1、小專題14教材P124復習題T13的變式與應用【教材母題】 如圖，點E是4ABC的內心，AE的延長線和 ABC的外接圓相交于點 D.求證:DE= DB.證明：連接 BE,由點E是4ABC的內心可知/ BAD= Z CAD. / CAD= / CBDBAD= Z CBD.又. /ABE= Z CBE / BADb / ABE= / CB4 / CBD.BED= / EBD.DE= DB.1【問題延伸1】 寫出/BED與/C的關系：/ BED= 90 .".【問題延伸2】 設AD交BC于點F, AD為4ABC外接圓的直徑，G為AB上一點，且/ ADG1=2/ C.若 BG= 3, AG=

2、 5,求 DE的長.解：易證AD垂直平分BC, J - 1 ,. /ADG= £/ C= 2/ADBDG平分/ ADB.由(1)知 BD= DE,，DG垂直平分 BE.連接 GE . . BG= GE / DEG= Z DBG= 90°,. BG= 3, AG= 5, GE= 3.，AE= 4.設 BD= DE= x,則 x2+82= (x+4)；解得 x = 6.DE= 6.變式訓練1.（臨沂中考）如圖，/ BAC的平分線交 ABC的外接圓于點 D, / ABC的平分線交AD于點E.(1)求證：D已DB;(2)若/BAC= 90° , BD= 4,求4ABC外接

3、圓的半徑.解：(1)解答同教材母題解答.(2)連接 DCBAC= 90° , .BC是直徑.BDC= 90° . /BAD= Z CAD BD= 4, .BD= CD= 4. .BC= beJ+cD =4啦.，外接圓的半徑為 2 2.2.如圖，00為4ABC的外接圓，BC為直徑，AD平分/ BAC交。0于點D,點M為4ABC的 內心.(1)求證：BC=小DM(2)若 DM= 5/，AB= 8,求 OM的長.解：(1)證明：連接 MC DB, DC. 點M為4ABC的內心， MC平分/ ACB. ./ACM= Z BCM.BC為直徑,. AD 平分/ BAC 1 / BAD=

4、 / CAD=萬/ BAG= 45 .DBC= Z BCD= 45° . . BDC為等腰直角三角形.BC= 2DC.又./DM© /MAG /AC附 45° + / ACM而/DCIW /BCD /BCM= 45° + / BCMDM& / DCM.DC= DM.，BC= 2DM.(2)作M口 BC于點F, Ma AC于點E, MHL AB于點H,連接 OM. .DM= 5小, .BC= 2DM= 10.而 AB= 8, .AC= 4BC2AB =6.設ABC的內切圓半徑為r,點M為ABC的內心，.MH= ME= MF= r.，四邊形AHM時正

5、方形.AH= AE= r ,貝U CE= CF= 6- r,BH= BF= 8- r.而 BF+ FC= BC,-8-r + 6- r = 10,計算得出 r = 2.MF= 2, CF= 62= 4,.OC= 5,.OF= 5-4=1.在 RtOMF中,OM=、/mF+0F =址.小專題15 與圓的切線有關的計算與證明1 .（懷化中考）如圖，在 RtABC中，Z BAC= 90°(1)先作/ ACB的平分線交 AB邊于點P,再以點P為圓心，PA長為半彳5作。P;(要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法)(2)請你判斷(1)中BC與。P的位置關系，并證明你的結論.解：(1)如圖所示，

6、OP為所求的圓.(2)BC與。P相切，理由：過P作PDLBC垂足為D,. CP為/ ACB的平分線，且 PAL AC PDL CBPD= PA.PA為。P的半徑，BC與。P相切.2.(永州中考)如圖，已知 AB是。0的直徑，過 O點作OPLAB,交弦AC于點D,交。于點E,且使/ PCA= Z ABC.(1)求證：PC是。0的切線；(2)若/P= 60° , PC= 2,求 PE的長.解：（1）證明：連接OC.AB是。0的直徑，/ACB= 90° , /BCG /ACO 90° .OC= OB. B= / BCO. / PCA= / ABC / BCG / ACP

