1、實用文檔柯西不等式的證明及相關(guān)應(yīng)用摘要：柯西不等式是高中數(shù)學新課程的一個新增內(nèi)容，也是高中數(shù)學的一個重要知識點，它不僅歷史悠久，形式優(yōu)美，結(jié)構(gòu)巧妙，也是證明命題、研究最值問題的一個強有力的工具。關(guān)鍵詞：柯西不等式柯西不等式變形式最值一、柯西(Cauchy)不等式：(ah +a2b2 +anbn 2 <(af +a； +a2+b2 +b：)悟,燈 w R,i =1,2n )等號當且僅當ai =a2=an =0或bi =kai時成立(k為常數(shù)，i=1,20n)現(xiàn)將它的證明介紹如下：方法1 證明：構(gòu)造二次函數(shù)f (x) =(a1x+h 2 +(a2x+b2 2 +十(anx + b. 2=a2

2、a2a2x22a1bla2b2aj xb2b2b：由構(gòu)造知 f(x)占0恒成立1 *22n又，a a2an 一 0, 4 =4(a1b +a2b + +anbn 2 -4(a2 +a2 + +a2lb2 +b2 + +b2 )«0即匕+a2b2十十a(chǎn)nbn 2 4a； +a； +a； g2+b2+b；)當且僅當aix+bi =0(i =1,2n)即曳=a2 =|l| =曳時等號成立bi b2bn方法2證明：數(shù)學歸納法,22(1)當n=1時 左式=(&匕)右式=(40 )顯然左式=右式2222222 22 2當 n = 2時右式 =(a1 +a2 Xb )=但也)+(a2b2

3、) +a2b1 +&b2222至(a1t1 ) +(a2b2 ) +2a1a2b1b2 =(a1b2 + a2b2 )=左式故n =1,2時不等式成立(2)假設(shè)n=k(kWN,k之2 )時，不等式成立即a1bla2b2akbk2 三a；a2a2b12b；b：當bi=ma,m為常數(shù)，i=1,2k或a1 = a2=IM = ak= 0時等號成立B= b；b2 bi2C = aibi a b 2| aC2.AB .C2則 A a21 B b；1 =AB Ab：】BaM a21b：,122 , 22-C ' 2Cak 1bk 1 , ak 1bk 1 - C ak 1bk 1a2a；|

4、a2a21b2b2|b2b戶(abi +a2d +用+2八 +aybk+ )2文案大全當bi=mai, m為常數(shù)，i =1,2k+1或a1 = a2=ak書時等號成立即 n=k+1時不等式成立綜合(1) (2)可知不等式成立二、柯西不等式的簡單應(yīng)用柯西不等式是一個非常重要的不等式，學習柯西不等式可以提高學生的數(shù)學探究能力、創(chuàng)新能力等，能進一步 開闊學生的數(shù)學視野，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力，提高學生的數(shù)學素質(zhì)。靈活巧妙的應(yīng)用運用它，可以使一些較為困難 的問題迎刃而解，這個不等式結(jié)構(gòu)和諧，應(yīng)用靈活廣泛，常通過適當配湊，直接套用柯西不等式解題，常見的有兩 大類型:1、證明相關(guān)數(shù)學命題(1)證明不等式例1已

5、知正數(shù)a,b,c滿足a+b+c=1 證明a3 b3 c3 一 a2 b2 c2證明：利用柯西不等式222 2a2 b2c2=,313 13 1 A2a2a2 +b2b2 +c2c2 . )3、2a2；)f 3弋+ b，33c2l【a + b + c )J2222 *二 ：i a b c a b c a b c = 1.222.又因為+ b+ c之a(chǎn)b b 4c在JC a 等式兩邊同乘以 2,再加上a+b3(a2 +b2 +c2 巨a2 +b2 +c2 +2ab +2bc +2ac =(a +b +cffe2J2121/3 3 I 3 y _i_ i_ _i_2133 I 33 t c 2 I

