1、1定積分在物理學中的應用定積分在物理學中的應用 前面我們已經介紹了定積分在幾何方前面我們已經介紹了定積分在幾何方面的應用，我們看到，在利用定積分解決幾面的應用，我們看到，在利用定積分解決幾何上諸如平面圖形的面積、旋轉體的體積等何上諸如平面圖形的面積、旋轉體的體積等問題時，關鍵在于寫出所求量的微元問題時，關鍵在于寫出所求量的微元 定積分在物理方面的應用的關鍵也是定積分在物理方面的應用的關鍵也是如此，希望大家注意如何寫出所求量的微元如此，希望大家注意如何寫出所求量的微元微功、微壓力、微引力等微功、微壓力、微引力等2 由物理學知道，如果一個物體在由物理學知道，如果一個物體在常力常力F作用下，使得物體

2、沿力的方向作直線運動作用下，使得物體沿力的方向作直線運動 ，物體有位移物體有位移 s 時，力時，力F對物體所作的功為：對物體所作的功為：W=F*s 這個公式只有在力這個公式只有在力F是是不變不變的情況下才的情況下才適用，但在實際問題中，物體在運動過程中適用，但在實際問題中，物體在運動過程中所受到的力是變化的。下面我們來說明如何所受到的力是變化的。下面我們來說明如何利用微元法來求變力所作的功。利用微元法來求變力所作的功。一、變力沿直線作功一、變力沿直線作功3我們仍采用微元法，所求功 對區間 具有可加性。設變力 是連續變化的，分割區間 ，任取一小區間 由 的連續性，物體在 這一小段路徑上移動時，

3、的變化很小，可近似看作 是不變的，則變力 在小段路徑 上所做的功可近似看作恒力做功問題，于是得功的微元為將微元從 到 求定積分，得整個區間所做的功W,ba)(xF,ba,dxxx)(xFdx)(xF)(xF)(xFdxdxxFdW)(abbadxxFW)(4【例【例1010】將彈簧一端固定，另一端連一個小球，放在光滑面上，點 為小球的平衡位置。若將小球從點 拉到點 ，求克服彈性力所做的功。解解 如圖所示，建立數軸 ，由物理學知道，彈性力的大小和彈簧伸長或壓縮的長度 成正比，方向指向平衡位置 ，即： OO)(sOMMoxxOkxFxOM其中k是比例常數，負號表示小球運動 方向與彈性力F方向相反。

4、若把小球從點 拉到點 克服彈性力F，所用外力的大小與F相等，但方向相反， 即： ，它隨小球位置 的變化而變化。在 的變化區間0，S上任取一小區間 ，則力 所做功的微元 于是功)0(xO)(sOMMfkxf xx,dxxxfkxdxdW skxdxW022sk5【例【例1111】某空氣壓縮機，其活塞的面積為S，在等溫壓縮過程中，活塞由 壓縮到 處，求壓縮機在這段壓縮過程中所消耗的功？解解 如圖所示建立數軸 ，由物理學知 1x2xoxxOx2 x1道，一定量的氣體在等溫條件下，壓強 與體積 的乘積為常數 ，即由已知，體積 是活塞面積S與任一點位置 的乘積，即 因此 于是氣體作用于活塞上的力活塞所用

5、力則力 所做功的微元pVkkpV VxSxV SxkVkpxkSSxkpSFxkFffdxxkdW6于是所求功21xxdxxkW12lnxxxk21lnxxk二、液體壓力二、液體壓力現有一面積為S的平板，水平置于比重為 ，深度為 的液體中，則平板一側所受的壓力值： F = 壓強面積如若將平板垂直于該液體中，對應不同的液體深度，壓強值也不同，那么，平板所受壓力應如何求解呢？hPS)(處的壓強值為水深hShOaxx+dxby=f(x)xy如圖所示建立直角坐標系，設平板邊緣曲線方程為則 )(),(bxaxfy所求壓力F對區間 具有可加性，現用微元法來求解。,ba7在 上任取一小區間 ，其對應的小橫條

