1、對 數(shù) 函 數(shù) 及 其 性 質(zhì)（1） 哈爾濱市阿城區(qū)繼電器高級中學(xué) 邢 輝一、 教材分析本小節(jié)選自普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書-數(shù)學(xué)必修（一）（人教版）第二章基本初等函數(shù)（1）2.2.2對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（第一課時），主要內(nèi)容是學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)的定義、圖象、性質(zhì)及初步應(yīng)用。對數(shù)函數(shù)是繼指數(shù)函數(shù)之后的又一個重要初等函數(shù)，無論從知識或思想方法的角度對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)都有許多類似之處。與指數(shù)函數(shù)相比，對數(shù)函數(shù)的應(yīng)用更廣泛所涉及的知識更豐富、方法更靈活，能力要求也更高。學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)是對學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)知識和方法的鞏固、深化和提高，也為解決函數(shù)綜合問題及其在實際上的應(yīng)用奠定良好的基礎(chǔ)。雖然這個內(nèi)容十分熟悉，但新教材

2、做了一定的改動，如何設(shè)計能夠符合新課標(biāo)理念，是人們十分關(guān)注的，正因如此，本人選擇這課題立求某些方面有所突破。二、 學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析剛從初中升入高一的學(xué)生，仍保留著初中生許多學(xué)習(xí)特點，能力發(fā)展正處于形象思維向抽象思維轉(zhuǎn)化階段，但更注重形象思維。由于對數(shù)函數(shù)概念十分抽象，又以對數(shù)運算為基礎(chǔ)，同時，初中函數(shù)教學(xué)要求又降低，初中生運算能力有所下降，這雙重問題增加了對數(shù)函數(shù)教學(xué)的難度。教師必須認(rèn)識到這一點，教學(xué)中要控制要求的拔高，注意學(xué)生的接受情況，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程。三、設(shè)計理念本節(jié)課以建構(gòu)主義基本理論為指導(dǎo)，以新課標(biāo)基本理念為依據(jù)進行設(shè)計的，針對學(xué)生的學(xué)習(xí)背景，對數(shù)函數(shù)的教學(xué)首先要挖掘其知識背景貼近

3、學(xué)生實際，其次，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，把學(xué)習(xí)的主動權(quán)交給學(xué)生，為他們提供自主探究、合作交流的機會，確實改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式。四、教學(xué)目標(biāo)1知識與技能內(nèi)化對數(shù)函數(shù)的概念，熟悉對數(shù)函數(shù)的圖象規(guī)律；探索研究對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生運用函數(shù)的觀點解決實際問題；結(jié)合圖象類比指數(shù)函數(shù)，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的思想以及分析推理的能力；2過程與方法通過具體實例，直觀感受對數(shù)函數(shù)模型所刻畫的數(shù)量關(guān)系；通過協(xié)作畫圖，靜態(tài)觀察對數(shù)函數(shù)圖形，結(jié)合動態(tài)演示，培養(yǎng)學(xué)生運用類比、歸納的方法探究問題，發(fā)現(xiàn)并歸納對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)； 通過對新知的初步應(yīng)用，鞏固新知；3情感、態(tài)度與價值觀培養(yǎng)學(xué)生互助協(xié)作的團隊精神；滲透鍥而不舍、富有創(chuàng)新精神的研究

4、態(tài)度；五、教學(xué)重點與難點重點：理解對數(shù)函數(shù)的定義，掌握對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)；難點：對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的探究及底數(shù)對對數(shù)函數(shù)值變化的影響；六、教學(xué)過程設(shè)計 教學(xué)流程：課堂小結(jié)函數(shù)性質(zhì)函數(shù)圖象問題解決引出課題背景材料 教學(xué)內(nèi)容：（一）設(shè)置背景、引入課題設(shè)計意圖：結(jié)合馬王堆女尸千年不腐之謎和細(xì)胞分裂實驗，既培養(yǎng)學(xué)生的民族自豪感和投身科學(xué)的精神，又激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機。師生活動：教師介紹馬王堆女尸千年不腐之謎和細(xì)胞分裂實驗，結(jié)合具體問題情境，通過問題中變量的相互影響,設(shè)置學(xué)習(xí)“觸發(fā)點”，拋出本節(jié)課課題，激發(fā)學(xué)生的探究欲望。1讓學(xué)生看材料：材料1（多媒體）：馬王堆女尸千年不腐之謎：一九七二年，馬王堆考古

