1、精選優質文檔-傾情為你奉上 燕山大學課 程 設 計 說 明 書 題目： 雙線性變換法設計數字低通濾波器 學院（系）： 電氣工程學院 年級專業： 檢測 學 號： 學生姓名： 沫沫 指導教師： 王娜 教師職稱： 講師 電氣工程學院課程設計任務書課程名稱： 數字信號處理課程設計 基層教學單位：儀器科學與工程系 指導教師：王娜 學號8學生姓名沫沫（專業）班級 檢測設計題目12、 雙線性變換法設計數字低通濾波器設計技術參數給定技術指標為：，采樣頻率。設計要求設計Butterworth低通濾波器，用雙線性變換法轉換成數字濾波器。(buttord,buttap,butter,bilinear)參考資料數字信

2、號處理方面資料MATLAB方面資料周次前半周后半周應完成內容收集消化資料、學習MATLAB軟件，進行相關參數計算編寫仿真程序、調試指導教師簽字基層教學單位主任簽字說明：1、此表一式四份，系、指導教師、學生各一份，報送院教務科一份。 2、學生那份任務書要求裝訂到課程設計報告前面。 電氣工程學院 教務科目錄 第一章 緒論4 第二章 用雙線性變換法設計低通濾波器的主要原理52.1 雙線性變換法5 2.1.1 雙線性變換法的基本原理5 2.1.2 轉換關系分析62.2 巴特沃斯低通濾波器原理9 第三章 用雙線性變換法設計低通濾波器步驟11 第四章 MATLAB程序11 第五章 程序中命令介紹13 第六

3、章 運行結果及波形14 第七章 結果分析16 第八章 心得體會17 參考文獻18 第一章 緒論數字濾波器是對數字信號實現濾波的線性時不變系統。數字濾波實質上是一種運算過程，實現對信號的運算處理。輸入數字信號（數字序列）通過特定的運算轉變為輸出的數字序列，因此，數字濾波器本質上是一個完成特定運算的數字計算過程，也可以理解為是一臺計算機。描述離散系統輸出與輸入關系的卷積和差分方程只是給數字信號濾波器提供運算規則，使其按照這個規則完成對輸入數據的處理。時域離散系統的頻域特性:,其中、分別是數字濾波器的輸出序列和輸入序列的頻域特性（或稱為頻譜特性）,是數字濾波器的單位取樣響應的頻譜，又稱為數字濾波器的

4、頻域響應。輸入序列的頻譜經過濾波后,因此，只要按照輸入信號頻譜的特點和處理信號的目的， 適當選擇，使得濾波后的滿足設計的要求，這就是數字濾波器的濾波原理。數字濾波器根據其沖激響應函數的時域特性，可分為兩種，即無限長沖激響應(IIR)數字濾波器和有限長沖激響應(FIR)數字濾波器。IIR數字濾波器的特征是，具有無限持續時間沖激響應，需要用遞歸模型來實現，其差分方程為： 系統函數為： 計IIR濾波器的任務就是尋求一個物理上可實現的系統函數H(z)，使其頻率響應H(z)滿足所希望得到的頻域指標，即符合給定的通帶截止頻率、阻帶截止頻率、通帶衰減系數和阻帶衰減系數。 第二章 用雙線性變換法設計低通濾波器

5、的主要原理2.1 雙線性變換法 由于從平面到平面的映射具有多值性，使得設計出來的數字濾波器不可避免的出現頻譜混疊現象。為了克服脈沖響應不變法可能產生的頻譜混疊效應的缺點，我們使用一種新的變換雙線性變換。2.1.1雙線性變換法的基本原理 雙線性變換法可認為是基于對微分方程的積分，利用對積分的數值逼近的思想 。仿真濾波器的傳遞函數為 （2-1）將展開為部份分式的形式，并假設無重復幾點，則 （2-2）那么，對于上述函數所表達的數字信號處理系統來講，其仿真輸入和模擬輸出有如下關系利用差分方程來代替導數，即 （2-3）同時令這樣，便可將上面的微分方程寫為對應的差分方程形式 （2-4）兩邊分別取變換，可得

6、 （2-5）這樣，通過上述過程，就可得到雙線性變換中的基本關系，如下所示 （2-6） （2-7）所謂的雙線性變換，僅是指變換公式中與的關系無論是分子部份還是分母部份都是線性的。2.1.2 轉換關系分析雙線性變換法采用非線性頻率壓縮方法，也就是將整個頻域軸上的頻率范圍壓縮到-/T/T之間，再用z=轉換到z平面上。也就是說，第一步現將整個S平面壓縮映射到S1平面的-/T/T一條橫帶里；第二步再通過標準變換關系將此橫帶變換到整 個z平面上去。這樣就使S平面與Z平面建立了一一對應的單值關系，消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現象，映射關系如圖所示。 S平面 /T s1平面 z平面 0 0 0 1 R

