1、1靜電場的邊值問題1 .鏡象法的理論依據是（）。基本方法是在所求場域的外部放置鏡像電荷以等效的取代邊界表面的（）。2 .根據邊界面的形狀，選擇適當的坐標系，如平面邊界，則選直角坐標；圓柱面選圓柱坐標系；球面選球坐標。以便以簡單的形式表達邊界條件。將電位函數表示成三個一維函數的乘積，將拉普拉斯方程變為三個常微分方程，得到電位函數的通解，然后尋求滿足條件的特解，稱為（）3 .將平面、圓柱面或球面上的感應電荷分布（或束縛電荷分布）用等效的點電荷或線電荷（在場區域外的某一位置處）替代并保證邊界條件不變。原電荷與等效點電荷（即通稱為像電荷）的場即所求解，稱為（），其主要步驟是確定鏡像電荷的位置和大小。4

2、 .（）是一種數值計算方法，把求解區域用網格劃分，同時把拉普拉斯方程變為網格點的電位有限差分方程（代數方程）組。在已知邊界點的電位值下，用迭代法求得網格點電位的近似數值。5 .用鏡像法求解電場邊值問題時，判斷鏡像電荷的選取是否正確的根據是（）（A.鏡像電荷是否對稱B.電位所滿足的方程是否未改變C.邊界條件是否保持不變D.同時選擇B和C4446 .微分形式的安培環路定律表達式為WmHJ,其中的J（）oA,是自由電流密度B.是束縛電流密度C.是自由電流和束縛電流密度D.若在真空中則是自由電流密度；在介質中則為束縛電流密度7 .在邊界形狀完全相同的兩個區域內的靜電場，滿足相同的邊界條件，則兩個區域中

3、的場分布（）。A.一定相同B.一定不相同C.不能斷定相同或不相同8 .兩相交并接地導體平板夾角為,則兩板之間區域的靜電場（）。A.總可用鏡象法求出。8 .不能用鏡象法求出。C.當a=n/n且n為正整數時，可以用鏡象法求出。D.當"=2乳小且n為正整數時，可以用鏡象法求出9 .將一無窮大導體平板折成如圖的900角，一點電荷Q位于圖中（1,冗/6）點處，求所有鏡像電荷的大小和位置并在圖中標出10 .兩個平行于XOY面的極大的金屬平板，兩平板間的距離為d,電位差為%。求兩板間的電位及電場分布11 .兩塊彼此平行的半無限大接地金屬板，板間距離為b,兩平行板的一端另有一塊電位為玲的極長的金屬條

4、，它們之間縫隙極小，但彼此絕緣。求兩板間的電位分布。12 .四塊彼此絕緣（相隔極小的縫隙）的無限長金屬板構成一個矩形空管，管子截面為axb,上下兩塊板電位為零（接地），右側板電位為十,左側板上電包=0位的法向導數為零，即加。求管內的電位分布規律。13 .求導體槽內的電位。槽的寬度在x和z方向都為無窮大，槽由兩塊T形的導體構成，兩塊間有一狹縫，外加恒定電壓環。14 .一根半徑為a,介電常數為£的無限長介質圓柱體置于均勻外電場片中，且與冊相垂直。設外電場方向為傳由方向，圓柱軸與z軸相合，求圓柱內、外的電位函數。15 .同心金屬球，內外導體半徑分別為a和b,內導體電位為,1,外導體電位為匕

5、，空氣介質填充，求該球形電容器的電容C16 .均勻電場就中置一半徑為a的介質球。介質球的介電常數為£,球外空氣為與。球介質球內外的電位分布規律17 .均勻電場中的金屬球，一孤立導體金屬球，半徑為a,置于均勻電場練中。金屬球為等位體，球內電場等于零。求外電場則為感應電荷的電場與原均勻電場之和，試求球外的電位及電場18 .一個半徑為a的導體球殼，沿赤道平面切割出一窄縫，在兩半球殼上外加電壓環。并且使下半球殼的電位為零（接地），上半球殼的電位為明。計算球內的電位19 .求單導線的對地電容。一根極長的單導線與地面平行。導線半徑為a,離地高度為h,求單位長度單導線地對地電容20 .兩根無限長平