6、2 I 2 tb c - a b c a b c - a b c 3 a b c222.333 a b c故 a b c -(2)三角形的相關(guān)問題例2設(shè)p是ABC內(nèi)的一點，x,y,z是p到三邊a,b,c的距離,R是ABC外接圓的半徑,證明 x . y z - 1、a2 b2 c2 2R證明：由柯西不等式得:十記S為ABC的面積，則TbyJl + JCZJ1 Max + by + c abc abcax by cz = 2S = 2_ =-4R 2R一 一 一 abc ab bc ca 1 1.x . y ',-tzab bc ca 1 2R . abc 2R.2R故不等式成立。2、求解

7、有關(guān)數(shù)學問題常用于求最值例 3 已知實數(shù) a,b,c,d 滿足 a + b+c + d =3, a2 +2b2+3c2 +6d2 =“a2b2 c25試求a的最值解：由柯西不等式得，有2221112b23c26d2b23622即由條件可得，5-a2 - 3-a/ c-2b 、3c 、6d 八解得，1 <a W2當且僅當一一=-=一= 時等號成立, .1 2,1 31 61.1.八代入 b=1,c=-，d =-時，amax=236,，2,1一，b=1,c=,d =一時amin = 133例4空間中一向量a與x軸，y軸，z軸正向之夾角依次為 a, P, '/ (a,P, ¥

8、均非象限角)1149求 一2 十 -2百+ 2-77的最小值。sin2 1 sin2 : sin2解：由柯西不等式得:()2(2-)2(-)2(sin2： sin2 sin2 )sin 二 sin - sinsin -2.sin - sinsin -3- sin )2 sin14922 -22=() ( . 2 - ) ()(sin ： sin : sin ) _ (123)sin 二 sin :sinsin 2：sin I ： sin 2二2149149 2(2 -二) 36=(_2_)一18sin 二 sin : sinsin 二 sin : sin1 49. 一 , .一J + 石+二丁

9、的最小值為18sin 工 sin : sin三、巧用柯西不等式的變形解題很多高考數(shù)學問題的解決，如果僅從基礎(chǔ)知識、基本公式的正面人手，就很難取得知識性的突破，而如果對基礎(chǔ)知識、基本公式稍作變形，就會大大降低問題的難度，達到化難為易、化繁為簡、化陌生為熟悉的目的.而學習柯西不等式，僅了解柯西不等式的基本公式還是不夠的，學生還必須掌握下面這個柯西不等式的變形公式，此公式也是權(quán)方和不等式的一種特殊情況，這樣我們就可以在解題過程中更快更準地解決問題.柯西不等式的變形公式：約定bi e R+,i =1,2n分析：由柯西不等式可得2(gl'an)當且僅當電=ab b2bn222 a1 . a2 .

10、 .an "l -i"1(bib2bnb1b2an等號成立 bnb+b2+bn Q(a+a2+ an 2設(shè) x1 ,x2,Xn 亡 R;且XI +X2 +Xn =1 ,證明2X1X1X22.X2X3XnXn1 r 二Xn Xn %X12證明:由變形公式得:2X1X1X222-X2.XnX2X3XnXnXn2 xnX1(X1 +X2 + +Xn J1k =X1X2X2X3 廣XnX12例2 (2007年廣州市一模理科) 已知a, b>0,且a+b=1,求1/2a+1/b的最小值解析：a, b>0,且a+b=1,由柯西不等知2a b=.2/2 12=3 2a b a

11、 b 2.一.v 2 / 21rL,11、3 r當且僅當 =1即a=42 1,b=2寸2時等號成立二1-+-=3+42a b<2a bJmin 2練習 設(shè)a1, a2,，an E N 各不相同 證明a12221*。+1+23 n 2 3 n證明：將ai,a2,，an從新排序設(shè)為a一二 a2 ： ":二 an則有 al _1, a2 _ 2,，ann 1仝Z k 4 aknn .而所需證目標：'、, a2 _ v 1k 4 k k 4 k結(jié)合柯西不等式得:k2akakk2 人km ak J2 口 k2 >4kak得結(jié)論、當k 4 k k 4柯西不等式在解題中的幾點應(yīng)