7、ez -/T 圖2.1雙線性變換法的映射情況 為了將S平面的整個虛軸壓縮到軸上的-/T到/T段上，可以通過以上的正切的變換實現 =2/T tan(T/2) （2-8） 式中，T仍是采樣間隔。當由-/T經過0變化到/T時，由-經過0變化到+，也即映射了整個軸。將上式寫成 （2-9）將此關系解析延拓到整個S平面和，令=s, =S1,則得S (2-10)再將S1平面通過以下標準變換關系映射到Z平面：z= （2-11） 從而得到S平面和Z平面的單值映射關系為; (2-12) (2-13)式（2-12）和式（2-13）是S平面與Z平面之間的單值映射關系，這種變換都是兩個線性函數之比，因此成為雙線性變換。

8、 依靠雙線性變換式建立起來s平面和z平面的單值映射關系，由上式我們可以得到模擬頻率和數字頻率之間的關系： （2-14） 從上式可知，當時，終止在折疊頻率=處，整個軸是單值地對應于單位圓的一周。因此雙線性變換法不同于脈沖響應不變法，它不存在頻率混疊問題。 由于S平面的左半平面映射到Z平面的單位圓內，S平面的右半平面映射到Z平面的單位圓外，S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓上。因此，穩定的模擬濾波器經雙線性變換后所得到的數字濾波器也一定是穩定的。但是，它的頻率變換關系是非線性畸變。這種非線性即便可以通過預畸變來校正。用雙線性變換設計數字濾波器時，一般總是先將數字濾波器的各臨界頻率經式（2-14）的頻

9、率預畸變，求得相應參考模擬濾波器的各臨界頻率，然后設計參考模擬濾波器的傳遞函數，最后通過雙線性變換公式求出數字濾波器的傳遞函數。這樣通過雙線性變換，正好將這些頻率點映射到我們所需要的位置上。 圖2.2雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射2.2巴特沃斯低通濾波器的原理巴特沃斯濾波器的特點是同頻帶內的頻率響應曲線最為平坦，沒有起伏，而在組頻帶則逐漸下降為零。在振幅的對數對角頻率的波特圖上，從某一邊界頻率開始，振幅隨著角頻率的增加而逐漸減少，趨向于負無窮大。一階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻6分貝，二階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻12分貝，三階的衰減率為每分貝18分貝，如此類推，巴特沃斯濾波器的

10、振幅對角頻率單調下降，并且濾波器的階數越高，在組頻帶振幅衰減速度越快，其他濾波器高階的振幅對角頻率圖和低階數的振幅對角頻率有不同的形狀。 圖2.3 三階巴特沃斯濾波器極點分布圖上述函數的特點是等距離分布在半徑為的圓上，如下圖所示為三階巴特沃斯濾波器極點分布圖：因此，極點用下式表示為 (2-15) 的表示式： (2-16)為了使設計公式和圖表統一，將頻率歸一化。巴特沃斯濾波器采用3dB截止頻率歸一化，歸一化后的系統函數為 (2-17)令,稱為歸一化頻率，稱為歸一化復變量，這樣巴特沃斯濾波器的歸一化低通原型系統函數為 (2-18)式中，為歸一化極點，用下式表示: (2-19)巴特沃斯濾波器的設計實

11、質上就是根據設計指標求階數N和3 dB截止頻率c的過程。第三章 用雙線性變換法設計低通濾波器步驟設計數字濾波器的具體步驟如下：（1）確定數字低通濾波器的技術指標：通帶截止頻率、通帶最大衰減系數、阻帶截止頻率、阻帶最小衰減系數。（2）將數字低通濾波器的技術指標轉換成模擬低通濾波器的技術指標。采用雙線性變換法，頻率的轉換關系為 （3）根據轉換后的性能指標，確定濾波器最小階數n和固有頻率wn。（4）由最小階數n得到巴特沃斯模擬低通濾波器原型。（5）將模擬濾波器系統函數Ha(S)從s平面轉換到z平面，得到數字低通濾波器系統函數H(z)。H(z)=Ha（S）|第四章 MATLAB程序用雙線性變換法設計數

12、字低通濾波器的MATLAB程序如下：fs=1000;%采樣頻率fp=100;fst=300;wp=2*pi*fp/fs;%數字通帶截止頻率ws=2*pi*fst/fs;%數字阻帶截止頻率Rp=3;%通帶最大衰減系數rRs=20;%阻帶最大衰減系數Fs=fs/fs;Ts=1/Fs;%采樣周期m=256;%采樣點數Wp=2/Ts*tan(wp/2);%模擬通帶截止頻率Ws=2/Ts*tan(ws/2);%模擬阻帶截止頻率N,Wn=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s');%選擇模擬巴特沃斯低通濾波器的最小階數z,p,k=buttap(N);%創建巴特沃斯模擬低通濾波器Bp,

