1、對數學B版教材選修22微積分部分的初步認識及教學建議山東省日照市五蓮縣第一中學段智紅舒艷妮鄭澤法微積分學在數學以至整個自然科學中占有重要的地位，微積分學是人類思維的偉大成果之一，它的產生和發展被譽為“近代技術文明所產生的關鍵事件之一，它引入了若干極其成功的對以后數學的發展起決定性作用的思想”。微積分的思想方法是17世紀產生的關鍵性的數學思想方法，不僅是學生以后學習許多數學分支的基礎，而且對于培養學生的數學思維，增強學生的解題能力有很大的促進作用。微積分作為一個強大的工具，也可以幫助我們解決一些用初等數學思想處理比較繁瑣的數學問題。其中導數和積分是微積分學中最重要的兩個概念，它們是研究函數和解決

2、實際問題的重要工具。本書第一章的重點是導數及其應用，以及定積分和微積分基本定理。由于中學生的認知水平和其他原因，數學B版教材對微積分的處理突出了概念的本質，略去了極限，直接通過實際背景和具體應用實例，抽象概括導數的概念，重視了幾何直觀。由于上述原因，對于本章的教學有很大難度，對此我們做出如下教學建議。一、讓學生直觀感知微積分的必備知識：函數的連續性和極限教材對微積分的定位比較好，充分考慮到學生的實際水平，略去了函數的連續性和極限。但由于教學的實際，筆者認為在授課之前應用適當的形式讓學生感知函數的連續性和極限。例如：如果函數是連續的，那么它的圖象是一條連綿不斷的曲線；在一定條件下極限與某個常數A

3、的差的絕對值越來越小，可以小于預先給定的任意正數，可以通過表格來定性分析和定量分析，把“無限趨近”給以確切的描述，或者舉例說明求函數的極限，例如數學B版教材第17頁的可提前介紹。二、概念的挖掘課程標準對這部分內容的定位強調對導數本質的認識，不僅作為一種規則，也作為一種重要的思想方法來學習。教材直接通過實際背景和具體應用實例速度膨脹率效率增長率等反映導數思想和本質的實例，引導學生經歷由平均變化率到瞬時變化率的過程，認識和理解導數概念，在對實際背景問題研究的基礎上，抽象概括出導數的概念。（一）函數的平均變化率教材中以用數量表示登山路線的平緩及陡峭程度為例引出平均變化率的概念，直觀形象，易于理解。在

4、引例中要注意當山路彎曲時，將彎曲山路分成許多小段，每一小段可視為平直的，體現了一種逼近的思想。平均變化率的概念應注意以下幾點：（1）函數f（x）在x0處有定義；（2）x1是x0附近的任意一點，即x=x1-x00，但可正可負；（3）改變量的對應：若x=x1-x0，則y=f（x1）-f（x0），而不是y=f（x0）-f（x1）；（4）平均變化率可正可負也可為零。（二）瞬時變化率教材通過具體實例和給定時間變化量t的具體值分析了瞬時速度與平均速度的關系：瞬時速度是當t趨近于0時平均速度所趨近的常數值。這一分析過程所體現的無限逼近思想，實際是一種極限思想。瞬時變化率概念的教學應注意對x0時，f（x0）的

5、理解。授課時可先讓學生參照數學版教材第7頁的表格體會x與0要多近有多近，即x-0小于給定的任意小的正數，但x0。同理可理解f（x0）。（三）定積分的概念定積分概念的教學應注意以下兩點：1.定積分是一種“和”的極限。2.定積分的幾何意義。圖1（1）若f（x）0，則定積分 f（x）dx在幾何上表示由曲線y=f（x），直線x=a，x=b及x軸所圍成的曲邊梯形的面積S（如圖1），即S= f（x）dx。圖2    （2）若f（x）0，xa，b，那么曲邊梯形位于軸下方（如圖2）， f（x）dx= f（i）xi，xi0，f（i）0，圖3f

6、（i）xi0。 f（x）dx0。 f（x）dx=-S。（3）當f（x）在區間a，b上有正有負時，積分 f（x）dx表示=-S1+S2-S3（如圖3）。三、例題的變式和處理1.講解1.13節“導數幾何意義”后，例3變式引申如下：已知曲線y=x3+：（1）求點P（2，4）處的切線方程；（2）求過點P（2，4）的切線方程。分析：（1）問點P（2，4）處的切線即P為切點，所以切線易求得為4x-y-4=0。（2）問過點P（2，4）的切線，P可為切點，此時切線方程為4x-y-4=0；若P不為切點， 可設切點為，因為f ' （x）=x2，所以。解得x0=-1。

7、所以切點為（-1，1）。所以切線方程為y-1=x+1，即x-y+2=0。通過本小題的練習可使學生明確“點P處的切線”與“過點P的切線”的不同意義。2.講解第26頁利用導數判斷函數的單調性。例題運用了一個充分條件：x（a，b），f ' (x)0（f' (x)0）f '(x)在（a，b）遞增（遞減）。在解題時容易導致學生誤解。例如，第38頁習題13A中的第1題的第(3)小題求y=（x-1）3的增減區間，若采用課本例題做法易出現如下錯誤。解：定義域（-，+），f ' （x）=3（x-1）2。令f ' （x）0，得x1，所以=（x-1）3的單調增區間為

8、（-，1）和（1，+）。而本來是一個單調增區間（-，+）卻分成了兩個。建議運用定理“若函數f （x）在（a，b）可導，則f (x)在（a，b）遞增（遞減）f ' (x)0（f ' (x)0），x（a，b）”。求函數的單調區間，簡單明了。上題解法如下：解：定義域（-，+），f ' （x）=3（x-1）2，令f ' （x）0， 得xR。所以y=（x-1）3的單調增區間為（-，+）。四、習題規律尋找課本第49頁習題14B的第2題的第（2）、第（3）小題以及第53頁“鞏固與提高”的第12題均是關于求兩曲線所圍成的區域面積的問題。由此可得規律如下：如果圖形由曲線y1=f1（x），y2=f2（x）（不妨設f1（x）f2（x）0）及直線x=a，x=b（ab）圍成（如圖4），那么所求圖形的面積為：SABCD= f1（x）dx- f2（x）dx。推廣：由y1=f1（x），y2=f2（x），x=a，x=b（ab）所圍成（如圖5）的區域面積公式為：S=f1（x）-f2（x）dx（可以讓學生用特例驗證）