12、用一、引言柯西不等式在求某些函數(shù)最值中和證明某些不等式時是經(jīng)常使用的理論根據(jù)，我們在教學中應(yīng)給予極大的重 視。本文僅就使用柯西不等式的技巧做一粗略歸納。主要就是使用一些方法構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條 件，繼而達到使用柯西不等式證明有關(guān)的不等式人民教育出版社高中代數(shù)下冊“不等式” 一章的習題中有這樣一道題（ P、15練習第2題）：求證：ac+bdWQa2 +b2 * &2 +d2這題用比較法是很容易證明的,這里用比值的方法來證明。證明：當a=b=c（或c=d=0）時，顯然成立；假設(shè) a2 + b2#0 且c2+d2 #0,則|ac +bd|ac| +|bd|a2b2*. c2d2a2b

13、2*c2d2ac|+|bd|a2 b2* .c2 d2 a2 b2* .c2 d2<122ab22cd2,J；%d2d222aka2 +b2c2. 2cdb22 a2 +b2=1故 ac+bdW|ac+bd M|ac +|bd M Ja2 + b2 * Yc2 + d2（1）式就是著名的柯西不等式的一個簡單特例。 柯西不等式的一般形式為： 對任意白向?qū)崝?shù)a1 ,a2,，an及b1,b2,，bn有aia2bib2其中等號當且僅當（2）an .=一 時成立（當bk = 0時，認為ak =0,1 E k < n）. bn柯西不等式有許多證明方法，這里就不作證明，僅就如何利用柯西不等式解題

14、作一些介紹。二、柯西不等式在解題中的應(yīng)用a）利用柯西不等式證明恒等式利用柯西不等式來證明恒等式，主要是利用其取等號的充分必要條件來達到目的，或者是利用柯西不等式進行 夾逼的方法獲證。例、已知 a出-b2 +bJl -a2 =1,求證：a2 +b2 =1。證明：由柯西不等式，得a .1 -b2 b .1 -a2 < a21 -a2 1b2 1 -b2 1=1b 1 b2當且僅當-= b時,上式取等號，1-a2a.ab =。1 -a2 1 -b2,a2b2 = 1 -a2 1 -b2 ,是 a2b2 =1b）利用柯西不等式解無理方程（或方程組）用柯西不等式解無理方程，是先把方程的（含有無理式

15、的）運用柯西不等式化為不等式，然后結(jié)合原方程把不 等式又化成等式，在判定為等式后再利用柯西不等式取等號的特性，得到與原方程同解的且比原方程簡單的無理方 程，進而得到簡單的整式方程，從而求得原方程的解。例：解方程Jx2 +工 +1 ）2 + _1 一 =2 +1。X2;x 1 2 x X 1由柯西不等式知 +工+(x+1)2x x 1x x 1>+x 1 x：1)2 (x 1)2,2 1 x(x 1)x21xx221(x 1)2(x 1)2_2 -1 x(x 1)1當上式取等號時有 x(x 1) = 一1一x(x 1)成立，即2._.2_ 一x +x+1=0 (無實根)或 x +x1=0,

16、即-1 -.5、一x=,經(jīng)檢驗，原方程的根為2用柯西不等式解方程組，也同樣是利用柯西不等式取等號的條件，從而求得方程組的解。 例：解方程組x y z = 9x w =6x4 x2(y2 z2 w2) w2(y2 w2)=486解：原方程組可化為x y z =9x w =6(x2 y2 z2)(x2 w2) =486運用柯西不等式得2(x2 y2 z2)q=27嘰8182兩式相乘，得x2 y2 z2 , x2 w2-486當且僅當x=y=z=w=3時取等號。故原方程組的解為 x=y=z=w=3.c) 柯西不等式證明不等式。很多重要的不等式都可以由柯西不等式導(dǎo)出，而利用柯西不等式的技巧有很多。如常

