1、.第第二二.22.1 信號的類型n確知信號確知信號任意時刻的信號取值都是確定的信號；可以用明確的數學表達式表示的信號。例如：指數信號、矩形脈沖信號等。n隨機信號隨機信號給定某一時刻，無法確定該時刻信號的取值；無法用確定的函數表示的信號，但信號有一定的統計規律。例如：語音信號、圖像信號等。energy signal.32.1 信號的類型n能量信號能量信號信號能量定義為能量有限的信號稱為能量信號，即 0 E n功率信號功率信號信號的功率定義為功率有限的信號稱為功率信號，即 0 P ) J ()d(lim2/2/2TTTttsE)W()d(1lim2/2/2TTTttsTPpower signal.

2、42.2 確知信號的性質n功率（周期）信號的頻譜功率（周期）信號的頻譜 傅里葉級數傅里葉級數傅里葉級數系數傅里葉級數頻率、角頻率和周期頻譜的振幅和相位nnnCCje22j0000de )(1TTtnnttsTCntnnCts0je)(00022Tf deterministic signals.52.2 確知信號的性質n周期方波信號的頻譜周期方波信號的頻譜t)(0tfT220T0TO10nnCOkTkTtftftttf)()(2021)(002Sa22sin00000nTnnTCnFourier series.62.2 確知信號的性質n能量（非周期）信號的頻譜密度能量（非周期）信號的頻譜密度 傅

3、里葉變換傅里葉變換傅里葉變換傅里葉逆變換傅里葉變換的另一種形式de )(21)(jtStsttsStde )()(jFourier transformffStsttsfStftfde )()(de )()(2j2j.72.2 確知信號的性質n矩形脈沖信號的頻譜密度矩形脈沖信號的頻譜密度t22O)(tg1)(GO2021)(tttg2Sa2sin2)(Gspectral density.82.2 確知信號的性質n功率（周期）信號的頻譜密度功率（周期）信號的頻譜密度 傅里葉變換傅里葉變換周期信號的傅里葉級數周期信號的頻譜密度nnntnnntnnnCCCtsS)(2e e)()(0jj00FFFnt

4、nnCts0je)(Fourier coefficients.9【例2.5】單位沖激函數及其頻譜密度。 解：單位沖激函數常簡稱為函數，其定義是： (t)的頻譜密度：00)(1)(ttdtt1)(1)()(dttdtetftj2.2 確知信號的性質.10(t)及其頻譜密度n 函數的物理意義：函數的物理意義： 高度為無窮大，寬度為無窮小，面積為高度為無窮大，寬度為無窮小，面積為1 1的脈沖。的脈沖。n用抽樣函數用抽樣函數Sa(t)表示表示 函數：函數：Sa(t)Sa(t)有如下性質有如下性質當當 k k 時，振幅時，振幅 ， 波形的零點間隔波形的零點間隔 0 0，故有故有 1)(dtktSaktt

5、t)(lim)(ktSaktkf(f)10t(t)0.11函數的性質對對f(t)的抽樣：的抽樣： 函數是偶函數：函數是偶函數： 函數是單位階躍函數的導數：函數是單位階躍函數的導數：n能量信號的頻譜密度能量信號的頻譜密度S(f)和功率信號的頻譜和功率信號的頻譜C(jn 0)的區別的區別:S(f) 連續譜；連續譜； C(jn 0) 離散譜離散譜S(f)的單位：的單位：V/Hz； C(jn 0) 的單位：的單位：VS(f)在一頻率點上的幅度無窮小。在一頻率點上的幅度無窮小。u (t) = (t) dt)tt () t (f)t (f00) t() t (0, 1, 0, 0)(tttu當當t10圖2

6、.2.6 單位階躍函數.12 解：設一個余弦波的表示式為f (t) = cos0t，則其頻譜密度F()按式(2.2-10)計算，可以寫為參照式(2.2-19)，上式可以改寫為n引入(t)，就能將頻譜密度概念推廣到功率信號上。2)(2)(2lim2/)(2/)sin(2/)(2/)sin(2limcoslim)(0000002/2/0SaSadtteFtj)()()(00Ft000(b) 頻譜密度(a) 波形【例2.6】試求無限長余弦波的頻譜密度.132.2 確知信號的性質n周期方波信號的頻譜密度周期方波信號的頻譜密度t)(0tfT220T0TO1)(0TFOkTkTtftftttf)()(20