6、行圓柱，半徑均為a,軸線距離位Do求兩圓柱間單位長度上的電容21 .一長方形界面的導體槽，槽可以視為無限長，其上有一塊與相絕緣的蓋板，槽的電位為零，蓋板的電位為畤，求槽內的電位函數22 .兩平行的無限大導體平面，距離為b,其間有一極薄由y=d到y=b(-00<X<00)o上板和薄片保持電位環，下板保持零電位求板間電位的解。4=y設在薄片平面上，從丫=0到丫=,電位線性變化，d。提示：應用疊加原理。把場分解成兩個場相疊加：一是薄片不存在，兩平行板(加電壓環)的場;一是薄片和兩個電位為零的平板間的場。注意兩個場疊加后滿足題給的邊界條件。23 .導體槽，底面保持電位環，其余兩面電位為零，

7、求槽內的電位的解24 .一長、寬、高分別為a、b、c的長方體表面保持為零電位，體積內填充密度提示：假設可以用三維p=sin(一)sin(一)yy-b)為11,的電荷。球體積內的Q。(p=TZEsin()sm()皿(一)傅里葉級數表示為式HLibbt,并將P展成相似的三維傅里葉級數，把S和P的展式代入泊松方程：”決定系數4惻。25 .一對無限大接地平行導體板。板間有一與z軸平行的線電荷,其位置為(0,d),求板間的電位函數。26 .矩形槽電位為零，槽中有一與槽平行的直線電荷引T%。求槽內的電位函數27 .在均勻電場后二a4中垂直于電場方向放置一導體圓柱，圓柱半徑為a。求圓柱外的電位函數和導體表面

8、的感應電荷密度。28 .考慮一介電常數為E的無限大的介質，在介質中沿z軸方向開一個半徑為a的圓柱形空腔。沿x軸方向加一均勻電場為，求空腔內和空腔外的電位29 .一個半徑為b,無限長的薄導體圓柱面被分割成四分之一圓柱面。第二象限和第四象限的四分之一圓柱面接地，第一象限和第三象限分別保持電位環和4。求圓柱內部的電位分布30 .一無限長介質圓柱，在距離軸線20(為>公處,有一與圓柱平行的線電荷外計算空間各部分的電位31 .一無限長導體圓柱，在距離軸線0(")公處,有一與圓柱平行的線電荷外計算空間各部分的電位32 .在均勻電場E中放入半徑為a導體球，設(1)導體充電至環；(2)導體上充

9、電荷量Q試分別計算兩種情況下球外的電位分布。33 .無限大介質中外加均勻電場&二扁，在介質中有一半徑為a的球形空腔,求空腔中的E和空腔表面的極化電荷密度(介質的介電常數為E)34.空心導體球殼內、外半徑分別為外,球中心放置一偶極子/二與4P,球殼上的電量為Q試計算球內外的電位分布和球殼上的電荷分布35. 欲在一半徑為a的球上繞線圈使在球內產生均勻場，問線圈應如何繞（即求繞線密度）？（提示：計算表面電流密度八二4人。）36. 一半徑R的介質球帶有均允極化強度巨。（1）證明：球內的電場強度是均勻P的，等于7;（2）證明：球外的電場與一個位于球心的偶極子氏產生的電場相同，二37. 半徑為a的

10、接地導體球，離球心也）處放置一點電荷q。用分離變量法求電位分布38. 一根密度為外長為2a線電荷沿z軸放置，中心在原點上。證明：對于r>a二（2+三（ccsB）+月（8£句+-.）的點，有2叫r%5r0提示：將線電荷分為線元分應，按點電荷寫出r>z的dQ的球坐標的展開式，再積分39. 一半徑a的細導線圓環，環與xy平面重合，中心在原點上。環上總電荷量為Q。證明：空間任意點電位為r<ar>a電=占口口?（儂6）+/二）?（8S6）+47rse02a8a一U-；（2尸舄（3+1（3無（儂6）+t1jTEfi/roV40. 一點電荷q與無限大導體平面距離為d,如果把

