1、1有限元與數值方法有限元與數值方法第五講第五講5.1 變分原理與變分法變分原理與變分法授課教師：劉書田授課教師：劉書田Tel：84706149； Email：教室：綜合教學樓教室：綜合教學樓 351 時間：時間：2013年年4月月12日：日：8：0010：202基于變分法的求解方法基于變分法的求解方法 00000E u xB u xJ u xJ u xE u xB u x對于微分方程及邊界條件，有時可找到一個一個標量（稱為泛函），該泛函的極值條件等價于和。3變分法的基本概念變分法的基本概念變分法的重要性變分法的重要性;l微積分微積分l微分方程和變分原理微分方程和變分原理l從微觀到宏觀從微觀到宏

2、觀,從宏觀到微觀的方法論從宏觀到微觀的方法論中國學者貢獻中國學者貢獻:胡海昌胡海昌Hu-Washizu變分原理變分原理大連理工大學在變分法方面的貢獻大連理工大學在變分法方面的貢獻l余能原理余能原理l極限分析與安定性分析的變分原理極限分析與安定性分析的變分原理l參變量變分原理參變量變分原理l廣義變分原理和擬協調元廣義變分原理和擬協調元4q變分變分：( )f xy1( )( )( )f xf xf x兩個函數在同一點的函數值差兩個函數在同一點的函數值差( )yf x 對于自變量對于自變量xy( )( )f xf x 泛函：函數的函數泛函：函數的函數 對于函數對于函數( )yf xdfdydxdxq

3、微分微分：同一函數在兩點的函數值差同一函數在兩點的函數值差()( )dyf xdxf xf(x)f(x)+f(x)f(x)變分法的基本概念變分法的基本概念一元函數：一元函數： 基本概念基本概念 21xxf xF x, f , f , f ,. dx5變分法的基本概念變分法的基本概念一元泛函的一般形式是一元泛函的一般形式是 2222, , , ,.VAxF xxdVxxE xdAxxuuuu uuuu6 11212fx 11 121212 f x dxf x dx 1200f xxf xx變分與積分號可互換變分與積分號可互換函數在固定點的變分為零函數在固定點的變分為零變分法的基本概念變分法的基本

4、概念變分的運算變分的運算00( ) ( )( )( ) ()yy xyxy xyxy函數導數的變分等于變分的導數函數導數的變分等于變分的導數710()( )( ,)xxyyfF x yy yy dx()(1)yyf( )(0)yf(0)( )(0)dfffd(0)( )(0)dfffd 21( )1122min , ( ),( )(), ()xxy xyF x y xy x dxy xyy xyyyy ()( )yyy計算利用微分推導變分問題的歐拉方程利用微分推導變分問題的歐拉方程y(x)y(x)+y(x)y(x)1280( )( )( )yy xy xLagrange的泛函變分定義為2121

5、00( )( ,)xxxxdfdyF x yy yy dxddFFyydxyy 利用微分推導變分問題的歐拉方程利用微分推導變分問題的歐拉方程22221111xxxxxxxxFFdyFdFy dxdxyydxyydxydxy由分部積分9120y xxy xx21( )=0 xxFdFydxydxyy 1122222211220, (), ()0 (), ()FdFy xyy xyydxyFFFFyyyyy yy xy xyy xy 或 利用微分推導變分問題的歐拉方程利用微分推導變分問題的歐拉方程y10多元函數的變分問題多元函數的變分問題 0 xysw( x,y)F( x,y,w( x,y),w

6、( x,y),w ( x,y)dxdyw( x,y)w( x,y),s考慮下列多元函數的變分問題滿足邊界條件為 的邊界xyxyxyxySxyxyFFFw( x,y)wwwdxdywwwFFFFF()()wdxdy(w)(w) dxdywxwywxwywFFFFF()()wdxdy(wdywdwxwywwwx)對對w(x,y)取變分可得取變分可得11多元函數的變分問題多元函數的變分問題由此推出歐拉方程由此推出歐拉方程0,0)()(SyyxxyxnwFnwFwFywFxwF則可推出自然邊界條件件如果原問題沒有邊界條12如何建立變分式如何建立變分式: 從物理概念出發(fā)從物理概念出發(fā) 從微分方程邊值問題

7、出發(fā)從微分方程邊值問題出發(fā)如何由變分式推出歐拉方程如何由變分式推出歐拉方程如何利用變分式得到物理問題近似解如何利用變分式得到物理問題近似解 瑞雷法瑞雷法,里茲法里茲法,伽略金法伽略金法,有限元法有限元法13固體力學中的變分原理固體力學中的變分原理介紹虛位移原理，虛應力原理，最小總勢能原理，最小總余能原理，廣義變分原理虛位移原理，虛應力原理，最小總勢能原理，最小總余能原理等都可以用變分方法推導求得廣義變分原理可以從由變分方法推出；Lagrange乘子的物理意義14( )0uijijijjiiiufxxnPxSuuxS滿足位移邊界條件及連續(xù)性條件的任意無限小位移稱滿足位移邊界條件及連續(xù)性條件的任意