7、21)(00nTnnTF)(2Sa2)(0000periodic signal.142.2 確知信號的性質n能量譜密度能量譜密度設 s (t) 為能量信號，且它的頻譜密度為 S ()則由帕塞瓦爾定理得 s (t) 的能量為 能量譜密度函數的定義ffSSttsEd)(d)(21d)(222)HzJ ()()(2fSfGffGttsEd)(d)(2Energy Spectral Density (ESD).152.2 確知信號的性質n矩形脈沖信號的能量譜密度矩形脈沖信號的能量譜密度t22O)(ts1)(SO2)Sa()(2Sa)(2021)(ffGSttts)( fGfOParsevals the

8、orem.162.2 確知信號的性質n截短信號截短信號對于功率信號 s (t)，稱sT (t)為 s (t) 的截短信號。2|, 02|),()(TtTttstsTtruncated signals (t)tsT (t)t2T2TOO.172.2 確知信號的性質n功率譜密度功率譜密度設 sT (t) 的頻譜密度為 ST ( f )，則其能量 E 為s (t) 的功率為功率譜密度函數定義為Power Spectral Density (PSD)ffSttsttsETTTTd)(d)(d)(22222fTfSdttsTPTTTTTd)(lim)(1lim22/2/2)HzW()(lim)(2TfS

9、fPTT.182.2 確知信號的性質n周期信號的功率譜密度周期信號的功率譜密度由帕塞瓦爾定理可得周期信號的功率周期信號的功率譜密度因為nnTTCttsTP2222000d)(1nnnffCfP)()(02nnCffPP2d)(aperiodic signal.192.2 確知信號的性質n自相關函數自相關函數能量信號的自相關函數功率信號的自相關函數ttstsRd)()()(22d)()(1lim)(TTTttstsTRautocorrelation function.202.2 確知信號的性質n自相關函數的性質自相關函數的性質自相關函數為偶函數，即 R() = R() 自相關函數在原點 = 0

10、處取得最大值，即 R(0) | R()|對于能量信號，R(0) 表示信號的能量，即對于功率信號， R(0) 表示信號的功率，即EttsRd)()0(2PttsTRTTT222d)(1lim)0(origin.212.2 確知信號的性質n矩形脈沖信號的自相關函數矩形脈沖信號的自相關函數210211)(tttsO)(R111t21O)(ts1211011)(Rsquare wave.222.2 確知信號的性質n互相關函數互相關函數兩個能量信號的互相關函數兩個功率信號的互相關函數ttstsRttstsRd)()()(d)()()(21212112222121222112d)()(1lim)(d)()

11、(1lim)(TTTTTTttstsTRttstsTRcrosscorrelation function.232.2 確知信號的性質n互相關函數的性質互相關函數的性質若對所有的 ，R12() = 0，表示 s1(t) 與 s2(t) 互不相關；與自相關函數不同，一般情況下，R12() R21()；不難證明： R12() = R21()； R12(0) = R21(0)；R12(0) 或 R21(0) 表示 s1(t) 與 s2(t) 在無時差時的相關性，它的大小反映 s1(t) 與 s2(t) 的相似程度。uncorrelated.242.2 確知信號的性質n能量信號的相關系數能量信號的相關系

12、數n功率信號的相關系數功率信號的相關系數2122212112d)(d)(d)()(ttsttsttsts2122222221222112d)(1limd)(1lim)()(1limTTTTTTTTTttsTttsTdttstsTcorrelation coefficients.252.2 確知信號的性質n相關系數的性質相關系數的性質 12 ； 12 = +1 表明 s1(t) 與 s2(t) 完全相似； 12 = 1 表明 s1(t) 與 s2(t) 完全相似，但極性相反； 12 = 0 表明 s1(t) 與 s2(t) 完全不相似，互為正交函數。similar.262.2 確知信號的性質n能