11、它移到無窮遠處，需要做多少功？41. 一電荷量為q質量為m的小帶電體，放置在無限大導體平面下方，與平面距離h。求q的值以使帶電體上受到的靜電力與重力相平衡（設鶴=2x10.炮，30.02m）。42. (1)證明：一個點電荷q和一個帶有電荷量Q半徑為R的導體球之間的力是rd,4go0'(鳥嚇一D.,式中D是q到球心的距離。(2)證明：QRD3R<_當q與Q同號，且0(以一君。成立時F表現為吸引力。43 .兩點電荷(+Q)和(-Q)位于一個半徑為a的導電求直徑的延長線上，分別距球心D和(-D)。2/Q(1)證明：鏡像電荷構成一偶極子，位于球心，偶極距為D2；0_(2)令D和Q分別趨于

12、無窮，同時保持Q不變，計算球外的電場。44 .一與地面平行架設的圓界面導線，半徑為a,懸掛高度為h0證明：導線與備一rarcosh(-)地間的單位長度上的電容為/。45 .上題中設導線與地間電壓為U。證明：地對導線單位長度的作用力為日_兀刎°。_rnarcoshf-)3-嚴K=-(-C.U2)La。提示：利用虛位移法a力泌2046 .一個二維靜電場，電位函數為3(彳，力，邊界條件為上100V下50V左0V右100V,將正方形場域分成20個正方形網格。有16個內部網格點。假定16個網格點的初始值都定為零，試用超松弛法確定16個內網格點的電位值。(本題最好在計算機上求解)47 .電荷均勻

13、分布于兩平行的圓柱面間的區域中，密度為p,兩圓柱半徑分別為a和b,軸線相距c,且a+c<b,如圖所示，求空間各區域的電位移和電場強度。48 .半徑為a的球中充滿密度p(r)的體電荷，已知電位移分布為(3+r-a小+2、r-aZ其中A為常數，試求電荷密度p(r)。49 .驗證下列標量函數在它們各自坐標中滿足2小=0求：(1)sin(kx)sin(ly)exp(-hz)其中h2=k2+l2；(2) rncos(n(|)+Asin(n(|)圓柱坐標；(3) rncos(n(|)圓柱坐標；(4) rcos小球坐球；(5) r2cos小球坐球。50.已知y>0的空間中沒有電荷，下列幾個函數中

14、哪些可能是電位函數解?(1) expycoshx；(2) exp(-y)cosx；(3)時(一揚)加"口巴(4)sinxsinysinz51 .中心位于原點，邊長為l的電介質立方體極化強度矢量求：(1)計算面和體束縛電荷密度；(2)證明總的束縛電荷為零。52 .平行板電容器的長、寬為a和b,板間距離為do電容器的一半厚度(0d/2)用介電常數為&的電介質填充。(1)板上外加電壓U0,求板上的自由電荷面密度、束縛電荷；(2)若已知極板上的自由電荷總量Q,求此時極問電壓和束縛電荷;(3)求電容器的電容量。53 .在介電常數e的無限大均勻介質中，開有如下的空腔，求各個空腔中的E和D

15、;(1)平行于E的針形開腔;(2)底面垂直于E的薄盤形空腔;54.考慮一電導率不為零的電介質(8),設其介質特性和導電特性都是不均勻的。證明當介質中有恒定電流J時，體積內將出現自由電荷，體密度為。試問有沒有束縛體電荷pp?若有則進一步求出pp55 .兩層介質的同軸電纜，介質分界面為同軸的圓柱面，內導體半徑為a；分界面半徑為b,外導體內半徑為C；兩層介質的介電數為e1和e2,漏電導為T1和丫2。當外加電壓U0時，計算介質中的電場強度，分界面上的自由電荷密度，及單位長度的電容及漏電導。56 .半徑為R1和R2(R1<R2=的兩個同心球面之間充滿了電導率為r=r1(的材料(K為常數)，試求兩理