17、數(shù)的巧拆、結(jié)構(gòu)的巧變、 巧設(shè)數(shù)組等，下面略舉一、二說明怎樣利用柯西不等式證明不等式。有些問題本身不具備運用柯西不等式的條件，但是我們只要改變一下多項式的形態(tài)結(jié)構(gòu)，認清其內(nèi)在的結(jié)構(gòu)特 征，就可以達到利用柯西不等式解題的目的。下面略舉一例加以說明。例：設(shè) ai >a2 >- >an >an+ 求證：1111 0a一a2a2 - a3an - an 1 an.1-a1分析：這道題初看似乎無法使用柯西不等式，但改變其結(jié)構(gòu)，我們不妨改為證:111,-an+). |+ + |>1,戶a2 a2 a3an an書 _證明：為了運用柯西不等式，我們將a1 -an書寫成a1 -an

18、+ = (a1 - a2 )*(a2 - a3 )+ (an -an 書)于是a1 - a2 廣1a2 - a3 r an - an 1+、a1 - a2a2 - a3an - an書)_n2 1.<a1 _a2a2 一 a3+ 1an - an由 J1a 一 a2 a2 " a31 an - an 1a1 - an 1,11故- a 一 a2a2 - a311 八- 0.an - an 1 an 1 - a1我們進一步觀察柯西不等式，可以發(fā)現(xiàn)其特點是： 不等式左邊是兩個因式這和， 其中每一個因式都是項平方和,右邊是左邊中對立的兩兩乘積之和的平方，證題時，只要能將原題湊成此種形

19、式，就可以引用柯西不等式來證明。例：求證： x x12 +xf +%'y12 +y2(x +y f +M +y? f證明:,x；x2.y12y2=x；x2-y2I，2.x；x； y2 y2由柯西不等式得x2x2 y2 y2 - x1 y1x2y2其中等號當且僅當 x1 =ky1 , x2=ky2時成立。x；x2 y； y2 -x* X2V2 2.x1 - x2 , y1 - y222=xi yi j _ 1X2 y222222,Xi X2、yi y2 ,Xi2x； 廠y； y22 xmx?y2其中等號當且僅當 =ky1：22. xi - yi i . ix2 - y2.,x2 =ky2

20、時成立。巧拆常數(shù)：例：設(shè)a、b、c為正數(shù)且各不相等。求證:分析：: a、b、c均為正i i i，為證結(jié)論正確只需證：2( a - b c) - - - 9a b b c c a而 2(a b d) = (a b) (b c) (c a)2又 9 =(i T i)ri i i證明：；2(a b - c)( - -)a b b c c ai i二(a b) (b c) (c 班工2之(i+i+i) =9又a、b、c各不相等，故等號不能成立，原不等式成立。重新安排某些項的次序：例：a、b 為非負數(shù)，a + b=1，xi, x2 e R +求證：(axi bx2)(bxi ax2) - xix2分析：

21、不等號左邊為兩個二項式積,a,bw R-,xi,x2亡R每個兩項式可以使柯西不等式，直接做得不到預(yù)想結(jié)論，當把節(jié)二個小括號的兩項前后調(diào)換一下位置，就能證明結(jié)論了。證：(ax bx2)(bxi ax2)2=(axi bx2)(ax2 bxi) - (a； xix2 b- xix2)=(a b)2 xix2 ; xix2(. a + b=i)結(jié)構(gòu)的改變從而達到使用柯西不等式:例若a > b > c求證:a -b b -c a -c分析：初見并不能使用柯西不等式，改造結(jié)構(gòu)后便可使用柯西不等式了丁 a c = (a b)十(b c) <a>c a -c > 0，11.結(jié)論

22、改為(a -c)( -) , 4a-b b-c證明：(a -c)(一 a2.(1 1)1十 -bb1)=(a-b) (b-c)(-c -a-b b-c添項：例：a,b,c Ra b求證：-分析：左端變形3> 2b . 1二(a b c)(，只需證此式+b c c a9 -之一即可2證明._a_ - -b-b c c a3=(1)(1)(M 1)=(a b c)(111112-(111)= 5(b c) (c a) (a b)(b 七F)=9933二一一 2上a b注：柯西不等式：a、bWR*,則a+b之2加112推論：（a+b）（+） ±4 =（1 十 1）2其中 a、b=Ra