13、量信號的相關定理能量信號的相關定理 維納維納-辛欽定理辛欽定理ffGffSfSfttsfStffStsttstsRffftftfde )(de )()(dede )()(dde )()(d)()()(2j2j2j2j)(2jcorrelation theorem)()(fGR.272.2 確知信號的性質n功率信號的相關定理功率信號的相關定理 維納維納-辛欽定理辛欽定理)()(lim)()(limd)()(1limd)()(1lim)(222fPTfSRTRttstsTttstsTRTTTTTTTTTT)()(fPRViener-Khintchine Theorem.282.3 隨機信號的性質n

14、概率的基本概念概率的基本概念單一事件 A 概率聯合事件 (A, B) 的概率1)(, 2 , 1),(lim1NiiiinAPNiAPnn)(),(),(),(, 2 , 1;, 2 , 1),(lim11iNjjijMijijiijnAPBAPBPBAPNjMiBAPnnprobability.292.3 隨機信號的性質n條件概率條件概率在事件 A 出現的條件下，事件 B 出現的概率條件概率的性質n統計獨立統計獨立若 P(B | A) = P(B)，則 P(A, B) = P(A) P(B)稱 A 和 B 這兩個事件為統計獨立的。)(),()|(APBAPABP)()|()()|(),(BP

15、BAPAPABPBAPconditional probability.302.3 隨機信號的性質n隨機變量隨機變量隨機變量的定義隨機變量定義為概率樣本空間的實值函數，記為 X。離散隨機變量若隨機變量的取值是有限的或者是可數無窮的，則稱之為離散隨機變量。連續隨機變量若隨機變量的取值是連續的，則稱之為連續隨機變量。random variable.312.3 隨機信號的性質n概率分布函數的定義概率分布函數的定義隨機變量 X 的概率分布函數定義為 X 的取值小于或等于 x 的概率，即n概率分布函數的性質概率分布函數的性質FX () = 0FX (+) = 10 FX (x) 1若 x1 x2，則 FX

16、 ( x1 ) FX ( x2 )P(a X b ) = FX (b) FX (a) )()(xXPxFXCumulative Distribution Function (CDF).322.3 隨機信號的性質n離散隨機變量的概率分布函數離散隨機變量的概率分布函數設 X 的取值為：x1 x2 xi xn，其取值的概率分別為p1, p2, , pi, , pn，則有ikkiXpxF1)(staircase1x2x3x6x4xxipO5xx1)(xFXO1x2x3x6x4x5x.332.3 隨機信號的性質n連續隨機變量的概率分布函數連續隨機變量的概率分布函數 若 x1 x2， 則 FX ( x1

17、) FX ( x2 )n概率分布函數的一個特點是單調非減函數。概率分布函數的一個特點是單調非減函數。 x1)(xFXOnondecreasing.342.3 隨機信號的性質n連續隨機變量的概率密度函數的定義連續隨機變量的概率密度函數的定義xxFxpXXd)(d)(Probability Density Function (PDF)x1)(xFXOx)(xpXO.352.3 隨機信號的性質n連續隨機變量的概率密度函數的性質連續隨機變量的概率密度函數的性質與概率分布函數的關系隨機變量的概率非負特性積分恒等于1xXXyypxFd)()(1d)(xxpX0)(xpXbaXxxpbXaPd)()(x)(

18、xpXOabintegral.362.3 隨機信號的性質n離散隨機變量的概率密度函數離散隨機變量的概率密度函數離散隨機變量的概率分布函數的表示離散隨機變量的概率密度函數的定義性質n當 x xi 時，pX (x) = 0，n當 x = xi 時， pX (x) = niiiXxxupxF1)()(niiiXxxpxp1)()(impulse.372.3 隨機信號的性質n二維聯合概率分布函數二維聯合概率分布函數n二維聯合概率密度函數二維聯合概率密度函數n統計獨立統計獨立當且僅當則稱隨機變量 X 和 Y 是統計獨立的。),(),(yYxXPyxFXY),(),(2yxFyxyxpXYXY)()(),