16、想導體球面間的電阻。57 .在一塊厚為d的導體材料板上，由兩個半徑為ri和r2的圓弧和夾角為a的兩半徑割出的一塊扇形體，如圖所示。(導體材料的電導率為Y)求：(1)沿厚度方向的電阻；(2)兩圓弧面間的電阻；(3)a方向的電阻。注意：外加電壓時電極的面積與相應電阻的截面相同，電極為理想導體。58 .證明：同軸線單位長度的靜電儲能W*于q12/2Cq1為單位長度上的電59 .平行板電容器電容量80,其中S是板的面積，d為間距，忽略邊緣效應。(1)如果把一塊厚度為Ad的不帶電金屬插入兩級板之間，但不與兩極接觸，則在原電容器電壓一定的條件下，電容器能量如何變化？電容如何變化？(2)如果在電荷一定的條件

17、下，將一塊電介質片插入電容器(與電容器極板面積垂直地插入)，則電容器能量如何變化？電容量又如何變化？60 .一半徑為a的薄球殼內表面涂覆了一薄層絕緣膜，球內充滿了總電荷量為Q設球內介質為的體電荷，球殼上又另充有電量Q,已知內部的電場為真空。計算：(1)球內的電荷分布；(2)球外表面的面電荷分布。61 .兩個無限長的同軸圓柱半徑分別為r=a和r=b(b>a)的同軸圓柱表面分別帶有面電荷(T1和(T2。(1)計算各處的電位移D0,(2)欲使r>b區域內D0=Q則61和62應具有什么關系？62 .長度為L的線荷帶有均勻電荷密度pL0,(1)計算線電荷平分面上的電位函數4;(2)利用直接積

18、分法計算平分面上的E,并用一皿核對。5.K尸=居一63 .一半徑為R的介質球內極化強度,r，其中K是一常數。(1)計算束縛電荷的體密度和面密度；(2)計算自由電荷密度；(3)計算球內、外的電位分布。64 .兩電介質的分界面為z=0平面。已知£r1=2和£r2=3,如果已知區域1中f的£二42>一52工+7。+7)我們能求出區域2中哪些地方的E2和D2?能求出2中任意點的E2和D2嗎？65 .電場中有一半徑a的介質球，已知球內、外的電位函數分別為：隊=一綜rcos6+g+2品Bnrcos3驗證球表面的邊界條件，并計算球表面的極化電荷密度66 .一個有兩層介質（

19、£1,£2）的平行板電容器，兩種介質的電導率分別為丫1和丫2,在外加電壓U時，求通過電容器的電流和充電時聚集在兩層介質分界面上的自由電荷密度。電容器的結構如圖所示。67 .在面積為S的平行板電容器中填充介電常數作線形變化的介質，從一極板（y=0）處的£1一直變化到另一極板（y=d）處的£2,求電容量。68 .有一半經a,帶電量q的導體球，其球心位于兩種介質的分界面上，此兩種介質的介電常數分別為e1和e2,分界面可是為無限大平面。求（1）球的電容；（2）總靜電能。69 .兩平行的金屬板，板間距離為d,豎直地插在介電常數為e的液體中，板間布甫、如一而#

20、87;、»聿+加電壓U,證明披面開圖為：幽g加為減體的密度，g為重力加速度。70 .可變空氣電容量，當動片由0°至180°旋轉時，電容量由25至350pF直線地變化，當動片為8角時，求作用于動片的力矩，設在動片與定片間電壓為400V。71 .如圖所示，一個半徑為a的半圓環上均勻分布線電荷，其電荷線密度為pL。arVPl求垂直于圓環平面的軸線上的電位(|)(z)和電場強度E(z)。72 .兩個半徑均為a的導體球，球心相距為d,且d：»a。設兩球分別帶電荷q1和q2,計算此導體系統的靜電能量；若用細導線將兩個導體球連接起來，靜電能量有什么變化？73 .設原子

21、核是一個帶正電的點電荷，其電荷量為q,周圍均勻分布有帶負電荷的球形電子云。電子云半徑為r0,總電荷量為-q。試求原子模型的結合能。74 .把一帶電量為q,半徑為a的導體球切成兩半，求兩半球之間的電場力。75 .將介電常數為e,內外半徑分別為a和b的介質球殼從無限遠處移至真空中的點電荷Q的電場中，并設點電荷Q位于球心處。求此過程中電場力所做的功。76 .填充有兩層介質的同軸電纜，內導體半徑為a,外導體內半徑為c,介質分界面的半徑為bo兩層介質的介電常數分別為e1和e2,電導率分別為丫1和丫2。設內導體的電位為U0,外導體接地。求：(1)兩導體之間的電流密度和電場強度分布；(2)介質分界面上的自由

