一般地，把n個不同的元素排成一列(n級排列)，共有幾種不同的排法？ 這是一個全排列問題.從n個元素中任取一個放在第一個位置上，有n種取法； 再從剩下的n-1個元素中任取一個元素，放在的

6、第二個位置上有n-1種取法;依此類推，直到最后剩下一個元素放在最后位置上，只有一種取法； 于是：(1)3 2 1!nPn nn機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 對于 n 個不同的元素，可規定各元素之間有一個標準次序（例如，n 個不同的自然數 p1, p2, , pn ，規定由小到大為標準次序）.于是，在這 n 個元素的任意排列中，當某兩個元素的前后次序與標準次序不同時，就說產生了一個逆序逆序，一個排列中所有逆序的和和叫做這個排列的逆序逆序數數. 記逆序數是奇數的排列叫做奇排列奇排列逆序數是偶數的排列叫做偶排列偶排列 12(,)np pp 不妨設元素為1至n個自然數，并規定有小到大為標準次序，

7、設 p1, p2, , pn 為這n個自然數的一個 n 級排列，考慮元素pi(i= 1,2, ，n)，如果比 pi 大的，且排在 pi 前面的元素有ti個，則說這個元素的逆序是ti個，全體元素逆序之和即是 p1, p2, , pn 的逆序數，即12121(.)nnniittpptpt(1,2,2,1, )?nnn(2)1(1)(2)/ 2nnn 12(),np ppk121()?nnp pp p2(1)/ 2nCkn nk 例如，設排列3 2 5 1 4,其逆序數為： t=1+3+0+1+0=5 . 當我們把上面排列改為 3 1 5 2 4，相當于把3 2 5 1 4 這個排列的第2、4兩個數

8、碼對換（將一個排列中任意兩個元素對調，其余的元素不動，這種作出新排列的手續叫做對換對換）.通過計算可知 3 1 5 2 4 的逆序數為t=1+2+0+1+0=4.可見排列 3 2 5 1 4 為奇排列奇排列，而 3 1 5 2 4 為偶排列偶排列，由此得一個排列中的任意兩個元素由此得一個排列中的任意兩個元素對換對換，排列改變，排列改變奇偶性奇偶性n得到行列式值的特點：機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 1112112212212122,aaa aa aaa二階行列式 111213212223313233aaaDaaaaaa三階112233a a a132231a a a122133a a a1

9、12332.a a a132132a a a122331a a a矩陣元素乘積的代數和，每一項來自不同行不同列矩陣元素乘積的代數和，每一項來自不同行不同列每一項前面還有符號確定方式每一項前面還有符號確定方式123123jjja aa1 23j j j 當當 偶排列時，正號偶排列時，正號 當當 奇排列時，負號奇排列時，負號 1 23j j j 定義定義 設n階方陣A=（aij)，定義n階行列式|A|的值為det.DA也可記為:1212( 1).nPPnPDa aatA12(,)ntp pp其中逆序數1212( 1)ntppnpaaa作出n階方陣A=（aij)中位于不同行不同列的n個數的乘積，并冠

10、以符號(-1)t，得到形如1212nppnpaaa的項（ 稱為行列式的一個均布項） p1, p2, , pn 為自然數1，2，n的一個排列，t 為這個排列的逆序數.這樣的排列共有n!個，所有這些項的代數和即為n階行列式的值. 行列式的另一種定義形式為:1212( 1).ntqqq nDaaa機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例 計算下列行列式值00010020?030040002424定義中項, 值為l 同理，也可以定義為:1122( 1).nnq pq pq pDaaa4 由前面的定義可知，每一項都是來自不同行不同列的n個元素乘積，故對某一確定行中的n個元素（如 ），每一項都含有且只含有其

11、中一個元素。故可將n!項分成n組，第j組的項均含有 ，再提公因式 ,得到其中 代表含有 的項在提出公因式后的代數和，且 中不含有元素 ，即 與第i行第j列元素無關。12,iiinaaaijaija1122detiiiiininDAa Aa Aa AijAijAijaijaijA如111213212223313233aaaDaaaaaa三階112233a a a132231a a a122133a a a112332.a a a132132 a a a122331a a a112233233212233121331321322231()()()aa aa aaa aa aaa aa a22232

12、1232122111213313232333133aaaaaaaaaaaaaaa三階行列式可以通過二階行列式來計算三階行列式可以通過二階行列式來計算同理，同理，n 階行列式可以通過階行列式可以通過(n1)階行列式來計算階行列式來計算ijM111212122212|nnnnnnaaaaaaDAaaa定義 在在n階行列式階行列式D中去掉元素中去掉元素 所在的第所在的第i行和第行和第j列，剩下的列，剩下的(n1)2個元素按原來順序排列成一個個元素按原來順序排列成一個(n-1)階行列式階行列式. 1,11,11111,11,11,11,1,11,11,11,1,1,1jjnijijiinijiijij