19、(ypxpyxpYXXYjoint CDF and PDF.382.4 常見隨機變量舉例n正態分布隨機變量正態分布隨機變量222)(exp21)(axxpXnormal distribution)(xpXax.392.4 常見隨機變量舉例n均勻分布隨機變量均勻分布隨機變量其他01)(bxaabxpX)(xpXbxaab1uniform distribution.402.4 常見隨機變量舉例n瑞利分布隨機變量瑞利分布隨機變量bxbxabxbxaxpX0)(exp)(2)(2Rayleigh distribution)(xpXxb.412.5 隨機變量的數字特征n數學期望的定義數學期望的定義離散隨

20、機變量的數學期望連續隨機變量的數學期望n數學期望的性質性質數學期望的性質性質E(C) = CE(C X) = C E(X)E(C X) = C E(X)xxpxmXEXXd)()(iiiXpxmXE)(expectation.422.5 隨機變量的數字特征n方差方差方差的定義離散隨機變量的方差連續隨機變量的方差)()(22XXmXEXDiiXiXpmxXD22)()(xxpmxXDXXXd)()()(22variance.432.5 隨機變量的數字特征n方差方差方差的另一種表示標準偏差 X方差的性質nD(C) = 0 nD(X C)=D(X)，D(CX) = C2D(X) 222222)()(

21、XXXXmXEmXmXEmXEXDstandard deviation.442.5 隨機變量的數字特征n矩矩k 階原點矩k 階中心矩性質n一階原點矩為均值n二階中心矩為方差moment)()(kkXEXm)()(kXkmXEXMXmXEXm)()(122)()(XXDXM.452.5 隨機變量的數字特征n常見概率密度的均值和方差常見概率密度的均值和方差分布分布概率密度概率密度均值和方差均值和方差正態均勻瑞利222)(exp21)(axXxp其他01)(bxaabxpXbxbxabxxpabxX0exp)(2)(2)(22XXam12)(222abbamXX4)4(42aabmXXmean.46

22、2.5 隨機變量的數字特征n兩個隨機變量的數字特征兩個隨機變量的數字特征均值nE(X Y) = mX mY nE(XY) = mX mY X 和 Y 相互獨立方差相互獨立和 )()( 2)(2)(2)()()()(2222222222YXYXDmmXYEmYmXEmYmXmYmXEmYmXEYXEYXEYXDYXYXYXYXYXYXYXYXstatistically independent.472.5 隨機變量的數字特征n兩個隨機變量的數字特征兩個隨機變量的數字特征聯合原點矩聯合中心矩協方差歸一化協方差 yxyxpxxYXEXYjijidd),()()(YjXimYmXE)()()()()()

23、(YEXEXYEmYmXEYEYXEXEYXXYYXXYXYjoint moment.48關于不相關、正交與統計獨立的討論n獨立不相關正交獨立不相關正交n不獨立相關不正交不獨立相關不正交n統計獨立：若滿足或者統計獨立：若滿足或者則稱則稱X,Y相互統計獨立，若相互統計獨立，若X,Y相互獨立則有相互獨立則有反之則未必反之則未必n不相關：若協方差不相關：若協方差為零，此時歸一化協方差為零，則兩隨機為零，此時歸一化協方差為零，則兩隨機變量不相關。因此若統計獨立必然不相關，反之則未必，變量不相關。因此若統計獨立必然不相關，反之則未必，但對高斯過程，反之亦然但對高斯過程，反之亦然n若，則稱若，則稱X,Y相

24、互正交相互正交,反之亦然。反之亦然。)()(),(,yfxfyxfyxyx必必未必（高斯型除外）未必必未必未必必) 1(YXXYXY0)(XYE)()(),(,yFxFyxFyXyx)()()(YEXEXYEYXYXXYmmXYEYEXEXYEmYmXE)()()()()(.492.6 隨機過程n隨機過程的基本概念隨機過程的基本概念隨時間變化的隨機變量稱為隨機過程，X(t)Xi(t) 為 X(t) 的一個樣本函數或實現，是確定的時間函數X(tk) 為隨機變量t)(tXO)(1tX)(2tX)(tXnktrandom process.502.6 隨機過程n隨機過程的數字特征隨機過程的數字特征統計