22、電荷密度；(3)同軸線單位長度的電容及漏電阻。77 .電導率為T的無界均勻漏電電介質內有兩個半徑分別為R1和R2的理想導體小球，兩球之間的距離為d(d>>R1,d>>R2),試求兩小導體球面間的阻。(只求一級近似解)78 .一半徑為b的球體內充滿密度為p=b2r2的電荷，試用直接積分法計算球內外的電位和場強。79 .已知同軸線的內導體半徑為a,電位為V,外導體接地，其內半徑為bo試求內外導體之間的電位分布函數以及電場強度。80 .兩個相互平行的半無限大接地導體平面，間距為d,具有限端被電位為中0的導電平面封閉，且與無限大接地導體平面絕緣，如圖所示。試求三個導體平面形成的

23、槽中電位分布。81 .設一根無限長、半徑為a的導體圓柱放入無限大的均勻靜電場中，電場強度方向垂直于導體圓柱，如圖所示。試求導體圓柱外的電場強度82 .設半徑為a,介電常數為s的介質球放在無限大的真空中，受到其內均勻電場E0的作用，如圖所示。試求介質球內的電場強度。83 .設半徑為a,介電常數為名的介質球放在無限大的真空中，受到其內均勻電場E0的作用，如圖所示。試求介質球內的電場強度。P1,求垂直于圓平面的軸線-2q位于（a,0,0）處，求電位84 .兩點電荷qi=8C,位于x軸上x=4處，qi=-4C,位于y軸上y=4處,求z軸上點（0，0,4）處的電場強度。85 .一個半徑為a的半圓上均勻分

24、布著線電荷密度為上z=a處的電場強度。86 .一個點電荷+q位于（-a，0,0）處，另一個點電荷等于零的面；空間中有電場強度等于零的點嗎?87 .真空中一個球心在原點的半徑為a的球面，在點（0,0，a灰口（0Qa）處分別放置點電荷+q和一q,試計算球赤道圓平面上電通密度的通量。88 .試求半徑為a,帶電量為Q的均勻帶電球體的電場。89 .兩無限長的同軸圓柱導體，半徑分別為a和b（a<b）,內外導體間為空氣,如題圖所示。設同軸圓柱導體內、外導體上的電荷均勻分布，其電荷密度分別為%和P5,求空間各處的電場強度；兩導體間的電壓;"".一一.一要使rAb區域內電場強度等于零，

25、則和S2應滿足什么關系？90 .半徑分別為a和b（ab）,球心距離為c（c<a-b）的兩球面間均勻分布有體密度為氣的電荷，如題圖所示。求空間各區域的電通量密度。91 .長度為21的線電荷，電荷的線密度為匕，求（1）空間任一點的電位函數（2）求線電荷平分面上的電位函數。92 .一半徑為2的薄導體球殼，在其內表面涂覆了一層薄的絕緣膜，球內充滿總電量為Q的電荷，球殼上又另充了電量為Q的電荷，已知內部的電場為E=ar'aJ,計算球內電荷分布；球的外表面的電荷分布；球殼的電位；球心的電位。93 .電場中有一半徑為a的圓柱體，已知圓柱內、外的電位為=0,r_a、/a2、小4=Ar-!cosQ

26、r之a.<rJ求(1)圓柱體內、外的電場強度；(2)這個圓柱是由什么材料制成的？表面有電荷嗎？試求之;94.二-E0rcos二3.aE0COSU電場中一半徑為a的介質球，已知球內、外的電位函數分別為此介質球表面的邊界條件如何？計算球表面的電荷密度。95 .設z=0為兩電介質的分界面，在z>0的區域i中充滿相對介電常數為8r1=2的介質，而在z<0的區域2中充滿相對介電常數為空2=3的介質。已知區域1中的電通量密度為Dl=ax2yTy2x+az(2+z)我們能求出區域2中哪些地方的E2ftD2?能求出2中任意點處的E2和D2嗎？d件x/d4=4d0-1196 .兩無限大平行板電