7、. /ACPF Z OCA= 90° . /OCR90° ,即 OCLPC. OC為。0的半徑， .PC是。0的切線.2 2) . /P= 60° , PC= 2, /PCO= 90° , .OC= 2& OP= 2PC= 4.PE OP- O± OP- OC= 4 2P3 .(黃石中考)如圖，OO是ABC的外接圓，BC為。0的直徑，點E為4ABC的內心，連接AE并延長交。0于點D,連接BD并延長至點F,使得BA DF,連接CF, BE.求證：(1)DB = DE(2)直線CF為。0的切線.證明：(1) 為4ABC的內心，/ DAC=

8、/ DAB / CBE= / EBA.又/ DBC= / DAC / DBE= / DBCF / CBE / DEB= / EA拼 / EBA ，/DBE= /DEB.，DB= DE.(2)連接OD.,. BD= DF, O是BC的中點， .OD/ CF.又BC為。0的直徑，OB= OD，/ODB= /DBO= /DAC= 45° . ./ BCF= Z BOD= 90° . OCL CF.又OC為。0的半徑，直線 CF為。0的切線.4.(北京中考)如圖，AB為。0的直徑，F為弦AC的中點，連接OF并延長交AC于點D,過點D作。0的切線，交BA的延長線于點E.(1)求證：A

9、C/ DE(2)連接CD若OA= AE= a,寫出求四邊形 ACD前積的思路.解：(1)證明：£口與。0相切于點D, ODL DE. F為弦AC的中點， .ODLAC. .AC/ DE.(2)連接AD,易知AD= AO又.OA= OD .AOD是等邊三角形，且邊長為 a. 可以進一步求出 AOD的面積為*才;根據點A是EO中點，可知AEOD的面積是 AOD面積的2倍，可得 EOD的面積為 乎a2;等量代換可得四邊形 ACDE勺面積為-23a2.5 .如圖所示，MNIOO的切線，B為切點，BC是。0的弦且/ CBNk 45° ,過C的直線與。QMN別交于A, D兩點，過C作C

10、EL BD于點E.(1)求證：CE是。0的切線；(2)若/D= 30° , BD= 2+2乖,求。0 的半徑 r.B E UN解：(1)證明：連接OB OC.MN是。0的切線,OBL MN. /CBNk 45° , /OBe45° , / BC245° . . OB= OC OB(C= Z OCB= 45° . /OCR90° .又點C在。0上， .CE是。0的切線.(2) . OBL B E, CEL BE, OCL CE四邊形BOCE矩形.又OB= OC，四邊形 BOCE正方形.BE= CE= OB= OC= r.在 RtCDE中

11、，. / D= 30° , CE= r , . DE= 43r.,. BD= 2+2® ，r+/r = 2+2/3.解得 r=2.即。0的半徑為2.6.已知直線l與。O, AB是。0的直徑，ADL1于點D.(1)如圖1,當直線l與。0相切于點 C時，若/ DAC= 30° ,求/ BAC的大小；(2)如圖2,當直線l與。0相交于點E, F時，若/ DAE= 18° ,求/ BAF的大小.圖 1R12解：(1)連接OC. 直線l與。0相切于點C, .OCL l.又ADL l , .AD/ OC.，/ACO= /DAC= 30° . .OA= OC

12、/ BAC= / ACO. ./ BAC= Z DAC= 30°(2)連接BF. /AEF 為 Rt ADE 的一個外角，/ DAE= 18° , . . / AE已 / AD4 Z DAE= 90° +18 108° . 四邊形ABFE是圓內接四邊形， /AE斗 / B= 180° . ./ B= 180° 108° =72° .AB是。0 的直徑，AFB= 90 ./ BAF= 90° -Z B= 18° .7.(教材P102習題T12變式)如圖，AB是。的直徑，C為。上一點，AD與過C點的切線互相垂直，垂足為 D, AD交。0于點E, DE= 2, CD= 4.(1)求證：AC平分/ BAD(2)求。0的半徑R; 延長AB, DC交于點F, O也AC于點H.若/F= 2/ABH則 BH的長為2恒(直接寫出).解：(1)證明：連接OC.FD切。0于點C. OCL FD. . ADL FD. .OC/ AD./ ACO= / DAC. .OC= OA/ ACO= / CAO./ DAC= / CAO即AC平分/ DAB.(2)作 OGLAE 于點 G 則 AG= EG.OG= CD= 4, OC= DG= R. .EG=