25、平均值)(d);()(tmxtxxptXEXXt)(tXO)(tmXstatistical average.512.6 隨機過程n隨機過程的數字特征隨機過程的數字特征方差)()()()(22ttmtXEtXDXXOt)(tY)(tmYOt)(tX)(tmXsample function.522.6 隨機過程n隨機過程的數字特征隨機過程的數字特征自相關函數用自相關函數表示方差當 t1 = t2 = t，有于是，方差可表示為)()(),(2121tXtXEttRX)()()(),(),(221tXEtXtXEttRttRXX)(),()()()(222tmttRtmtXEXDXXXmean squ

26、are.532.6 隨機過程n平穩隨機過程平穩隨機過程嚴格平穩隨機過程的定義一個隨機過程 X(t)，若它的 n 維概率密度函數 pX (x1, x2, xn; t1, t2, tn) 不隨時間起點的選擇不同而改變，即，對任何的 n 和， X(t) 的n 維聯合概率密度函數滿足pX (x1,x2,xn;t1,t2,tn) = pX (x1,x2,xn;t1,t2 ,tn ) 則稱 X(t) 為平穩隨機過程。嚴格平穩隨機過程的統計特性與時間起點無關stationary process.542.6 隨機過程n平穩隨機過程的兩個典型例子平穩隨機過程的兩個典型例子Ot)(tYYmYYmYYmOt)(tX

27、XmXXmXXmtime independent.552.6 隨機過程n平穩隨機過程的統計特性平穩隨機過程的統計特性平穩隨機過程的均值平穩隨機過程的方差平穩隨機過程的自相關函數XXXXmxxxpxtxxptmd)(d);()(222)()()(XXXtmtXEt)()()(),(21XXRtXtXEttRtime difference.562.6 隨機過程n平穩隨機過程平穩隨機過程廣義平穩隨機過程的定義n嚴格平穩隨機過程與廣義隨機過程的關系嚴格平穩隨機過程與廣義隨機過程的關系嚴格平穩隨機過程一定也是廣義平穩隨機過程；廣義平穩隨機過程不一定是嚴格平穩隨機過程。為廣義平穩隨機過程。則稱滿足若隨機過

28、程 )( )()(),()()( )( 212122tXRttRttRtmtmtXXXXXXXXwide-sense stationary.572.6 隨機過程n各態歷經性各態歷經性統計平均對隨機過程的大量樣本函數用統計方法求平均而得到的數字特征。時間平均對隨機過程的任一樣本函數以時間為變量求平均而得到的數字特征。“各態歷經”的含義隨機過程的任一樣本函數都經歷了隨機過程所有可能的狀態。ergodic process.582.6 隨機過程n各態歷經性各態歷經性嚴格意義的各態歷經性隨機過程的各種時間平均值以概率1等于各相應的統計平均值，稱為各態歷經過程。X(t) 的時間均值X(t) 的時間自相關函

29、數22d)(1lim)(TTitittXTtX22d)()(1lim)()(TTiitiittXtXTtXtXergodicity.592.6 隨機過程n各態歷經性各態歷經性設 Xi(t) 為隨機過程 X(t) 的一個實現，若以概率1成立，則稱 X(t) 的均值具有各態歷經性；設 Xi(t) 為隨機過程 X(t) 的一個實現，若以概率1成立，則稱 X(t) 的自相關函數具有各態歷經性；若X(t) 的均值和自相關函數都具有各態歷經性，則稱 X(t) 為廣義各態歷經隨機過程。)()()(XiiRtXtXXimtX)(time average.602.6 隨機過程n各態歷經和非各態歷經過程實例各態歷

30、經和非各態歷經過程實例各態歷經過程一定是嚴格平穩隨機過程嚴格平穩隨機過程不一定是各態歷經的Ot)(tXXmXXmXXmOt)(tY)(1tY)(2tY)(3tY)(4tYensemble average.612.6 隨機過程n信號的物理量與統計值信號的物理量與統計值信號的統計值信號的統計值信號的物理量信號的物理量直流分量直流分量的功率交流分量的功率平均功率有效值交流分量的有效值Xm2Xm2X)(2tXE212)(tXEXcomponent.622.6 隨機過程n平穩隨機過程的自相關函數的性質平穩隨機過程的自相關函數的性質的功率為平穩隨機過程 )( )()0(2tXPPtXERXXX)()(XX