5、發(fā)現(xiàn)震驚世界，專家發(fā)掘西漢辛追遺尸時，形體完整，全身潤澤，皮膚仍有彈性，關(guān)節(jié)還可以活動，骨質(zhì)比現(xiàn)在六十歲的正常人還好，是世界上發(fā)現(xiàn)的首例歷史悠久的濕尸。大家知道，世界發(fā)現(xiàn)的不腐之尸都是在干燥的環(huán)境風(fēng)干而成，譬如沙漠環(huán)境，這類干尸雖然肌膚未腐，是因為干燥不利細(xì)菌繁殖，但關(guān)節(jié)和一般人死后一樣，是僵硬的，而馬王堆辛追夫人卻是在濕潤的環(huán)境中保存二千多年，而且關(guān)節(jié)可以活動。人們最關(guān)注有兩個問題，第一：怎么鑒定尸體的年份？第二：是什么環(huán)境使尸體未腐？其中第一個問題與數(shù)學(xué)有關(guān)。（如圖在長沙馬王堆“沉睡”近2200年的古長沙國丞相夫人辛追，奇跡般地“復(fù)活了）那么，考古學(xué)家是怎么計算出古長沙國丞相夫人辛追“沉睡

6、”近2200年？上面已經(jīng)知道考古學(xué)家是通過提取尸體的殘留物碳14的殘留量p，利用估算尸體出土的年代，不難發(fā)現(xiàn)：對每一個碳14的含量的取值，通過這個對應(yīng)關(guān)系，生物死亡年數(shù)t都有唯一的值與之對應(yīng)，從而t是P的函數(shù)； 材料2（多媒體）：某種細(xì)胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個 ，如果要求這種細(xì)胞經(jīng)過多少次分裂，大約可以得到細(xì)胞1萬個，10萬個 ，不難發(fā)現(xiàn)：分裂次數(shù)y就是要得到的細(xì)胞個數(shù)x的函數(shù),即； 教學(xué)內(nèi)容：（二）對數(shù)函數(shù)概念引入 設(shè)計意圖：新課標(biāo)強調(diào)“考慮到多數(shù)高中生的認(rèn)知特點，為了有助于他們對函數(shù)概念本質(zhì)的理解，不妨從學(xué)生自己的生活經(jīng)歷和實際問題入手”。因此，新課引入不是按舊教材從反函

7、數(shù)出發(fā)，而是選擇從兩個材料引出對數(shù)函數(shù)的概念，讓學(xué)生熟悉它的知識背景，初步感受對數(shù)函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界的又一重要數(shù)學(xué)模型。這樣處理，對數(shù)函數(shù)顯得不抽象，學(xué)生容易接受，降低了新課教學(xué)的起點師生活動：教師：觀察，認(rèn)同對數(shù)式中每一個p，都有唯一的 t值與之對應(yīng)，符合函數(shù)的定義，引出對數(shù)函數(shù)定義。引導(dǎo)學(xué)生觀察這些函數(shù)的特征：含有對數(shù)符號，底數(shù)是常數(shù)，真數(shù)是變量，從而得出對數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù)，且叫做對數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域是（0，+）師生：從對數(shù)式角度出發(fā)，討論對數(shù)式 中的底數(shù)a、真數(shù)x的取值范圍，注意： 對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意辨別如： ， 都不是對數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù)對