13、innnnn jn jaaaaaaaaMaaaaaaaa 為 的余子式， 為 的代數余子式ijaija( 1)ijijijAM 1122detiiiiininiDAa Aa Aa A按第 行展開1122detjjjjnjnjjDAa Aa Aa A按第 列展開ija展開式展開式 該定義適合于常規計算，第一種常適用于證明111D=|A|= 123 ==?01110291對角線規則對角線規則or代數余子式代數余子式選擇含零多的選擇含零多的行或列行或列61000?000 xyxyDxyxyyx解：按第一列展開，得Dxyxyxxyx1( 1)nnnxy 1( 1)nyxyyx

14、yxy l（1） 對角行列式12120;0nn 1(1)22120( 1).0n nnn 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 |1E 定義或定義或展開式展開式l（2） 下（上）三角行列式1121221122120;nnnnnnaaaa aaaaa111212221122.nnnnnnaaaaaa aaa機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 1111111111110mmm mmnnnmnnnaaaaDccbbccbb其中 ，11111,mmmmaaDaa11121.nnnnbbDbb1111111211mnmmmnnnaabbDDaabb證明證明=det(dij)，其中 dij=aij i=1,

15、2,m；j=1,2, ,m.d m+i ,m+j=bij i=1,2,n；j=1,2, ,n.在行列式11111,11,1,11,1,1,0000mmmmmmmmmmm nm nm n mm n mm n m nddddDdddddddd中任取一個均布項1111,mmm nrmrmrm n rdddd 由于當i m，jm時， dij=0，因此r1,r2, , rm只有在1,m中選取時，該均布項才可能不為0，而當r1, r2, , rm在1,m中選取時，rm+1, , rm+n只能在m+1, ,m+n中選取. 于是D中可能不為0的均布項可以記為121121.mnppmpqnqaaabb這里，pi

16、=ri , qi=rm+i-m,設l為排列p1p2 pm(m+q1) ( m+qn)的逆序數.以t，s分別表示排列p1p2 pm及q1q2 qn的逆序數，應有l= t + s (pi m)，于是1212121 21212( 1)mnmnlppmpqqnqp ppq qqDaaab bb1212121 21212( 1)( 1)mnmntsppmpqqnqp ppq qqaaab bb=D1D2.小結1、深刻理解行列式的定義.2、熟記行列式3個特殊的公式.111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa設112111222212nTnnnnnaaaaaaDaaa則 轉 置 行 列 式 為

17、1TDD性質 ：2kk性質 ：用數 乘行列式某一行中所有元素，等于用 乘此行列式。1111111111nniiniinnnnnnnaaaakakak aaaaaa推論：某一行的所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面。k=03性質 ：若行列式某一行的元素是兩數之和，則行列式可拆成兩個行列式的和。111111niinnnnnaaababaa11111niinnnnaaaaaa11111nnnnnaabbaa推論推論 若行列式中某一行（列）的所若行列式中某一行（列）的所有元素都是有元素都是m( (大于大于2)2)個數的和，則個數的和，則此行列式可寫成此行列式可寫成m個行列式的和個行列式的和1推論

18、：若行列式中有兩行元素對應成比例，則行列式為零。 0性質4 若行列式中有兩行或兩列其對應元素相等， 則此行列式值為 .112202isisinsnsa Aa Aa AAs， i推論 | |， i11220,0,|.jtjtnjntjta Aa Aa AAjt 1111110,niinijkjkknnnnaaaaaaaaaa 5k性質 ：行列式某一行元素加上另一行對應元素的 倍，行列式的值不變。即：1111111111111nnijinjniinjjnjjnnnnnnnaaaaakaakaaaaaaaaaaa(),ijijrr cc若若ri表示第表示第i行，行，cj 表示第表示第j列，則性質中的

19、變換可以用以列，則性質中的變換可以用以下符號表示：下符號表示：(),iikr kc()ijijrkr ckc6性質 ：互換兩行(兩列)，行列式變號。即1 11111niinjjnnn naaaaaaaa111111njjniinnnnaaaaaaaa 1111100jnijnnjnnaaaaDaaa引理引理 如果如果n階行列式中第階行列式中第i行除行除 aij 外其他元素全為外其他元素全為0，即，即則則ijijDa A1122221222111111111121200nnnnnnnnnaaaaaaDaa Ma Aaaaaa分兩步分兩步121111111121100,1,ijiiijjnjjnj

20、nnnarrrraaaDccccaaa 1ijijijijija Ma A 111211212000000niiinnnnnaaaDaaaaaa11121111211112112121212000000nnniiinnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa1122,1,2,iiiiinina Aa Aa Ain3112513420111533D2141531128046201116027r rrr72161126484012324216022112005rrrr 520216 32222322?22322223D 公因子提出來。行，然后將全加到第行、一定數，故將第分析：各行元素之和為14323222232222329999D