31、RR)()0(RRX中直流分量的功率為平穩隨機過程 )( )()()(2tXRtXERXX中交流分量的功率為平穩隨機過程 )( )()0(22tXRRXXXXinfinite.632.6 隨機過程n平穩隨機過程的功率譜密度函數平穩隨機過程的功率譜密度函數信號 s(t) 的功率譜密度函數隨機過程 X(t) 中一個樣本 Xi(t) 的功率譜密度隨機過程 X(t) 的功率譜密度TfSfPTT2)(lim)(TfXfPiTTXi2)(lim)(TfXEfPTTX2)(lim)(even function.642.6 隨機過程n平穩隨機過程自相關函數與功率譜密度的關系平穩隨機過程自相關函數與功率譜密度的

32、關系n平穩隨機過程功率譜密度的性質平穩隨機過程功率譜密度的性質PX ( f ) 0PX ( f ) 為實函數PX ( f ) 為偶函數ffPRRfPfXXfXXde )()(de )()(j2j2ffPRPXXXd)()0(real function.652.6 隨機過程n隨機相位正弦波的自相關函數隨機相位正弦波的自相關函數式中 A 和 fc 常量； 為符合均勻分布的隨機變量：先求X(t)的數學期望021sin2sin21cos2cossin2sincos2cos)2cos()(dtfAdtfAtftfEAtfAEtmcccccx)2cos()( tfAtXc其他021)( prandom p

33、hase)(tmx.662.6 隨機過程n由于X(t)的數學期望為常數，自相關函數與時間t無關，因此X(t)為寬平穩的隨機過程。)2cos(2)2cos(2d)224cos(212)2cos(2)224cos(2)22cos()2cos()()()(222222ccccccccccXfAfAftfAfEAftfEAftftfAEtXtXER 再求X(t)的自相關函數：.67【例2.7】設有一個二進制數字信號x(t)，如圖所示，其振幅為+a或-a；在時間 T 內其符號改變的次數k服從泊松分布 式中，是單位時間內振幅的符號改變的平均次數。試求其相關函數R()和功率譜密度P(f)。0,!)()(kk

34、eTkPTk+a-ax(t)tt0t-2.6 隨機過程.68解：由圖可以看出，乘積x(t)x(t-)只有兩種可能取值：a2, 或 -a2。因此，式可以化簡為： R() = a2 a2出現的概率 + (-a2) (-a2)出現的概率式中，“出現的概率”可以按上述泊松分布 P(k)計算。若在 秒內x(t)的符號有偶數次變化，則出現 + a2;若在 秒內x(t)的符號有奇數次變化，則出現 - a2。因此，用 代替泊松分布式中的T，得到)t ( x )t ( xE)(R) 5 () 3 () 1 () 4() 2() 0()()()(22PPPaPPPatxtxER222322! 3)(!2)(! 1

35、1 )(eaeeaeaR2.6 隨機過程.69由于在泊松分布中 是時間間隔，所以它應該是非負數。所以，在上式中當取負值時，上式應當改寫成將上兩式合并，最后得到：其功率譜密度P( f )可以由其自相關函數R()的傅里葉變換求出： 22)(eaR22)(eaR4)()(22202202222adeeadeeadeeadeRfPjjjj2.6 隨機過程.702.6 隨機過程n實例：隨機電報碼波形實例：隨機電報碼波形電報碼波形在時間 t 內符號改變的次數 k 符合泊松分布自相關函數功率譜密度t)(txO110!)()(kketkPtkPoisson distribution)(XROf)( fPXO2