8、底數(shù)的限制：，且學(xué)生：解決例題1，根據(jù)對數(shù)函數(shù)定義填空；例1 （1）函數(shù) y=logax2的定義域是_ (其中a>0,a1) (2) 函數(shù)y=loga(4-x) 的定義域是_ (其中a>0,a1) 說明：本例主要考察對數(shù)函數(shù)定義中底數(shù)和定義域的限制，加深對概念的理解，所以把教材中的解答題改為填空題，節(jié)省時間，點到為止，以避免挖深、拓展、引入復(fù)合函數(shù)的概念。 設(shè)計意圖：通過題目，進一步鞏固學(xué)生對對數(shù)函數(shù)概念的理解掌握教師：巡視課堂，個別輔導(dǎo)；學(xué)生-回答 教師-給與點評。 教學(xué)內(nèi)容：（三）對數(shù)函數(shù)圖像及其性質(zhì)探究 設(shè)計意圖：讓學(xué)生回顧研究指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的方法，通過對任務(wù)的合理分配和整合，

9、既節(jié)約教學(xué)時間，又符合教學(xué)要求，通過不同能力的學(xué)生相互帶動、啟發(fā)，使任務(wù)的完成成為可能，并在對問題的深層次思考中，同時突出了團隊合作的重要性，從而培養(yǎng)學(xué)生合作探究的能力師生活動：嘗試畫圖、形成感知 1確定探究問題教師：當(dāng)我們知道對數(shù)函數(shù)的定義之后，緊接著需要探討什么問題？學(xué)生1：對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)教師：你能類比前面研究指數(shù)函數(shù)的思路，提出研究對數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)的方法嗎？學(xué)生2：先畫圖象，再根據(jù)圖象得出性質(zhì)教師：畫對數(shù)函數(shù)的圖象是否象指數(shù)函數(shù)那樣也需要分類？學(xué)生3：按和分類討論教師：觀察圖象主要看哪幾個特征？學(xué)生4：從圖象的形狀、位置、升降、定點等角度去識圖教師：在明確了探究方向后，按以下步驟

10、共同探究對數(shù)函數(shù)的圖象：在投影屏上給出作圖所需數(shù)據(jù)、指數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)對照表，做好組織、管理、啟發(fā)、評價工作。（數(shù)據(jù)見附表1）步驟一：（1）用描點法在學(xué)案坐標(biāo)紙同一坐標(biāo)系中畫出下列對數(shù)函數(shù)的圖象 （2）用描點法在同一坐標(biāo)系中畫出下列對數(shù)函數(shù)的圖象 學(xué)生：發(fā)揚團隊協(xié)作精神，既要完成好各自的任務(wù)，又要在相互配合下，完成學(xué)案所規(guī)定的任務(wù)，展示探究成果。（學(xué)案見附表2）步驟二：觀察對數(shù)函數(shù)、與、的圖象特征 ，看看它們有那些異同點。步驟三：利用計算機，選取底數(shù)，且的若干個不同的值，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出相應(yīng)對數(shù)函數(shù)的圖象。觀察圖象，它們有哪些共同特征？步驟四：教師：歸納出能體現(xiàn)對數(shù)函數(shù)的代表性圖象，在

11、學(xué)生總結(jié)的基礎(chǔ)上，給出性質(zhì)簡表，規(guī)范性質(zhì)描述和強化所得的結(jié)論。 步驟五：作指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象的比較教師：利用多媒體展示部分學(xué)生的成果2學(xué)生探究成果 （1）如圖 41、42較為熟練地用描點法畫出下列對數(shù)函數(shù) 、 、的圖象圖41圖42（2）如圖43學(xué)生選取底數(shù)=1/4、1/5、1/6、1/10、4、5、6、10，教師演示幾何畫板，得到相應(yīng)對數(shù)函數(shù)的圖象。由于學(xué)生自己選擇，加上幾何畫板的強大作圖功能，學(xué)生非常清楚地看到了底數(shù)是如何影響函數(shù)，且圖象的變化。圖43（3）有了這種畫圖感知的過程以及學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的經(jīng)驗，學(xué)生很明確y = loga x （a>1）、y = loga x (0<a

12、<1) 的圖象代表對數(shù)函數(shù)的兩種情形。（圖44）圖44y = loga x （a>1） y = loga x (0<a<1)（4）學(xué)生相互補充，自主發(fā)現(xiàn)了圖象的下列特征：圖象都在y軸右側(cè)，向y軸正負(fù)方向無限延伸；都過（1、0）點；當(dāng)a>1時，圖象沿x軸正向逐步上升；當(dāng)0<a<1時，圖象沿x軸正向逐步下降；圖象關(guān)于原點和y軸不對稱，并且能從圖象的形狀、位置、升降、定點等角度指出指數(shù)函數(shù)與圖45對數(shù)函數(shù)的圖象區(qū)別；如圖45在學(xué)生自主探究、合作交流的的基礎(chǔ)上填寫如下表格：函 數(shù)y = loga x （a>1）y = loga x (0<a<

