1、高中數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論1.元素與集合的關(guān)系xAxCuA,xCuAxA.2 德摩根公式CU(AIB)CUAUCUB;CU(AUB)CUAICUB.3 .包含關(guān)系A(chǔ)IBAAUBBABCUBCUAAICUBCUAUBR4.集合ai,a2,L冏的子集個數(shù)共有2n個；真子集有2nT個;非空子集有2n-1個；非空的真子集有2nN 個.5 .二次函數(shù)的解析式的三種形式(1)一般式f(x)ax2bxc(a0);(2)頂點式f(x)a(xh)2k(a0);(3)零點式f(x)a(xx)(xx2)(a0).6 .閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值2b,.二次函數(shù)f(x)axbxc(a0)在閉區(qū)間p,q上的取值只能在x支

2、處及區(qū)間的兩端點處取得,具體如下:bb當(dāng) a0 時,右xp,q,那么f(x)minf(),f(x)maxmaxf(p),f(q)；2a2ab右xp,q,f(x)maxmaxf(p),f(q),f(x)minminf(p),f(q).2a當(dāng) a0,p 是一個無理數(shù),那么 ap表示一個確定的實數(shù).上述有理指數(shù)幕的運算性質(zhì),對于無理數(shù)指數(shù)幕都適用.17 .指數(shù)式與對數(shù)式的互化式logaNbabN(a0,a1,N0).logmNlogaN(a0,且 a1,m0,且 m1,N0).logma推論logambnlogab(a0,且 a1,m,n0,且 m1,n1,N0).m19 .對數(shù)的四那么運算法那么假

3、設(shè) a0,awl,M0,N0,那么(1)loga(MN)logaMlogaN；.M.(2)logalogaMlogaN；N(3)logaMnnlogaM(nR).20 .等差數(shù)列的通項公式*、ana1(n1)ddna1d(nN)；其前 n 項和公式為n(aan)snna12d2/1n(a1-d)n.2221 .等比數(shù)列的通項公式anqqn1a1qn(nN*)；q其前 n 項的和公式為aL),q1Sn1qna1,q122 .常見三角不等式(1)假設(shè)x(0,金),那么 sinxxtanx.(2)假設(shè)x(0,一),那么1sinxcosxV2.2(3)|sinx|cosx|1.23 .同角三角函數(shù)的根

4、本關(guān)系式n(n21)24 .正弦、余弦的誘導(dǎo)公式奇變偶不變符號看象限25 .和角與差角公式26 .二倍角公式27 .三角函數(shù)的周期公式周期T28 .正弦定理absinAsinB29 .余弦定理a2b2c22bccosA;222bca2cacosB;22,2cab2abcosC.22sincos1,tansin,tancot1.cossin(sincoscossin;cos(tan(costancosmsintansin;1mtantanasin定,tanbcos=.a2b2sin(b).a輔助角所在象限由點a,b的象限決sin2cos2tan2sincos.2.22cossin2cos12ta

5、n1tan212sin2函數(shù)ysin(xA 刈,0的周期 T),xCR 及函數(shù)y2cos(x),xCR(A,為常數(shù),且函數(shù)ytan(ZA,CD,為常數(shù),且 A#0,0的sinC2R.R是外接圓的半徑(1)S-ahabhb-chc(ha、hb、hc分別表示 a、b、c 邊上的高)2221._1.1.-(2)S-absinC-bcsinAcasinB.31.三角形內(nèi)角和定理在 zABC 中,有ACAB22232 .向量的數(shù)量積的運算律：(1) ab=ba(交換律)；(2) (a)b=(ab)=ab=a(b);(3) (a+b)c=ac+bc.33 .平面向量根本定理如果 e1、e2是同一平面內(nèi)的兩