36、e)(XR22)2(44)(ffPX.712.6 隨機過程n實例：頻帶隨機過程實例：頻帶隨機過程功率譜密度自相關函數)(XR其他0)(00fffffAfPX )2cos()2(Sa4)(0fffARX f)( fPXO0f0fAf 2bandpass noise.722.6 隨機過程n實例：白噪聲實例：白噪聲白噪聲的功率譜密度白噪聲的自相關函數white noise2)(0nfPn)(2)(0nRnf)( fPnO20n)(nRO20n.732.6 隨機過程n實例：帶限噪聲實例：帶限噪聲帶限噪聲的功率譜密度帶限噪聲的自相關函數band limited noise)(nROf)( fPnO20n

37、HfHf其他02)(HH0fffnfPn)2(Sa2)(HH0ffnRn.742.7 高斯過程n高斯過程的一維概率密度函數高斯過程的一維概率密度函數 a 為均值 2 為方差 為標準偏差Gaussian process222)(exp21);(axtxpX)(xpXax5 . 012.752.7 高斯過程n高斯過程的二維聯合高斯概率密度函數高斯過程的二維聯合高斯概率密度函數若這兩個隨機變量互不相關，即 12 = 0，則222222122111221211212212212121)()(2)()1 (21exp121),;,(axaxaxaxttxxpX);();(2)(exp212)(exp21

38、),;,(22112222212121112121txptxpaxaxttxxpXXXtwo-dimensional.762.7 高斯過程nn 維聯合高斯概率密度函數維聯合高斯概率密度函數njnkkkkjjjjknniinnnXaxaxtttxxxp1121221211exp)2(1),;,(BBBkjkkjjjknnnnnnaXaXEbbbbbbbbbb)(212212111211BB為歸一化協方差矩陣的代數余子式中元素為行列式jkjkbBBcovariance.772.7 高斯過程n高斯過程的定義高斯過程的定義若對于任何有限時刻 ti(i = 1, 2, , n)，隨機過程 X(t) 的任

39、意 n 維聯合概率密度函數符合高斯分布，則該隨機過程稱為高斯隨機過程。t)(tXOjtktdefinition.782.7 高斯過程n高斯過程性質高斯過程性質 1高斯過程的 n 維概率密度函數由各個時刻相應的隨機變量的均值集合和協方差函數集合完全確定。niatXEmiiXi, 2 , 1)(nkjmtXmtXttCkjXkXjkjX, 2 , 1,)()(),(mean set.792.7 高斯過程n高斯過程性質高斯過程性質 2平穩高斯過程的定義若則高斯過程平穩。對高斯過程而言，當它滿足廣義平穩條件時，也必然是嚴格平穩的。)(),(, 2 , 1,22kjXkjXXXiXXttCttCnkji

40、aammii或satisfy.802.7 高斯過程n高斯過程性質高斯過程性質 3若任意兩個時刻 tj 和 tk 的隨機變量 X(tj) 和 X(tk) 兩兩互不相關，即則 n 維概率密度函數成為對高斯過程而言，不相關和統計獨立是等價的。kjnkjttCkjX;, 2 , 1,0),();();();(2)(exp21),;,(22111222121nnXXXniiiiinnXtxptxptxpaxtttxxxpequivalent.812.7 高斯過程n正態分布密度函數的性質正態分布密度函數的性質關于 x = a 對稱；當 x a，單調升；當 x a，單調降；積分面積為1；當 a = 0， =

41、 1 時為標準化正態分布。x)(xpXOa21normalization.822.7 高斯過程n正態分布函數正態分布函數正態概率密度函數的積分定義為正態分布函數x1)(xFXOx)(xpXOaxzazxFxXd2)(exp21)(22distribution function.832.7 高斯過程n誤差函數誤差函數n補誤差函數補誤差函數xzzx02)dexp(2)(erfxzzx)dexp(2)(erfc2x1)(erf xO1x1)(erfc xO1error function.842.7 高斯過程n誤差函數與補誤差函數的關系誤差函數與補誤差函數的關系n正態分布函數與誤差函數的關系正態分布函

