1、基本初等函數一【要點精講】1指數與對數運算（1）根式的概念：定義：若一個數的次方等于，則這個數稱的次方根。即若，則稱的次方根，1）當為奇數時，次方根記作；2）當為偶數時，負數沒有次方根，而正數有兩個次方根且互為相反數，記作性質：1）；2）當為奇數時，；3）當為偶數時，。（2）冪的有關概念規定：1）N*；2）； n個3）Q，4）、N* 且性質：1）、Q）；2）、 Q）；3） Q）。（注）上述性質對r、R均適用。（3）對數的概念定義：如果的b次冪等于N，就是，那么數稱以為底N的對數，記作其中稱對數的底，N稱真數1）以10為底的對數稱常用對數，記作；2）以無理數為底的對數稱自然對數，記作；基本性質：

2、1）真數N為正數（負數和零無對數）；2）；3）；4）對數恒等式：。運算性質：如果則1）；2）；3）R）換底公式：1）；2）。2指數函數與對數函數（1）指數函數：定義：函數稱指數函數，1）函數的定義域為R；2）函數的值域為；3）當時函數為減函數，當時函數為增函數。函數圖像：1）指數函數的圖象都經過點（0，1），且圖象都在第一、二象限；2）指數函數都以軸為漸近線（當時，圖象向左無限接近軸，當時，圖象向右無限接近軸）；3）對于相同的，函數的圖象關于軸對稱 ， ， ， ， ，函數值的變化特征：（2）對數函數：定義：函數稱對數函數，1）函數的定義域為；2）函數的值域為R；3）當時函數為減函數，當時函數為

3、增函數；4）對數函數與指數函數互為反函數函數圖像：1）對數函數的圖象都經過點（0，1），且圖象都在第一、四象限；2）對數函數都以軸為漸近線（當時，圖象向上無限接近軸；當時，圖象向下無限接近軸）；4）對于相同的，函數的圖象關于軸對稱。函數值的變化特征：，.，. （3）冪函數1）掌握5個冪函數的圖像特點2）a0時，冪函數在第一象限內恒為增函數，a0時過（0，0）4）冪函數一定不經過第四象限四【典例解析】題型1：指數運算例1（1）計算：；（2）化簡：。解：（1）原式=；（2）原式=。點評：根式的化簡求值問題就是將根式化成分數指數冪的形式，然后利用分數指數冪的運算性質求解，對化簡求值的結果，一般用分數

4、指數冪的形式保留；一般的進行指數冪運算時，化負指數為正指數，化根式為分數指數冪，化小數為分數運算，同時兼顧運算的順序。例2（1）已知，求的值解：，又，。點評：本題直接代入條件求解繁瑣，故應先化簡變形，創造條件簡化運算。題型2：對數運算（2）.(江蘇省南通市2008屆高三第二次調研考試)冪函數的圖象經過點，則滿足27的x的值是 .答案 例3計算（1）；（2）；（3）解：（1）原式 ；（2）原式 ；（3）分子=；分母=；原式=。點評：這是一組很基本的對數運算的練習題，雖然在考試中這些運算要求并不高，但是數式運算是學習數學的基本功，通過這樣的運算練習熟練掌握運算公式、法則，以及學習數式變換的各種技巧

5、例4設、為正數，且滿足 （1）求證：；（2）若，求、的值。證明：（1）左邊；解：（2）由得，由得 由得由得，代入得， 由、解得，從而。點評：對于含對數因式的證明和求值問題，還是以對數運算法則為主，將代數式化簡到最見形式再來處理即可。題型3：指數、對數方程例5(江西師大附中2009屆高三數學上學期期中)已知定義域為R的函數是奇函數.（1）求a,b的值；（2）若對任意的，不等式恒成立，求k的取值范圍.解 （1） 因為是R上的奇函數，所以從而有 又由，解得（2）解法一：由（1）知由上式易知在R上為減函數，又因是奇函數，從而不等式等價于 因是R上的減函數，由上式推得即對一切從而解法二：由（1）知又由題

6、設條件得即 整理得，因底數21，故 上式對一切均成立，從而判別式例6（2008廣東 理7）設，若函數，有大于零的極值點，則（ B ）ABCD【解析】，若函數在上有大于零的極值點，即有正根。當有成立時,顯然有,此時，由我們馬上就能得到參數的范圍為.點評：上面兩例是關于含指數式、對數式等式的形式，解題思路是轉化為不含指數、對數因式的普通等式或方程的形式，再來求解。題型4：指數函數的概念與性質例7設（ ）A0 B1 C2 D3解：C；，。點評：利用指數函數、對數函數的概念，求解函數的值例8已知試求函數f(x)的單調區間。解：令，則x=，tR。所以即，（xR）。因為f(x)=f(x)，所以f(x)為偶

7、函數，故只需討論f(x)在0，+）上的單調性。任取，且使，則（1）當a1時，由，有，所以，即f(x)在0，+上單調遞增。（2）當0a1時，由，有，所以，即f(x)在0，+上單調遞增。綜合所述，0，+是f(x)的單調增區間，（，0）是f(x)的單調區間。點評：求解含指數式的函數的定義域、值域，甚至是證明函數的性質都需要借助指數函數的性質來處理。特別是分兩種情況來處理。題型5：指數函數的圖像與應用例9若函數的圖象與x軸有公共點，則m的取值范圍是（ ）Am1 B1m0 Cm1 D0m1解：，畫圖象可知1m1時，函數y=logax和y=(1a)x的圖象只可能是( )解：當a1時，函數y=logax的圖