6、上各點液面深度均近似看成 ，且液體對它的壓力近似看成長為 、寬為 的小矩形所受的壓力，即壓力的微元為 于是所求壓力,ba,dxxxx)(xfdxdxxfxdF)(dxxfx)(badxxfxF)(8OX+dx2m1mxx【例【例1212】 有一底面半徑為1米，高為2米的圓柱形貯水桶，里面盛滿水。求水對桶壁的壓力。解解 如圖如圖所示建立直角坐標系,則積分變量的變化區間為0，2在其上任取一小區間 ，高為 的小圓柱面所受壓力值的近似值，即壓力的微元為于是所求壓力,dxxxdx面積壓強dFdxx12xdx2202xdxF將 牛頓/米3代入得 牛頓20222x43108 . 9431092. 3108

7、. 94F9【例【例1313】 有一半徑 米的圓形溢水洞，試求水位為3米時作用在閘板上的壓力？ 解解 如果水位為3米，如圖所示，3RxOx+dxxyy= R2-x2 建立直角坐標系，積分變量 的變化區間為 ，在其中任取一小區間 ，所對應的小窄條上所受壓力的近似值，即壓力微元x, 0R,dxxx面積壓強dFydxx2dxxRx222dxxRx222dxxRxFR2202)(21222220 xRdxRRRxR0232232332R將米代入得米牛頓3,/108 . 933R牛頓510764. 1F10解解取取 ox 軸豎直向上軸豎直向上xoRR+H地球半徑設為地球半徑設為R 質量為質量為M，由萬有

8、引力定律，由萬有引力定律，即即 x =R 時時火箭所受的引力就是火箭的重力火箭所受的引力就是火箭的重力mg 2xmMkf 火箭所受地球的引力火箭所受地球的引力隨火箭發射的高度隨火箭發射的高度 x 而變化而變化當火箭在地面上當火箭在地面上22,gRkMmgRmMk 代入上式代入上式221xmgRf 為了發射火箭，必須克服地球引力，為了發射火箭，必須克服地球引力， 克服地球引力的外力克服地球引力的外力F與與 f 大小相等大小相等 11221)(xmgRxF 下面用微元法來求變力所作的功。下面用微元法來求變力所作的功。 ,HRRx dxxmgRdxxFdW221)( dxxmgRWHRRH 221)

9、11(2HRRmgR 取取 x 為積分變量為積分變量mgRHRRmgRwwHHH )11(2limlim H所須作的功所須作的功 為了使火箭脫離地球引力范圍，也為了使火箭脫離地球引力范圍，也 就是說要把火箭發射到無窮遠處就是說要把火箭發射到無窮遠處120v則動能為則動能為2021mv因此要使火箭脫離地球引力范圍，須有因此要使火箭脫離地球引力范圍，須有mgRmv 2021gRv20 kmRskmg6371,108 . 923 代入上式得代入上式得skmv2 .110 第二宇宙速度第二宇宙速度 這功是由火箭上的動能轉化而來，若火箭這功是由火箭上的動能轉化而來，若火箭離開地面時的初速度為離開地面時的

10、初速度為 13 半徑為半徑為R，高為，高為H 的圓柱形貯水桶，盛滿了水，的圓柱形貯水桶，盛滿了水，問將水桶中的水全部吸出須作多少功？問將水桶中的水全部吸出須作多少功？解解 這個問題雖然不是變力作功問題，但是由于吸這個問題雖然不是變力作功問題，但是由于吸出同樣重量不同深度的水時所作的功是不同的，所出同樣重量不同深度的水時所作的功是不同的，所以也要用定積分來計算。可以理解水是一層一層地以也要用定積分來計算。可以理解水是一層一層地被吸到桶口的被吸到桶口的在區間在區間 y ,y + dy 上對應一小薄柱體上對應一小薄柱體該水柱重為該水柱重為 dyR2 將這一小水柱提到桶口所經過的距離將這一小水柱提到桶