6、個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任一向量,有且只有一對實數(shù)入1、0使得 a=入1e+不共線的向量 e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.34 .a 與 b 的數(shù)量積(或內(nèi)積)ab=|a|b|cos0.數(shù)量積ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos0的乘積.35 .平面向量的坐標(biāo)運算(1)設(shè) a=(X1,y1),b=函小),那么 a+b=(xx2,yy?).(2)設(shè) a=(XI,y),b=(X2,y2),那么a-b=(x1X2,y內(nèi).設(shè) A(x1,y1),B(x2,y2),那么 ABOBOA偽仆2%).設(shè) a=(x,y),R,那么 a=(x,y).(5)設(shè) a=(x,

7、y),b=(x2,y2),WJab=(x1x2y1y2).C(AB)2(AB).2C2uuruuuuuuxix2y1y2,、cosr2222(a=(xi,yi),b=(X2,y2).XiyiX2y237 .平面兩點間的距離公式uuuunnuund=|AB|JABABJ(X2Xi)20yPA(xi,yi),B(X2,y2).38 .向量的平行與垂直設(shè) a=(Xi,yi),b=(X2,y?),且 b0,那么a|bb=aXiy2X2yi0.ab(a0)ab=0XiX2yiy20.39 .線段的定比分點公式uunumr設(shè)P(Xi,yi),P2(X2,y2),P(X,y)是線段PP2的分點,是實數(shù),且

8、PPPP2,那么40 .三角形的重心坐標(biāo)公式MBC 三個頂點的坐標(biāo)分別為心的坐標(biāo)是G(XiX2X33.為 ABC 的重心41 .點的平移公式,一XXhXXhuuur11ruuLrlOPOPPP.yykyyk注:圖形 F 上的任意一點 P(x,y)在平移后圖形F上的對應(yīng)點為P(x,y),且uur ,.一PP的坐標(biāo)為(h,k).42 .“按向量平移的幾個結(jié)論(i)點P(x,y)按向重 a=(h,k)平移后得到點P(xh,yk).iyiy2iuurunrOPtOPiuuirOPuuuuuirOFOP2iuiur(it)OP2IiA(Xi,yi)、B(X2,y2)C(X3,y3),那么 MBC 的重V

9、y2y3)3.uuuuuiruuurOAOBOCr0.當(dāng) af(x)a1 時,ag(x)f(x)lOgaf(x)lOgag(x)g(x);f(x)g(x)f(x)00g(x)當(dāng) 0f(x)aa1 時,ag(x)f(x)g(x);(2)函數(shù)yf(x)的圖象C按向量 a=(h,k)平移后得到圖象C,那么C的函數(shù)解析式為yf(xh)k.(3)圖象C按向量 a=(h,k)平移后得到圖象 C,假設(shè) C 的解析式y(tǒng)f(x),Mc的函數(shù)解析式為yf(xh)k.(4)曲線 C:f(x,y)0按向量 a=(h,k)平移后得到圖象C,那么C的方程為f(xh,yk)0.(5)向量 m=(x,y)按向量 a=(h,k

10、)平移后得到的向量仍然為 m=(x,y).43 .常用不等式：(1)a,bRa2b22ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“二號).(2)a,bRb而(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取二號).2(3)a3b3c33abc(a0,b0,c0).(4)柯西不等式：(a2b2)(c2d2)(acbd)2,a,b,c,dR.(5)ababab.44 .最值定理(積定和最小)x,y 都是正數(shù),那么有(1)假設(shè)積 xy 是定值 p,那么當(dāng) xy 時和 xy 有最小值 2&(2)假設(shè)和 xy 是定值 s,那么當(dāng) xy 時積 xy 有最大值二 s2.4推廣x,yR,那么有(xy)2(xy)22xy(1)假設(shè)積 xy 是定值,那

11、么當(dāng)|xy|最大時,|xy|最大；當(dāng)|xy|最小時,|xy|最小.(2)假設(shè)和|xy|是定值,那么當(dāng)|xy|最大時,|xy|最小；當(dāng)|xy|最小時,|xy|最大.45 .指數(shù)不等式與對數(shù)不等式f(x)0lOgaf(X)lOgag(X)g(X)0f(x)g(x)46 .斜率公式y(tǒng)2y1,_、kU-上(P(x1,y1)、P2(X2,y2)X2Xi47 .直線的五種方程(1)點斜式y(tǒng)y1k(XX1)(直線 l 過點P1(X1,y1),且斜率為 k).(2)斜截式y(tǒng)kXb(b 為直線 l 在 y 軸上的截距).yyXX(3)兩點式(y1y2)(P1(X1,y1)、P2(X2,y2)(xX2).y2y1