23、 b111o（a+b+c）（一十一十一）29=（1 十1 +1）2 其中 a、 b、 c R a b c«* a.制 個例.已知 a, a, a3,，an, b1, b2,，bn為正數(shù)，求證： （Z她）0勺之2由尸證明：左邊=_ .1 ."二'.111， Ia 浦* n q環(huán) >1¥馬例.對實數(shù) a, a2,，an,求證：且_ 二1里 n n證明：左邊=j-i 題例.設(shè)a, b, c為正數(shù)，且 a+b+c=1,求證:g+匕+ly 之學a b c J證明：左邊=-I+；,+ 一；一 .：+二. 3a b c=一 1 "|3 a b c 3 a

24、 b c1口 + （。+與+白）（1+ 1 + 1）（之1"+（石-一 +痣.一+忑二）丁3a b c 3 Ja Jb Jc，一4111,1172 3 42” 12M例.若n是不小于2的正整數(shù)，試證:所以求證式等價于1十盟+ 11禺+2+A +<2n1114由柯西不等式有（H+A H）（符+ 1） + （附+ 2）+A +2符/超+1 盟+ 22n11 A 1必2題2 、 4于是+A + >=之盟+1 制+ 22 敖（界 + D + 伽 + 2）+A + 2界 3界+ 11 7J十一n又由柯西不等式有+A + < f（l2 +22 +A +）用鞭+2% +A8 +

25、1），伽 + 2）W1匚 5i TT i i Or" 上p+A + = J 器（一 ）=1 雙總+ 1）（月+ 1）（月+ 2）（2霏一1）（2用 用2月2實用其檔.aVI三 1例.設(shè)xi, x2，xn都是正數(shù)（n32）且，：/T 求證： 乙X -證明：不等式左端即二£ 1>i，取必，z七 Z” 2-1y>則一(2)由柯西不等式有二. .二匚門.卜”文案大全即二- - J綜合（1）、（2）、（3）、（4）式得:舛w 1-1d）用柯西不等式證明條件不等式nn柯西不等式中有三個因式z a2，2bi2i =1i 1n'、aQi =1而一般題目中只有一個或兩個因

26、式，為了運用柯西不等式，我們需要設(shè)法嵌入一個因式（嵌入的因式之和往往是定值）,這也是利用柯西不等式的技巧之一。又柯西不等式中諸量ai , bi具有廣泛的選擇余地，任意兩個元素ai , aj （或bi , bj ） 的交換，可以得到不同的不等式，因此在證題時根據(jù)需要重新安排各量的位置，這種形式上的變更往往會給解題帶來意想不到的方便。這種變換也是運用柯西不等式的一種技巧, 等式。卜面我們簡單舉例說明怎樣利用上述技巧運用柯西不等式來證明條件不例：已知 a,b三 R ; a+b=1,x1,x2 亡 R：求證： ax1bx2 bx1 ax2 i: x1x2分析：如果對不等式左端用柯西不等式，就得不到所要

27、證明的結(jié)論。若把第二個小括號內(nèi)的前后項對調(diào)一下, 情況就不同了。證明： axibx2 bxiax?=axi bx2 , ax? bxI實用文檔2=a b X1 x2 = X1 x2例、X1, x2，Xn w Rt 求證:2XiX2XXXn X1X2 -，XnX3XnX1（1984年全國高中數(shù)學聯(lián)賽題）證明：在不等式的左端嵌乘以因式僅2 + X3 + Xn + X1 ）,也即嵌以因式僅1 +X2 +xn ）,由柯西不等式，得2XiX22XXXn/ *(X2X3 +'一 +xn - X1)X3XnX1.'xn.'Xi.2._ 2_ 2 2,X2, X3HI , Xn. X1

28、工 |-T= *7X7 +f= *7X3 +IH +Txn' +-7= *7x1X2, x3x xn. X12h1：X1 X2 III Xn ,2 曰X1 X2X3Xn2Xn X1X2XnX1文案大全e）利用柯西不等式求函數(shù)的極值有些極值問題從表面上看不能利用柯西不等式，但只要適當添加上常數(shù)項或和為常數(shù)的各項，就可以應(yīng)用柯西 不等式來解，這也是運用柯西不等式解題的技巧；而有些極值問題的解決需要反復(fù)利用柯西不等式才能達到目的， 但在運用過程中，每運用一次前后等號成立的條件必須一致，不能自相矛盾，否則就會出現(xiàn)錯誤。這多次反復(fù)運用 柯西不等式的方法也是常用技巧之一。下面略舉例加以說明怎樣利用