11、口所經過的距離yH 例例314dyyHRdw)(2 22022)(HRdyyHRwH 將以上幾例的解法一般化將以上幾例的解法一般化 可得可得若一物體在變力若一物體在變力 F ( x ) 的作用下，沿的作用下，沿力的方向（力的方向（ox 軸）作直線運動，當物體由軸）作直線運動，當物體由 x = a 移到移到 x = b 時，變力時，變力 F ( x ) badxxFw)(對物體所作的功為對物體所作的功為15 由物理學知道，一水平放置在液體中的薄板，由物理學知道，一水平放置在液體中的薄板，其面積為其面積為A，距液面的深度為，距液面的深度為 h ，則該薄板的一，則該薄板的一側所受的壓力側所受的壓力P

12、等于液體的壓強等于液體的壓強 p 與受力面積的與受力面積的乘積，而壓強等于深度與比重的乘積，于是乘積，而壓強等于深度與比重的乘積，于是hApAP 但在實際問題中，往往需要計算與液面垂直但在實際問題中，往往需要計算與液面垂直放置的薄板一側的所受的壓力，由于薄板在不同深放置的薄板一側的所受的壓力，由于薄板在不同深度處壓強不同，因而不能直接應用上述公式進行計度處壓強不同，因而不能直接應用上述公式進行計算，需要采用微元法，利用定積分來計算。算，需要采用微元法，利用定積分來計算。例例4 設半徑為設半徑為R的圓形水閘門，水面與閘頂平齊，的圓形水閘門，水面與閘頂平齊，求閘門一側所受的壓力。求閘門一側所受的壓

13、力。 二、液體的側壓力二、液體的側壓力16取坐標系如圖取坐標系如圖oxyy+dy2Ry ,dyyy2 , 0RxdyydP2 dyRyRyPR 2022)( dttRRtRytRR 22)(2)( 令dttRdttRtRRRR 222222 奇函數奇函數 偶函數偶函數dttRR 0224 3R 四分之一圓面積四分之一圓面積x解解17 邊長為邊長為 a , b 的矩形薄板，與液面成的矩形薄板，與液面成 角角斜沉于液體中，長邊平行于液面而位于深斜沉于液體中，長邊平行于液面而位于深 h 處處，設，設 a b 液體的比重為液體的比重為 ，求板的一側，求板的一側所受的壓力。所受的壓力。 解解如圖建立坐標

14、系如圖建立坐標系 sin,sin00hxxh 坐標為坐標為 x 處液體的深度為處液體的深度為 sinxadxxdF sin0 xxx+dxbx 0ab例例518 bxxxdxaF00sin )(sin212020 xbxa )sin2(21 bhab 得液體的側壓力的計算公式得液體的側壓力的計算公式 badxxgxfxP)()( oxyabx)(xfy )(xgy 將以上幾例的解法一般化將以上幾例的解法一般化19由萬有引力定律：兩個質量分別為由萬有引力定律：兩個質量分別為 21,mm相距為相距為 r 的質點間的引力的質點間的引力221rmmkF 若要計算一細長桿對一質點的引力，此時由若要計算一

15、細長桿對一質點的引力，此時由于細桿上各點與質點的距離是變化的，所以不于細桿上各點與質點的距離是變化的，所以不能直接利用上述公式計算。能直接利用上述公式計算。例例6 設有一長為設有一長為 l 質量為質量為 M 的均勻細桿，另的均勻細桿，另有一質量為有一質量為 m 的質點和桿在一條直線上，它的質點和桿在一條直線上，它到桿的近端距離為到桿的近端距離為 a ，求細桿對質點的引力。，求細桿對質點的引力。三、引力三、引力20取取 x 為積分變量為積分變量, 0,ldxxx 該小段細桿的質量為該小段細桿的質量為 dxlMdxaxlMmkdF2)( dxaxlmMkFl 02)(1)(alakmM 若把問題改

16、為求細桿對位于它的一端垂線上距若把問題改為求細桿對位于它的一端垂線上距桿桿 a 處的質量為處的質量為 m 質點的引力。質點的引力。 21解解 取坐標系如圖取坐標系如圖0lmaxdxx 取取 x 為積分變量為積分變量, 0,ldxxx 該小段細桿的質量為該小段細桿的質量為 dxlMdxaxlMmkdF2)( dxaxlmMkFl 02)(1)(alakmM 若把問題改為求細桿對位于它的一端垂線上距若把問題改為求細桿對位于它的一端垂線上距桿桿 a 處的質量為處的質量為 m 質點的引力。質點的引力。 22解解如圖建立坐標系如圖建立坐標系2F1F, 0,ldxxx dxaxlmMkdF)(22 dxa