8、象只能在A和C中選，又a1時，y=(1a)x為減函數。答案：B點評：要正確識別函數圖像，一是熟悉各種基本函數的圖像，二是把握圖像的性質，根據圖像的性質去判斷，如過定點、定義域、值域、單調性、奇偶性例14設A、B是函數y= log2x圖象上兩點, 其橫坐標分別為a和a+4, 直線l: x=a+2與函數y= log2x圖象交于點C, 與直線AB交于點D。（1）求點D的坐標；（2）當ABC的面積大于1時, 求實數a的取值范圍解：（1）易知D為線段AB的中點, 因A(a, log2a ), B(a+4, log2(a+4)，所以由中點公式得D(a+2, log2 )。（2）SABC=S梯形AACC+S

9、梯形CCBB- S梯形AABB= log2, 其中A,B,C為A,B,C在x軸上的射影。由SABC= log21, 得0 a22。點評：解題過程中用到了對數函數性質，注意底數分類來處理，根據函數的性質來處理復雜問題。題型8：指數函數、對數函數綜合問題例15在xOy平面上有一點列P1(a1,b1),P2(a2,b2),Pn(an,bn)，對每個自然數n點Pn位于函數y=2000()x(0a1)的圖象上，且點Pn,點(n,0)與點(n+1,0)構成一個以Pn為頂點的等腰三角形。(1)求點Pn的縱坐標bn的表達式；(2)若對于每個自然數n，以bn,bn+1,bn+2為邊長能構成一個三角形，求a的取值

10、范圍；(3)設Cn=lg(bn)(nN*),若a取(2)中確定的范圍內的最小整數，問數列Cn前多少項的和最大？試說明理由解：(1)由題意知：an=n+,bn=2000()。(2)函數y=2000()x(0abn+1bn+2。則以bn,bn+1,bn+2為邊長能構成一個三角形的充要條件是bn+2+bn+1bn，即()2+()10，解得a5(1)。 5(1)a10。(3)5(1)a10，a=7bn=2000()。數列bn是一個遞減的正數數列，對每個自然數n2,Bn=bnBn1。于是當bn1時，BnBn1，當bn1時，BnBn1，因此數列Bn的最大項的項數n滿足不等式bn1且bn+11，由bn=20

11、00()1得：n20。n=20。點評：本題題設從函數圖像入手，體現數形結合的優越性，最終還是根據函數性質結合數列知識，以及三角形的面積解決了實際問題。例16已知函數為常數）（1）求函數f(x)的定義域；（2）若a=2，試根據單調性定義確定函數f(x)的單調性（3）若函數y=f(x)是增函數，求a的取值范圍。解：（1）由a0，x0 f(x)的定義域是。（2）若a=2，則設 ， 則故f(x)為增函數。（3）設 f(x)是增函數，f(x1)f(x2)即 聯立、知a1，a(1，+)。點評：該題屬于純粹的研究復合對函數性質的問題，我們抓住對數函數的特點，結合一般函數求定義域、單調性的解題思路，對“路”處

12、理即可題型9：課標創新題例17對于在區間上有意義的兩個函數f(x)與g(x)，如果對任意的，均有，則稱f(x)與g(x)在上是接近的，否則稱f(x)與g(x)在上是非接近的，現有兩個函數與，給定區間。（1）若與在給定區間上都有意義，求a的取值范圍；（2）討論與在給定區間上是否是接近的。解：（1）兩個函數與在給定區間有意義，因為函數給定區間上單調遞增，函數在給定區間上恒為正數，故有意義當且僅當；（2）構造函數，對于函數來講， 顯然其在上單調遞減，在上單調遞增。且在其定義域內一定是減函數由于，得所以原函數在區間內單調遞減，只需保證當時，與在區間上是接近的； 當時，與在區間上是非接近的點評：該題屬于

13、信息給予的題目，考生首先理解“接近”與“非接近”的含義，再對含有對數式的函數的是否“接近”進行研究，轉化成含有對數因式的不等式問題，解不等式即可。例18設，且，求的最小值。解：令 ，。 由得， ，即， ， ，當時，。點評：對數函數結合不等式知識處理最值問題，這是出題的一個亮點。同時考察了學生的變形能力。例19.（2009陜西卷文）設曲線在點（1，1）處的切線與x軸的交點的橫坐標為,則的值為A. B. C. D.1答案 B解析 對,令得在點（1，1）處的切線的斜率,在點（1，1）處的切線方程為,不妨設,則, 故選 B.五【思維總結】1（其中）是同一數量關系的三種不同表示形式，因此在許多問題中需要熟練進行它們之間的相互轉化，選擇最好的形式進行運算.在運算中，根式常常化為指數式比較方便，而對數式一般應化為同應化為同底；2要熟練運用初中學習的多項式各種乘法公式；進行數式運算的難點是運用各種變換技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆項、添項、換元等等，這些都是經常使用的變換技巧，必須通過各種題型的訓練逐漸積累經驗；3解決含指數式或對數式的各種問題，要熟練運用指數、對數運算法則及運算性質，更關鍵是熟練運用指數與對數函數的性質，其中單調性是使用率比較高的知識；4指數、對數函數值的變化特點（上面知識結構表中