1、課題：實數與向雖的積(一)教學目標：1. 掌握實數與向量積的定義，理解實數與向量積的幾何意義；2. 掌握實數與向量的積的運算律；理解兩個向量共線的充要條件，能夠運用共線條件判定兩向量是否平行教學重點：掌握實數與向量的積的定義、運算律、理解向量共線的充要條件教學難點：對向量共線的充要條件的理解授課類型：新授課課時安排：1課時教具：多媒體、實物投影儀教學過程：、復習引入:1. 向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量，有二個要素：大小、方向.2. 向量的表示方法：用有向線段表示；用字母a、b等表示；零向量、單位向量概念：長度為0的向量叫零向量，長度為1個單位長度的向量，叫單位向量.平行向量定義：方向

2、相同或相反的非零向量叫平行向量；我們規定0與任一向量平行.向量a、b、c平行，記作a/b/c.3. 相等向量定義：長度相等且方向相同的向量叫相等向量.4. 共線向量與平行向量關系：平行向量就是共線向量.5. 向量的加法：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法則和平行四邊形法則。6. 向量加法的交換律：+=+7. 向量加法的結合律：(+)+=+(+)8. 向量的減法向量a加上的b相反向量，叫做a與b的差。即：ab=a+(b)差向量的意義：=a,OB=b,貝UBA=aa的終點的向量。)+()即ab可以表示為從向量b的終點指向向量二、講解新課：示例：已知非零向量，作出+和()+(OC

3、=OAABBC=+=3PN=PQQMMN=()+()+()=1. (1)3與方向相同且|3|=3|;(2)3與方向相反且|3|=3|實數與向量的積：實數入與向量的積是一個向量，記作：入（DI入l=l入III（2）入0時入與方向相同；入0時入與方向相反；入=0時入=運算定律結合律：入（片（入第一分配律：（入+（1手入+虐第二分配律：入（+）=入+入結合律證明：如果入=0,|F0,=至少有一個成立，則式成立如果入o,uo,有：|入（）|=|入IIHT入II切II1（入訓=1入UIIT入II沖II入（。1=1（入m-D如果入、p同號，貝U式兩端向量的方向都與同向；如果入、p異號，則式兩端向量的方向都

4、與反向。從而入（）=（入I）第一分配律證明：如果入=0,呻0,=至少有一個成立，則式顯然成立如果入0,0,當入、（1同號時，貝U入和H同向，.1（入+訓=|入4-411=（1入|+|4）11I入+悶入1+14=1入III+I訕1=（1入|+|聊.入、同號兩邊向量方向都與同向即|（入+。|戶|入+M當入、（1異號，當入H時兩邊向量的方向都與入同向；當X時兩邊向量的方向都與同向，且1（入+（!|）=|入+叫.,式成立第二分配律證明：如果=,=中至少有一個成立，或X=0,入=1則式顯然成立當，且入0,入1時（1）當入0且入1時在平面內任取一點O,作OA=AB=OA1=入AB1=X則OB=+OBi=入

5、+入由作法知，AB/A1B1有OAB=OAiBi|AB|=入|A1B1|OA1|A1B1|=入.oabsOAiBi|OA|AB|A?|竺|=入AOB=AiOBi2. 因此，O,B,Bi在同一直線上，|O昌|=|入OB|OBi與入OB方向也相同入（+）=入+入當入0時可類似證明：入（+）=入+入.式成立向量共線的充要條件若有向量（）、，實數入，使=入，則與為共線向量。若與共線（）且|：|=j則當與同向時=區當與反向時=卬從而得向量共線定理向量與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個非零實數入，使=入。三、講解范例：例i若3m+2n=a,m3n=b，其中a,b是已知向量，求m,n.分析：此題可把已

6、知條件看作向量m、n的方程，通過方程組的求解獲得m、n.解：記3m+2n=am3n=bi 3X得3m9n=3b3-一礙iin=a3b.-n=abii32將代入有：m=b+3n=abiiii評述：在此題求解過程中，利用了實數與向量的積以及它所滿足的交換律、結合律，從而解向量的二元一次方程組的方法與解實數的二元一次方程組的方法一致.例2凸四邊形ABC啪邊ADBC的中點分別為E、F,求證EF=】（AB+DC）.2解法一：構造三角形，使EF作為三角形中位線，借助于三角形中位線定理解決過點C在平面內作CG=AB,貝U四邊形ABG虛平行四邊形，故F為AG中點.£是左ADG勺中位線，.EF=1DG