8、無限小位移稱為為許可位移許可位移1. 虛位移原理（虛功原理）虛位移原理（虛功原理）固體力學中的變分原理固體力學中的變分原理微分方程：微分方程：150uijiiiijjiiiiSSjuf dunP dSuuu dSx0ijiiiijjiSjijijjiiiiijjiSSjijijiiiiSufdunP dSxudnu dSf u dunP dSxdP u dSf u d ijijiiiiSdP u dSfu d 在任意的虛位移上在任意的虛位移上, ,內力虛功內力虛功= =外力虛功外力虛功固體力學中的變分原理固體力學中的變分原理取取 則則0oniuuS16,12iji jj iiiuuuuuxS1

9、02jiijijiijSjiuudP uudSxx 和外力和外力(包括表面力和體力包括表面力和體力)平衡的任意應力稱為許可應力；平衡的任意應力稱為許可應力；非真實的許可應力是虛應力。非真實的許可應力是虛應力。2.2.虛應力原理虛應力原理171202()ujiijijiiiSjiiijijijiiiSjiijijijiijiiijjiSjjjjuudP uudSxxuddP uu dSxuuddudun dSudxxxx 對第 項進行分部積分（以便消除位移的導數）： 代入上式0uijijijiiijjiiiSSjdudun dSP uu dSx ，得2.2.虛應力原理虛應力原理180uijiji

10、iSduPds 任意的虛應力在協調任意的虛應力在協調位移上作的功為零位移上作的功為零2.2.虛應力原理虛應力原理0 (*)0 ()0 0uuijijijiiijjiiiSSjiijjSijijijjiijjijijiiSdudun dSP uu dSxun dSfxxPnduPdS 其中，在給定面力的邊界上面力變分為零，即 另外，由平衡方程可給出以下二式：代入式(*)，得到19一般情況下的最小總勢能一般情況下的最小總勢能應變能：應變能：UWd00, ijijijijijijUWdddWd ijijW物理方程的物理方程的一種表示一種表示W 為單位體積應變能為單位體積應變能3. 最小總勢能原理最小

11、總勢能原理對于線性問題：對于線性問題：11112222TijijijklklijWE T DWD20()iiiiiiiiSSVf u dpu dsf u dp u dsijijiiiiSdfu dp u dS 虛功原理虛功原理:3. 最小總勢能原理最小總勢能原理00ijijijijijijijijijijijijUWdxddddWdd 21對于線性問題：對于線性問題：12pTTTSU Vddds Df up u0:(UV )UV, 由虛功原理可得這就是最小總勢能原理3. 最小總勢能原理最小總勢能原理例：斷面積為例：斷面積為A的直桿拉伸問題的直桿拉伸問題LLLPuqudxdxdxduEAVU00

12、221qP22該問題微分方程為：該問題微分方程為：3. 最小總勢能原理最小總勢能原理22000d uEAqdxduu();EAPdx21220022232311221222122322121411223231204133LLx LLiu( x)a xa x ,duEAdxqudxPu( x)dxEA(a La a La L )a qLa qLPuqLPLEALEALaaaEALEALqLPL 設代入勢能泛函23p一般地說，利用這個方法得到的位移比應力的精度要高p如果試探函數屬是完備的，則隨著項數的增加，得到的解趨于精確解。試探函數要完備，一定要包含反映常應變的項p由于采用近似函數得到的總勢能值

13、會高于精確解對應的總勢能值，所以近似解的應變能會小于精確解的應變能，近似解通常過剛（總勢能應變能；應變能越大，結構越柔）,即求得的位移往往比真實位移小，但求得的應力就沒有確定的結論基于變分原理的近似方法基于變分原理的近似方法24系統的余能包括兩部分,一部分是余應變能Uc,一部分是已知位移邊界條件上的外力余能Vcij0 11 221 2uuCCijCiiScCijijTCijklijklTtCSCiW dPu dSWWdWCddS 其中為材料單位體積貯存的余應變能對于線性彈性問題可以寫成考慮余能對應力的變分得到 C CP u0, ujijiiSdPu dS相當于虛應力原理4.4.最小余能原理最小

14、余能原理25最小余能原理：所有的許可應力狀態(tài)中，真實應力狀態(tài)使系統最小余能原理：所有的許可應力狀態(tài)中，真實應力狀態(tài)使系統的余能取最小值的余能取最小值p 對非線性彈性問題，余能原理一樣成立對非線性彈性問題，余能原理一樣成立p 應用最小余能原理時要求許可應力狀態(tài)滿足和外力（包括給定的面力和應用最小余能原理時要求許可應力狀態(tài)滿足和外力（包括給定的面力和體力）平衡；真實應力狀態(tài)也是一個特殊的許可應力狀態(tài)體力）平衡；真實應力狀態(tài)也是一個特殊的許可應力狀態(tài)p 許可應力狀態(tài)和真實應力狀態(tài)的區(qū)別在于：許可應力狀態(tài)和真實應力狀態(tài)的區(qū)別在于： 由許可應力狀態(tài)和應力應變關系可以求得相應的應變，但是這些應變可由許可應力狀態(tài)和應力應變關系可以求得相應的應變，但是這些應變可能不協調；而真實應力狀態(tài)相應的應變是協調的。能不協調；而真實應力狀態(tài)相應的應變是協調的。p 簡單地說，最小余能原理相當于協調方程簡單地說，最小余能原理相當于協調方程p 最小余能原理可用來構造雜交單元的有限元列式最小余能原理可用來構造雜交單元的有限元列式4.4.最小余能原理最小余能原理26各種變分原理和基本