42、數與誤差函數的關系n正態分布函數與補誤差函數的關系正態分布函數與補誤差函數的關系1)(erfc)(erfxx2erf2121)(axaxxFX2erfc211)(axaxxFXcomplementary error function.852.7 高斯過程n加性高斯白噪聲加性高斯白噪聲噪聲功率譜密度為常數，即噪聲幅度符合高斯分布，即Additive White Gaussian Noise (AWGN)f)( fPnO20n2)(0nfPn222)(exp21)(axxpXx)(xpXO.862.8 窄帶過程n窄帶隨機過程的功率譜密度窄帶隨機過程的功率譜密度帶寬 f 有限，且 f fcn窄帶隨機

43、過程的時域表達窄帶隨機過程的時域表達aX(t) 為 X(t) 的隨機包絡，X (t) 為 X(t) 的隨機相位ffc fcOPX ( f )(cos)()(tttatXXcXtX(t)Onarrowband process.872.8 窄帶過程n窄帶隨機過程在時域的正交分解窄帶隨機過程在時域的正交分解)()(arctan)()()()(sin)(cos)()(sinsin)()(coscos)()(cos)()(22tXtXttXtXtattXttXtttatttatttatXcsXscXcsccXcXXcXXcX為正交分量為同相分量)()(tXtXscin-phase component.8

44、82.8 窄帶過程nXc(t) 和和 Xs(t) 的統計特性的統計特性設 X(t) 是均值為0的平穩窄帶高斯過程，則EXc(t) = EXs(t) =0Xc(t) 和 Xs(t) 也是廣義平穩的在同一時刻上得到的 Xc(t) 和 Xs(t) 是不相關的和統計獨立的。Xc(t) 和 Xs(t) 也是高斯過程；quadrature component222scXXX.892.8 窄帶過程naX (t) 和和 X (t) 的統計特性的統計特性窄帶平穩過程的包絡符合瑞利分布窄帶平穩過程的相位符合均勻分布20,21)(XXp0,2exp)(222XXXXXXaaaap.90n研究正弦波加窄帶高斯噪聲的目

45、的研究正弦波加窄帶高斯噪聲的目的很多信號可以近似看作正弦信號；信道通常是有限帶寬的；信道噪聲可以看成加性高斯過程。n正弦波加噪聲的時域表達式正弦波加噪聲的時域表達式式中，A 正弦波的確知振幅； 0 正弦波的角頻率； 正弦波的隨機相位； n(t) 窄帶高斯噪聲。2.9 正弦波加窄帶高斯過程)()cos()(0tntAtrrandom phase.912.9 正弦波加窄帶高斯過程nr (t) 的包絡的概率密度的包絡的概率密度式中， 2 n(t) 的方差； I0() 零階第一類修正貝塞爾函數。r (t)的包絡符合廣義瑞利分布，也稱萊斯分布；當 A 很小時，即信噪比很小，該分布趨于瑞利分布；當 A 很

46、大時，即信噪比很大，該分布趨于高斯分布。0,21exp)(222202xAxAxIxxprRician distribution.92nr (t) 包絡的概率密度曲線包絡的概率密度曲線瑞利分布222AdB 3dB 3dB 9dB 2.51dB 51dB 710.60.50.40.30.20.1O24681012xpr (x)2.9 正弦波加窄帶高斯過程modified Bessel function.932.9 正弦波加窄帶高斯過程nr (t) 相位的概率密度相位的概率密度設 為 r (t) 的相位，它包含正弦信號相位 和噪聲相位兩部分。 為零時的 r (t) 相位條件概率密度為：當信噪比很小

47、時，相位趨于均勻分布；但信噪比很大時，相位趨于沖激函數。2cos)exp(erf(G)11exp21)(222AGGGApr式中，Signal-to-Noise Ratio (SNR).94nr (t) 相位的概率密度曲線相位的概率密度曲線222AdB 3dB 3dB 9dB 2.51dB 51均勻分布pr ( / )3.02.52.01.51.00.5O1264312521273243652.9 正弦波加窄帶高斯過程curve.952.10 信號通過線性系統n確知信號通過線性系統確知信號通過線性系統時域關系頻域關系系統沖激響應：h( t )頻率響應：H( f )x( t )X( f )y( t )Y( f )輸入輸出)()()(thtxty)()()(fHfXfYimpulse response.96例2.10若有一個RC低通濾波器，如圖2.10.