29、柯西不等式來求解一些極值問題。例設(shè)非負實數(shù)««2Qn滿足口132+Wn =1,求：- 1：- 21 - 2 -1 . 1 L- 1 . 1' ,二 3 ' ""n的最小值。（1982年西德數(shù)學奧林匹克度題）解：易驗證1(二 1： 2+1=.in)22-12-1同理可得2+1=2 - ： 2：n1 : _2n-12+1=2 Tn二 1' 二 3、- +2-12 -1 2為了利用柯西不等式，注意到(2 -a1) (2 -a2)(2-an) = 2n - (a1 a2 - an) = 2n - 1,-)2 - - n11(2n -1)

30、( +2 一二12 一二2-a1)(2 - a2) , ,(2-an).(2 - ： 1.y n 二二2n -1c 22nny - n =2n -1 2n -11n等萬當且僅當 a1 =a2 = ''”=an =一時成立，從而 y有取小值 n2n 7n例設(shè)X1,X2,''；xn都是正數(shù)，n至2,且£ Xi =1,求證: i 1n“ xi n xi£ i三一 .( 1989年全國數(shù)學冬令營試題)id . 1 - Xin -1證明：令yi =1 xi (i =1,2, -n),由柯西不等式，得nnn v,xi )2 <n *Z xi =n,

31、 即 £ 弋xi4而.i 1i 1i 1n n同理，得 Q/yi )2 Mn ' yii 1i 1n=n (1 f xi) = n(n -1),i 1n即 , yi - n(n -1).i 1又由柯西不等式，得n n 1 n 1工 yyi "工j= -( 4yi *j=) =/i±i£ yiif4 yi1.V1n“yi 1從而nzi 1n=£i 16,利用柯西不等式解三角問題。三角問題包括三角不等式，三角方程。三角極值等到，對于一些三角問題，我們?yōu)榱私o運用柯西不等式創(chuàng)造條 件，經(jīng)常引進一些待定的參數(shù)，其值的確定由題設(shè)或者由等號成立的充要

32、條件共同確定，也有一些三角極值問題我 們可以反復(fù)運用柯西不等式進行解決。例在AABC中，求證：198 2,201(.201 3)sin A sin B 5sin C _ -40證明： sin A sin B 5sinC=2sin10 sinA B A - Bcos22= 2cosC(cos3225sin C)2CC-2cos - (1 5 sin ).22當且僅當A=B時等號成立。冗令 y =cosx(1 +5sin x)(0 < x < ),于是引進參 t a 0,求222 .y cos x(1+5sinx)的最值。由柯西不等式,y2 =cos2 x(1 +5sinx)2 =25

33、cos2 x11 +sinx i52cos x=25 ,丁t222一 十 tsin x 15；£25 十色i+t2(t2+sin2x) t _ 525t 21cos2 xt2 sin2 x. t22又由平均值不等式 ab <(a 叼,得425t2 +1 &s2 x + t2 +sin2 x、2當且僅當例、已知cc225t2 1 t2 14t2(1)222cos x=t +sin x時等號成立。a,b為正常數(shù)，且 0<x土，求yab 3目一+的取小值。sin x cosx解：利用柯西不等式，得Va2 +3；'b2 =G/a2 +Vb2 jsin2 x +cos2 x> /asin x +3/b cosx等號成立的當且僅當sin%,g = cosX；B時;x=arctg vb時，于V3/a2 +Vb2 >Va sin x + Vb cosx再由柯西不等式，得. 3.a23.b2' q 上 sin x cosx- (Vas i nx +3/b c o s:), a 十 |s i nx cox之(6/a Vs i nx J a + Vb Jc o sxj b, s i nx c o sx等號成立也是當且僅當 x = arctg殖 時。從而+sin x cosx3上sin x cosx2 2的最小值是a3