12、X2Xi(4)截距式-1(ab 分別為直線的橫、縱截距,a、b0)ab(5)一般式AXByC0(其中 A、B 不同時為 0).48 .兩條直線的平行和垂直假設(shè)l1:yk1xb1,l2:yk2Xb1 l1|l2k1k2,bib2；2 l1l2k1k21.49 .l1到l2的倒角公式(l1:yk1xB,l2：yk2Xb2,k1k21)50 .兩種常用直線系方程(1)平行直線系方程：與直線AxByC0平行的直線系方程是AxBy0(0),人是參變量.(2)垂直直線系方程：與直線AxByC0(Aw0,B 汽)垂直的直線系方程是BxAy0,人是參變量.(1)tank2k11k2k151 .點到直線的距離d

13、|空20,C(點P(x0,y(0,直線 l：AxByC0).AB52 .AxByC0或 0 所表示的平面區(qū)域設(shè)直線l:AxByC0,那么AxByC0或 0 所表示的平面區(qū)域是：(1)假設(shè) B0,當(dāng) B 與AxByC同號時,表示直線 l 的上方的區(qū)域；當(dāng) B 與AxByC異號時,表示直線 l 的下方的區(qū)域.簡言之,同號在上,異號在下.(2)假設(shè) B0,當(dāng) A 與AxByC同號時,表示直線 l 的右方的區(qū)域；當(dāng) A 與AxByC異號時,表示直線 l 的左方的區(qū)域.簡言之,同號在右,異號在左.53 .圓的四種方程54 .直線與圓的位置關(guān)系(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)圓的一般方程(3)圓的參數(shù)方程(4)圓

14、的直徑式方程A(xi,yi)、B(x2,y2).,、222(xa)(yb)r.x2y2DxEyF0(D2xarcos.ybrsin(xx)(xx2)(yy)(yE24F0).y)0(圓的直徑的端點是直線AxByCddd其中 dr相離r相切r相交AaBbCA2B20與圓(xa)20;0;0.(yb)2r2的位置關(guān)系有三種雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系22221假設(shè)雙曲線方程為xr41漸近線方程：、多0yabab22假設(shè)漸近線方程為ybx-10雙曲線可設(shè)為三三aabab2222假設(shè)雙曲線與I41有公共漸近線,可設(shè)為44abab在 x 軸上,0,焦點在 y 軸上57 .拋物線y22Px的焦半徑公式拋

15、物線y22px(p0)焦半徑CF|x0-p.2過焦點弦長CDx1x2x1x2p.2258 .直線與圓錐曲線相交的弦長公式ABJ(1k2)(x2%)2|為 X21Jitan2|yy21Jicot2ykxb(弦環(huán)點 A(xi,yi),B(x2,y2),由方程洎去 y 得到axbxc0,2255.橢圓051(aa2b222橢圓x2與1(aab2PFie(x),c橢圓的的內(nèi)外部(1)點P(xo,yo)(2)點P(xo,yo)b0的參數(shù)方程是 yb0焦半徑公式2PF2ex.cacosbsin2x56.雙曲線一2aPF1|e(x22、當(dāng)1(ab22ab22xy221(abab220)的內(nèi)部誓當(dāng)1.a2b2