13、1)圖 像定義域R+R+值 域RR單調(diào)性在（0，+ ）上是增函數(shù)在（0，+ ）上是減函數(shù)過定點（1，0）即x=1，y=0（1，0）即x=1，y=0取值范圍0<x<1時，y<0 x>1時，y>00<x<1時，y>0 x>1時，y<03教師引導(dǎo)拓展探究：（1）對數(shù)函數(shù) 與 、 與 的圖象有怎樣的對稱關(guān)系？（2）對數(shù)函數(shù)y = loga x （a>1），當(dāng)a值增大，圖象的上升“程度”怎樣？說明：這是學(xué)生探究中容易忽略的地方，通過補充學(xué)生對對數(shù)函數(shù)圖象感性認(rèn)識就比較全面。設(shè)計意圖：發(fā)現(xiàn)性質(zhì)、弄清性質(zhì)的來龍去脈，是為了更好揭示對數(shù)函數(shù)的本

14、質(zhì)屬性，傳統(tǒng)教學(xué)往往讓學(xué)生在解題中領(lǐng)悟。本節(jié)課的設(shè)計注重引導(dǎo)學(xué)生用特殊到一般的方法探究對數(shù)函數(shù)圖象的形成過程，加深感性認(rèn)識。利用類比的思想，小組合作的形式通過圖象主動探索出對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)借助計算機輔助教學(xué)作用，增強學(xué)生的直觀感受。教學(xué)實踐表明：當(dāng)學(xué)生對對數(shù)函數(shù)的圖象已有感性認(rèn)識后，得到這些性質(zhì)必然水到渠成 教學(xué)內(nèi)容：（四）對數(shù)函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用設(shè)計意圖：鞏固所學(xué)新知，體現(xiàn)探究成果的應(yīng)用，滲透數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想；嘗試完成實際應(yīng)用性問題，體現(xiàn)“數(shù)學(xué)是有用的、數(shù)學(xué)來源于生活”這一理念。預(yù)設(shè)任務(wù)的多元性，體現(xiàn)了分層教學(xué)的思想。 師生活動：問題一：（幻燈）（教材p72 例8） 比較下列各組數(shù)中兩個值的

15、大小：(1) log 23.4 , log 28.5 （2）log 0.31.8 , log 0.32.7（3）log a5.1 , log a5.9 ( a0 , 且a1 ) 獨立思考：1。構(gòu)造怎樣的對數(shù)函數(shù)模型？2。運用怎樣的函數(shù)性質(zhì)？學(xué)生小組交流：（1）是增函數(shù) （2） 是減函數(shù) （3）y = loga x，分 和分類討論變式訓(xùn)練：1. 比較下列各題中兩個值的大小: log106 log108 log0.56 log0.54 log0.10.5 log0.10.6 log1.50.6 log1.50.42已知下列不等式，比較正數(shù)m，n 的大小： (1) log 3 m < log

16、3 n (2) log 0.3 m > log 0.3 n (3) log a m < loga n (0<a<1) (4) log a m > log a n (a>1)學(xué)生：利用學(xué)案，模仿例題解答，完成基本應(yīng)用類題組。教師：引導(dǎo)學(xué)生思考、交流，探討解決問題的方案，給出示范解答。問題二：（幻燈）（教材p72 例9）溶液酸堿度的測量。 溶液酸堿度是通過pH刻畫的。pH的計算公式為pH= lg ，其中 表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升。（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)及上述pH的計算公式，說明溶液酸堿度與溶液中氫離子的濃度之間的變化關(guān)系；（2）已知純靜水中氫離子的