17、xxaxlmMkdFx2222)()( dxaxaaxlmMkdFy2222)()( )(2222023221alalaalkmMdxaxxlmMkFl 22023222)(1laakmMdxaxlkmMaFl 23 尤其是如何在具體問題中取尤其是如何在具體問題中取“微元微元”微微功、微壓力、微引力等。這對于從形式到內容功、微壓力、微引力等。這對于從形式到內容真正地把握公式是非常必要的，相反如果僅滿真正地把握公式是非常必要的，相反如果僅滿足于套用公式解決一些簡單問題而不求甚解，足于套用公式解決一些簡單問題而不求甚解，那么遇到一些稍有靈活性的問題，便可能束手那么遇到一些稍有靈活性的問題，便可能束

18、手無策，不知如何下手。無策，不知如何下手。四、平均值和均方根四、平均值和均方根 badxxfaby)(1 badxxfabs)(12 關于定積分在物理方面的應用，除了應熟記關于定積分在物理方面的應用，除了應熟記各個公式的結果外，還須了解其推導過程各個公式的結果外，還須了解其推導過程24關于定積分的應用說明三點：關于定積分的應用說明三點：1。選擇合適的坐標系。選擇合適的坐標系2。善于根據問題的性質和要求構造積。善于根據問題的性質和要求構造積分元素，主要是選擇好參數，并能正分元素，主要是選擇好參數，并能正確地確定出積分限，確地確定出積分限，3。具體計算定積分時，要特別注意和。具體計算定積分時，要特

19、別注意和充分并且慎重應用對稱性及等量關系充分并且慎重應用對稱性及等量關系以簡化定積分的計算，對此，熟悉區以簡化定積分的計算，對此，熟悉區域或曲線的形狀，對于解決問題是十域或曲線的形狀，對于解決問題是十分有益的。分有益的。25利用利用“微元法微元法”思想求變力作功、思想求變力作功、水壓力和引力等物理問題水壓力和引力等物理問題（注意熟悉相關的物理知識）（注意熟悉相關的物理知識）思考題思考題 一球完全浸沒水中，問該球面所受的總一球完全浸沒水中，問該球面所受的總壓力與球浸沒的深度有無關系？它所受的總壓力與球浸沒的深度有無關系？它所受的總壓力與它在水中受到的浮力有何關系？壓力與它在水中受到的浮力有何關系

20、？ 五、小結五、小結26該球面所受的總壓力方向向上（下半球面該球面所受的總壓力方向向上（下半球面所受的壓力大于上半球面），其值為該球所受的壓力大于上半球面），其值為該球排開水的重量，即球的體積，也就是它在排開水的重量，即球的體積，也就是它在水中受到的浮力因此該球面所受的總壓水中受到的浮力因此該球面所受的總壓力與球浸沒的深度無關力與球浸沒的深度無關思考題解答思考題解答27練練 習習 題題一一、 直直徑徑為為20厘厘米米， 高高為為80厘厘米米的的圓圓柱柱體體內內充充滿滿壓壓強強為為310厘厘米米牛牛的的蒸蒸汽汽，設設溫溫度度保保持持不不變變，要要使使蒸蒸汽汽體體積積縮縮小小一一半半，問問需需要要作作多多少少功功？ 二二、 一一物物體體按按規規律律3tcx 作作直直線線運運動動， 媒媒質質的的阻阻力力與與速速度度的的平平方方成成正正比比，計計算算物物體體由由0 x移移至至ax 時時，克克服服媒媒質質阻阻力力所所作作的的功功 . . 三三、 有有一一等等腰腰梯梯形形閘閘門門，它它的的兩兩條條底底邊邊各各長長610米米和和米米，高高為為20米米，較較長長的的底底邊邊與與水水面面相相齊齊. .計計算算閘閘門門的的一一側側所所受受的的水水壓壓力力 . . 28四、四、 半徑為半徑為的的球球沉沉r入水中，球的上部與水面相切，球入水中，球的