16、220)的外部勺當(dāng)1.a2b22二1(a0,b0)的焦半徑公式b22a一a一)1,PF2|e(一x)|.cc雙曲線的內(nèi)外部22點Px0,y.在雙曲線xy與ab22xy點Px0,y.在雙曲線二方ab1(a0,b1(a0,b0的內(nèi)部0的外部2x0-2a2&2ay2b22y.b20,焦點F(x,y)00,為直線 AB 的傾斜角,k為直線的斜率).59 .證實直線與直線的平行的思考途徑(1)轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無交點；(2)轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行；(3)轉(zhuǎn)化為線面平行；(4)轉(zhuǎn)化為線面垂直；(5)轉(zhuǎn)化為面面平行.證實直線與平面的平行的思考途徑(1)轉(zhuǎn)化為直線與平面無公共點；(2)轉(zhuǎn)化為

17、線線平行；(3)轉(zhuǎn)化為面面平行.證實平面與平面平行的思考途徑(1)轉(zhuǎn)化為判定二平面無公共點；(2)轉(zhuǎn)化為線面平行；(3)轉(zhuǎn)化為線面垂直.證實直線與直線的垂直的思考途徑(1)轉(zhuǎn)化為相交垂直；(2)轉(zhuǎn)化為線面垂直；(3)轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直；(4)轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直.證實直線與平面垂直的思考途徑(1)轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直；(2)轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；(3)轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；(4)轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個平行平面；(5)轉(zhuǎn)化為該直線與兩個垂直平面的交線垂直證實平面與平面的垂直的思考途徑(1)轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角；(2)轉(zhuǎn)化為線面垂直.6

18、0 .平面向量加法的平行四邊形法那么向空間的推廣始點相同且不在同一個平面內(nèi)的三個向量之和,等于以這三個向量為棱的平行六面體的以公共始點為始點的對角線所表示的向量.61 .共線向量定理對空間任意兩個向量 a、b(b0),a/b 存在實數(shù)入使 a=Ab.uuruuruuuuuuuuuP、AB 三點共線AP|ABAPtABOP(1t)OAtOB.uuuuuuuuuuuurAB|CDAB、CD共線且ARCD 不共線ABtCD且 ARCD 不共線.62 .共面向量定理向量 p 與兩個不共線的向量 a、b 共面的存在實數(shù)對 x,y,使paxby.推論：空間一點 P 位于平面 MAB 內(nèi)的存在有序?qū)崝?shù)對 x

19、,y,使uuuruuuuurMPxMAyMB,或?qū)臻g任一定點 O,有序?qū)崝?shù)對 x,y,使uuruuuruuuruuurOPOMxMAyMB.uuruuuuuuuuur63 .對空間任一點O和不共線的三點 A、B、C,滿足OPxOAyOBzOC(xyzk),那么當(dāng) k1時,對于空間任一點 O,總有 P、A、B、C 四點共面；當(dāng) k1 時,假設(shè) O 平面 ABC,那么P、A、B、C 四點共面；假設(shè) O 平面 ABC,那么 P、A、B、C 四點不共面.uuuruuuuuuruuruuuuuurAB、C、D 四點共面AD與AB、AC共面ADxAByACuuiruuuuuuuuurOD(1xy)OAx

20、OByOC(O平面 ABC).64 .空間向量根本定理如果三個向量 a、b、c 不共面,那么對空間任一向量 p,存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組 x,y,z,使 p=xa+yb+zc.推論設(shè) O、A、B、C 是不共面的四點,那么對空間任一點 P,都存在唯一uuuuuuuuiruuur的三個有序?qū)崝?shù)x,y,z,使OPxOAyOBzOC.65 .向量的直角坐標(biāo)運算設(shè)a=(ai,a2,a3),b=(bi,b2,4)那么(1)a+b=(&bi,a2b2,a3b3);(2) ab=(abi,a2b2,a3b3)；(3)b=(ai,a2,a3)(人田)；(4)ab=aiba2b2a3b3;設(shè) A(xi,y