27、極，距離為d,電位分別為。和U。，板間充滿電荷密度為*oX/d,如題圖所示。求極板間的電位分布和極板上的電荷密度。97 .無限大空氣平行板電容器的電容量為C。，將相對介電常數為片=4的一塊平板平行地插入兩極板之間，如題圖所示。(1)若保持電荷一定的條件下，使該電容器的電容值升為原值的2倍，問所插入板的厚度必與電容器兩板之間距離d的比值為多少？H_2.d1d(2)若插入板的厚度3,保持電容器電壓不變的條件下，電容器的電容量將變為多少？98.同軸電容器內導體半徑為a,外導體內直徑為b,在a<r<b'部分填充介電常數為名的電介質，求：單位長度的電容；若a=5mm、b=10mm、b

28、'=8mm,內外導體間所加電壓為10000V,介質的相對介電常數為斗=5,空氣的擊穿場強為3NV/m,介質的擊穿場強為ZOdV/m,問電介質是否會被擊穿？99.在介電常數為名的無限大均勻介質中，開有6勺如下空腔：平行于E的針形空腔；底面垂直于E的氣鼻薄盤形空腔；0J求各空腔中的E和D100.一個有兩層介質（2）的平行板電容器，兩種介質的電導率分別為小和電容器極板的面積為S,如題圖所示。在外加電壓為U時，求：電容器的電場強度；兩種介質分界面上表面的自由電荷密度；電容器的漏電導；當滿足參數5電=仃2的時，問G/C=?（C為電容器電容）。101 .半球形電極位置靠近一直而深的陡壁，如題圖所示

29、。若a=0.3m,h=10m,土壤的電導率2仃=10S/m,求接地電阻。102 .已知在所研究的區域沒有電荷，問下列標量函數中哪些可能是電位函數的解？（1）rcos（n中）圓柱坐標系(2) cos平球坐標系(3) expJJ'ysinx8sx直角坐標系103.半徑為RDR2（R<R2）的兩個同心球面之間充滿了電導率為(J''1+K）I,試求兩理想導體球面間的電阻r1的材料（K為常數）104.設一點電荷q與無限大接地導體平面的距離為d,如題圖所示。求：空間的電位分布和電場強度；導體平面上的感應電荷密度；點電荷q所受的力。105,兩無限大導體平板成6°二角放

30、置，在其內部x=1、y=1處有一點電荷q,如題圖所示。求：所有鏡像電荷的位置和大小；x=2、y=1處的電位。106. 一個沿z軸很長且中空的金屬管，其橫截面為矩形，管子的三邊保持零電位，而第四邊的電位為U,如題圖所示。當U=u°時，求管內的電位分布;=U°siniy1b人再求管內的電位分布107. 一沿*y軸方向無限長的導體槽，底面保持電位為U。，其余兩面的電位為零，求槽內的電位函數。108. 兩平行的距離為b的無限大導體平面，其間有一沿x方向無限長的極薄的導體片由丫=到丫=外如題圖所示。上板和薄片保持電位為U0,下板保持零電位，求板間的電位分布。設在薄片平面上，從到y=d

31、,電位線性變化,Uo109. 同軸圓柱電容器的內導體半徑為a,外導體半徑為b,兩導體間區域0<9中0中填充介電常數為名的電介質，其余部分為空氣，如題圖所示，求單位長度的電容。110. 一同軸線的內導體半徑為a,外導體半徑為b,電纜內充滿擊穿強度一定的均勻電介質。在b一定的條件下，改變a時電纜的耐壓也會改變。試求電纜兩4.導體間可忍受最大電壓時的a值。若電介質的擊穿場強為Emax=510V/mm的聚乙烯，6=8.16cm,則a=?時耐壓最大？求電纜所承受的最大電壓。111 .同心導體球形電容器內球半徑為a,外球半徑為b,厚度可以忽略。內、外球之間的下半部分填充介電常數為£的電介質，內球帶電荷Q如題圖所示。試求：(1)空間的場強分場;(2)空間的電位分布;(3)電容