7、,.EF=1DG.2 2而DG=DC+CG=DC+AB,EF=1(AB+DC).2解法二：創造相同起點，以建立向量間關系如圖，連EBEC,則有=+AB,EC=ED+DC,又E是AD之中點，.有+ED=0.即有+EC=AB+DC;以與EC為鄰邊作平行四邊形EBGC則由F是BC之中點，可得F也是EG之中點.EF=EG=(+EC)=(AB+DC)222四、課堂練習：1. 錯例分析判斷向量a=2e與b=2e是否共線?對此題，有同學解答如下：解：a=2e,b=2e,-b=a,，.a與b共線.分析：乍看上述解答，真是簡單明快.然而，仔細研究題目已知，卻發現其解答存有問題，這是因為，原題已知中對向量e并無任

8、何限制，那么就應允許e=0,而當e=0時，顯然a=0,b=0,此時，a不符合定理中的條件，且使b=入a成立的入值也不惟一(如入=1,入=1,入=2等均可使b=入a成立)，故不能應用定理來判斷它們是否共線.可見，對e=0的情況應另法判斷才妥.綜上分析，此題應解答如下：解：(1)當e=0時，貝Ua=2e=0由于“零向量與任一向量平行”且“平行向量也是共線向量”，所以，此時a與b共線.(2)當e乒0時，貝Ua=2e乒0,b=2e乒0b=a(這時滿足定理中的a乒0,及有且只有一個實數入(入=一1),使得b=入a成立)-a與b共線.綜合、(2)可知，a與b共線.2. 用向量法解決幾何問題向量是數學中重要

9、概念之一，是解決數學問題的得力工具，它簡潔明快,許多幾何里的命題，如果用向量知識來解決就顯得格外簡練1如圖，MN是ABC的中位線，求證：M吐一BC2且MN/BCAN=1AC,MN=AN2AB=1(AC-AB)=1BC.22證明：MN分別是ABAC邊上的中點，所以AM=1AB,2AM=1AC-122BC且MN/BC1因此，NM=-2五、小結：通過本節學習，要求大家掌握實數與向量的積的定義，掌握實數與向量的積的運算律，理解兩個向量共線的充要條件，并能在解題中加以運用六、課后作業：.當入EZ時，驗證：入(+)=入+入證：當入=0時，左邊=0?(+)=右邊=0?+0?=分配律成立當入為正整數時，令入=

10、n,則有：n(+)=(+)+(+)+(+)=+-+=n+n即入為正整數時，分配律成立當為負整數時，令入=-n(n為正整數)，有n(+)=nT+)=n()+()=n(-)+n(-)=-n+(-n)=-n-n分配律仍成立BbD綜上所述，當入為整數時，入(+)=入+入恒成立。1 2.如圖，在ABC中，AB=,BC=,AD為邊BC的中線,GABC的重心，求向量AG解法一：.AB=,BC=則BD=-BC=12aD=aB+bD=+1而AG=2aD23-AG=2+13解法二：過G作BC的平行線，交AB、AC于E、FAE=2AB=2EF=2Bc=-EG=1EF=1323.AEFAABC,33-AG=AE+EG

11、=-+133.在QABCD中，設對角線AC=,BD=試用，表示AB,BC解法一：AO=OC=1BO=2BD=12-一11.AB=AO+OB=AO-BO=一2BC=BO+OC=OC+BO=1+2解二：設AB=,BC=y則AB+Bc=Ac，即+y=；A-AB=BD，即-y=-=1（-）,y=；（+）即AB=_（-）BC=（+）22lrII.*to-*3 .設e,e2是兩個不共線向量，已知AB=2e+ke2,=ei+3e2,I目CD=2ee2,若三點A,B,D共線，求k的值。-FP-»*射解：BD=CD=（2ei-e2）-（e+3僉）=e-4僉a,b,d共線AB,BD共線.存在入使AB=入Bd一一一一"2=九即2e+ke2=入