17、濃度為 = - 摩爾/升，計算純靜水的pH獨立思考：解決這個問題是選擇怎樣的對數(shù)函數(shù)模型？運用什么函數(shù)性質(zhì)？小組交流：pH=-lg =lg =lg1/ , 隨著 的增大，pH 減小，即溶液中氫離子濃度越大，溶液的酸堿度就越大設(shè)計意圖：1。這個環(huán)節(jié)不做為本節(jié)課的重頭戲，設(shè)置探究問題只是從另一層面上提升學(xué)生對性質(zhì)的理解和應(yīng)用。問題一是比較大小，始終要緊扣對數(shù)函數(shù)模型，滲透函數(shù)的觀點（數(shù)形結(jié)合）解決問題的思想方法；2。舊教材在圖象與性質(zhì)之后，通常操練類似比較大小等技巧性過大的問題，而新教材引出問題二，還是強調(diào)“數(shù)學(xué)建模”的思想，并且關(guān)注學(xué)科間的聯(lián)系，這種精神應(yīng)予領(lǐng)會。當(dāng)然要預(yù)計到，實際教學(xué)中學(xué)生理解

18、這道應(yīng)用題題意會遇到一些困難，教師要注意引導(dǎo) 教學(xué)內(nèi)容：（五）歸納小結(jié)、鞏固新知教師：1議一議：（1）怎樣的函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù)？（2）對數(shù)函數(shù)的圖象形狀與底數(shù)有什么樣的關(guān)系？（3）對數(shù)函數(shù)有怎樣的性質(zhì)？2看一看：對數(shù)函數(shù)的圖象特征和相關(guān)性質(zhì)對數(shù)函數(shù)的圖象特征對數(shù)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)函數(shù)圖象都在y軸右側(cè)函數(shù)的定義域為（0，）圖象關(guān)于原點和y軸不對稱非奇非偶函數(shù)向y軸正負(fù)方向無限延伸函數(shù)的值域為R函數(shù)圖象都過定點（1，0）自左向右看，圖象逐漸上升自左向右看，圖象逐漸下降增函數(shù)減函數(shù)第一象限的圖象縱坐標(biāo)都大于0第一象限的圖象縱坐標(biāo)都大于0第二象限的圖象縱坐標(biāo)都小于0第二象限的圖象縱坐標(biāo)都小于0 教學(xué)內(nèi)容：（

19、六）作業(yè)布置、課后復(fù)習(xí)1 必做題：教材P74習(xí)題22（A組） 第7、8、9、12題2 思考題：教材P74習(xí)題22（B組） 第2題 教學(xué)內(nèi)容：（七）教學(xué)設(shè)計反思從教七年多，函數(shù)始終是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的主線，對數(shù)函數(shù)始終是高中數(shù)學(xué)的難點。高中新課改的春風(fēng)，帶來了函數(shù)教學(xué)設(shè)計上的創(chuàng)新，促使我們在學(xué)生學(xué)習(xí)方法上、教學(xué)內(nèi)容的組織上、教學(xué)輔助手段上率先嘗試，但這只是一個起點，目前教學(xué)條件還受到制約，如計算器未能普及、課時緊容量大，都影響函數(shù)的正常教學(xué)，設(shè)計如有不合理之處敬請專家給與批評指正。謝謝指導(dǎo)。附表1Xy=log2XXy=log0.5XXy=log3XXy=log1/3X0.2-2.3 0.22.3 0

20、.2-1.5 0.21.5 0.4-1.3 0.41.3 0.4-0.8 0.40.8 0.5-1.0 0.51.0 0.5-0.6 0.50.6 0.6-0.7 0.60.7 0.6-0.5 0.60.5 0.8-0.3 0.80.3 0.8-0.2 0.80.2 10.0 10.0 10.0 10.0 21.0 2-1.0 20.6 2-0.6 31.6 3-1.6 31.0 3-1.0 42.0 4-2.0 41.3 4-1.3 52.3 5-2.3 51.5 5-1.5 62.6 6-2.6 61.6 6-1.6 72.8 7-2.8 71.8 7-1.8 83.0 8-3.0 81.9 8-1.9 93.2 9-3.2 92.0 9-2.0 103.3 10-3.3 102.1 10-2.1 123