13、Ap=zp2tf(z,p,k);%由零點、極點、增益確定傳輸函數的分子與分母的系數b,a=lp2lp(Bp,Ap,Wn);%模擬低通濾波器到模擬低通濾波器的轉換,歸一化bz,az=bilinear(b,a,Fs*Ts/2);%用雙線性變換法實現模擬低通濾波器到數字低通濾波器的轉換h,w=freqz(bz,az,m,Fs/fs);db=20*log(abs(h)/max(abs(h);figure(1);plot(w,abs(h),'r');title('數字低通濾波器')grid on;xlabel('頻率(rad)');ylabel('

14、幅度')figure(2);subplot(2,1,1);plot(w/pi,db);title('幅頻特性');xlabel('w/pi');ylabel('20lg|Hg(w)|');grid on;subplot(2,1,2);plot(w/pi,angle(h);title('相頻特性');xlabel('w/pi');ylabel('相位');grid on;Nc,wc=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s');%計算濾波器階數和3dB截止頻率bl,al=b

15、utter(Nc,wc,'s');%計算濾波器系統函數分子分母多項式h,f=freqs(bl,al);figure(3)plot(f,abs(h);grid on,xlabel('頻率（HZ）');ylabel('幅度')title('模擬低通濾波器');第五章 程序中命令介紹程序中所用的主要指令如下：1)確定濾波階數函數buttord 格式:N,Wn=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,S) 表示選擇模擬巴特沃斯低通濾波器的最小階數其中：N：滿足指標的最低濾波器階數 Wn:巴特沃斯自然頻率 Rp:通帶最大衰減 Rs:阻帶最小

16、衰減 Wp、Ws歸一化的通帶和阻帶邊緣頻率。2)確定低通模擬濾波器原函數buttap 格式：Z,P,K=buttap(N)其中：N:滿足指標的最低濾波器階數Z:N階歸一化原型巴特沃斯模擬低通濾波器的零點P:N階歸一化原型巴特沃斯模擬低通濾波器的極點K:N階歸一化原型巴特沃斯模擬低通濾波器的增益3)雙線性變換函數billinear 格式：bz,az=bilinear(bs,az,Fs/2)其中:as:模擬濾波器傳遞函數的分母系數 bs:模擬濾波器傳遞函數的分子系數 az: 數字濾波器傳遞函數的分母系數 bz: 數字濾波器傳遞函數的分子系數4)零點、極點、增益模型轉換為傳遞函數模型zp2tf 格式

17、：Bp,Ap=zp2tf(z,p,k)其中：Bp: 模擬濾波器傳遞函數的分子系數Ap: 模擬濾波器傳遞函數的分母系數5)模擬低通濾波器到數字低通濾波器的轉換lp2lp 格式：b,a=lp2lp(Bp,Ap,Wn)其中：b: 模擬濾波器傳遞函數的分子系數 a: 模擬濾波器傳遞函數的分母系數6)數字濾波器的頻率響應freqz 格式：h,w=freqz(bz,az,m)其中：w: m點頻率 H: m點頻率響應 m：采樣點 第六章 運行結果及波形顯示的圖像如下：第七章 結果分析本次設計的數字低通濾波器采用巴特沃茲濾波器使用雙線性變換法，避免出現頻譜混疊現象。一、根據要求的數據按照設計步驟計算：（1）

18、確定數字濾波器技術指標：，采樣頻率。 以采樣頻率為標準進行歸一化：p=2fp/Fs=0.628，s=2fs/Fs=1.885，Fs=1，T=1。（2）將數字濾波器技術指標轉換成模擬濾波器的技術指標：p=2tan0.1=0.650，s=2tan0.3=2.753（3） 根據模擬濾波器技術指標求階數N:經計算N=1.5，取N=2. 計算3dB截止頻率c=0.8727二、仿真結果中模擬和數字濾波器幅頻響應符合設計要求即給定技術指標：通帶截止頻阻帶截止頻率通帶衰減阻帶衰減。所仿真結果中數據有N=2,Wn=0.8727，與計算結果一致。仿真圖中符合衰減效果。由此可得所設計的程序符合所設計的技術和參數要求。第八章 心得體會為期一周的數字信號課程設計在不知不覺中結束了，由于這個星期有很多的考試，因此真正課設的時間就變得很少。但是通過本次課程設計，我還是有了很多的收獲。我對數字信號處理