21、i,zi),B(x2,y2Z),那么uuuuuruuuABOBOA=(x2xi,y2yi,z2乙).66 .空間的線線平行或垂直 rr設(shè) a為,必,4,b 區(qū)羋 2,那么rrrra|bab(b0)y1zirrrrabab0 xix2yiy2ziZ20.67 .夾角公式設(shè)a(ai,a2,a3),b(bi,b2,4),那么Wba2b2a3b3a2a2b2b2b；推論(aqa2b2a3b3)2(a；a2a2)(bi2b2b；),此即三維柯西不等式68 .異面直線所成角cos|cosa,b,；|rr二儼br|xix2yiy2ZiZ2|a|b|.82y；Zi2x22y22Z22x2y2；z269 .直線

22、 AB 與平面所成角UUlITABm11arcsin-uuu-um為平面的法向重.|AB|m|71 .空間兩點間的距離公式假設(shè) A(xi,yi,zi),B(X2,y2,Z2),那么uuuuuruuu222dA,B=|AB|JABABq(X2Xi)(y2y1)修乙).72 .點Q到直線 l 距離122uuuhV|a|b|2ab2點 P 在直線 l 上,直線 l 的萬向向量 a=PA,向量|a|UUTb=PQ.73 .異面直線間的距離HITHd|CDn|ii/2是兩異面直線,其公垂向量為n,C、D分別是ii2上任一|n|點,d為li2間的距離.74 .點 B 到平面的距離uuuur|ABn|rd

23、處阜口n為平面的法向量,AB 是經(jīng)過面的一條斜線,A.|n|75 .異面直線上兩點距離公式j(luò)/uuuuurd.h2m2n22mncosEA,AF.兩條異面直線 a、b 所成的角為8,其公垂線段 AA的長度為 h.在直線 a、b 上分別取兩點 E、F,AEm,AFn,EFd. 其 中 0向向量90為異面直線a,b所成角,rra,b 分別表示異面直線a,b的方70.二面角larccos的平面角irrmnr 或|m|n|ITrmn/arccos-ir-(m,|m|n|rn為平面的法向量.76 .三個向量和的平方公式rrr2r2r2r2rrrrrr(abc)abc2ab2bc2car2r2r2rrrr

24、.rr.rr.rr.rrabc2|a|b|cos；a,b；2|b|c|cos：b,c：2|c|a|cos:c,a77 .面積射影定理S旦cos平面多邊形及其射影的面積分別是S、S,它們所在平面所成銳二面角的為.78 .歐拉定理歐拉公式VFE2簡單多面體的頂點數(shù) V、棱數(shù) E 和面數(shù) F.1E=各面多邊形邊數(shù)和的一半.特別地,假設(shè)每個面白勺邊數(shù)為n 的多邊形,那么面1數(shù) F 與棱數(shù) E 的關(guān)系：EnF;212假設(shè)每個頂點引出的棱數(shù)為m,那么頂點數(shù) V 與棱數(shù) E 的關(guān)系：E-mV.279 .球的半徑是 R,那么其體積V4R3,3其外表積S4R2.1V錐體-ShS 是錐體的底面積、h 是錐體的圖3

25、80 .組合數(shù)公式性質(zhì)：1cnm=cn1mcnm+cnm1=cnm1.注:規(guī)定 c01.81 .n 次獨立重復(fù)試驗中某事件恰好發(fā)生 k 次的概率Cmn_Am_n(n1)(nAmm1)nJmm!(n(nCN*,mN,且 mn).m：c：c1c2cnCn2n.kknkPn(k)CnP(1P)82 .離散型隨機變量的分布列的兩個性質(zhì)(1)P0(i1,2,L);(2)PiP2L1.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)：(1)E(ab)aE()b.(2)假設(shè)B(n,p),那么Enp.1(3)右服從幾何分布,且P(k)g(k,p)qp,那么E.P22284 .方差 DX1E%X2EP2LXnEPnL標(biāo)準(zhǔn)差=D.方差的性質(zhì):(1)Daba2D;(2)假設(shè)B(n,p),那么Dnp(1p).(3)假設(shè)服從幾何分布,且P(k)g(k,p)qk1p,那么D方差與期望的關(guān)系：DE2E2.85 .f(x)在Xo處的導(dǎo)數(shù)(或變化率)函數(shù)yf(x)