1、平面向量常考點例析景寧中學吳松敏平面向量是高中數學中代數與幾何之間的一座橋梁,原因在于平面向量具有線性運算和坐標運算.平面向量試題,在全國各地高考題中也呈現出五彩繽紛的景象,一些考題考查的將向量的幾何性和代數性都考查的非常深刻,但把這些問題進行歸納為以下六個方面,現以例題賞析的形式供讀者理解與體會.L向量的坐標運算(平行與垂直問題)向量a=,b=(x2,y2),假設那么網丁2-9乂=°；假設._LB,那么【典型例題1】(2021秋貴陽期末)向量£=(1,0),5=(1,1),c=(-1,1).(I)%為何值時,£與)垂直？(n)假設(而十而)而,求生的值.n【解答

2、】解：(I)向量.=(1,0),b=(1,1),c=(-14).a+Ab=(l+A,A),十九坂與a垂直,(a+Ab)-a=l+A+0=0,解得兀=T,A=-l04,&+入卜與a垂直.(II)V(ma+nb)=(m,0)+(“,“)=(?+,n)又(加a+而|c,(/7?+77)xl-(-lx/?)=0,=-2.m,假設(而+拉|2,那么二=一2.【點評】抓住坐標運算不出錯,再用平行與垂直的坐標公式,關鍵是向量的平行與垂宜公式不混淆,屬于根底題.【跟蹤練習1】(2021春遵義縣校級期末)平面內三向量£=(2,1),B=(-1,3),c=(-2,2).(1)求滿足£=

3、的實數?,；(2)假設3+右)|+"),求實數k的值;(3)假設(2a+kc)_Lg+c),求實數k的值.【解答】解：(1)mb+nc=ni(-1,3)+/z(-2,2)=(in-2n3m+2n)=(2,1),Ai-m-2,1=2f解得祖=.3w7+2/?=124(2) 2a+kc=2(2,1)+k(-2,2)=(4-2Jl,2+2k),S+c=(-3,5).一一一一13V(2a+kc)(b+c)f,5(4-2&)一(-3)(2+2&)=0,解得我=萬.(3) '：(2a+kc)l(b+c),由(2)可得：-3(4-2、)+5(2+2出)=0.,1k=一82.

4、利用坐標運算解決向量的線性運算問題有關于坐標運算的法那么如下：(1)設萬=(占,乂),E=(占,%),那么值+5=(x+Z,M+K)；(2)設2二(和弘),B=(w,k),那么2-6二(為一天,弘一出)；設Ag,yJ,那么AB=OB-dA=(x2-xl,y2-yl)i設.=(x,y),4£R,那么義M=(/lx,4y)；(5)設萬二(石,yj,=(&,%),那么55=(%&+乂)2)【典型例題2】如圖,在A5C中,ZACB=90,且AC=5C=3,點M滿足麗7=2題3(1)用心5、而向量表示向量由；(2)求屈SW.【解答】解：如圖建立平面直角坐標系.由題意知：4(3,

5、0),8(0,3),.(1分)設y),由陰二2MA得:(x,y-3)=2(3-x,-y),.=2(3-y)y-3=-2yx=2j=1(4分)(1)設函=4+不礪,21-：.CM=-CA+-CB33(8分)(2)VCA7=(2,1),/.|CA7|=V22+12=>/5.(12分)【點評】建立坐標系,用向量的代數性,減少了思維含量,增加了代數運算,涉及到平面向量的根本定理.【跟蹤練習2】(2021寧城縣模擬)如圖,在矩形中,45=應,BC=2,點E為8c的中點,點尸在邊8上,假設麗而=>/1,那么通斯的值是()A.2-72B.1C.42D.2【解答】解：據題意,分別以AB、AO所在直

6、線為Hy軸,建立如下圖平面直角坐標系,那么：A(0,0),B(>/2,0),石(>/11)設尸(x,2)；ABAF=(V2,0)(x,2)=V2x=>/2x=1；AF(l,2),AF=(V2,1),=(1-72,2)；/.AE-BF=-2+>/2=V2.應選：C.(1)4與B的數量積(或內積)：ab=aBcos.；(2)投影：Icose是向量B在向量.方向上的投影；(3)兩向量的夾角公式：c°s0=乃=r(萬二(演,M),5二區,K)/I叫心+環.收+為【典型例題3】如圖,邊長為1的正方形A6CQ的頂點A,O分別在x軸、),軸正半軸上)【解答】解：如圖令/.4

7、.=凡由于40=1故QA=cos8,OO=sin.,jrrrjr如圖ZBAx=-0,AB=l,故/=cose+cosg-e)=cose+sine,%=sin(y-)=cos.故OB=(cos£+sui仇cos.)同理可求得C(sine,cose+sin6),即OC=(suicos+sni0),OB-OC=(cos0+sin0,cos0)(sin仇cos.+sin夕)=l+sin28,歷&=l+sin2.的最大值是2,應選：A.【點評】數量積問題要注意投影概念的使用,利用幾何性質會使問題簡單很多.【跟蹤練習316.2021秋楊浦區校級月考在AA8C中,尼是邊上的一個定點,滿足“

8、=而,且對于邊A5上任意一點尸,恒有而正之方.熊,那么0400jrjrA.B=-B.A=C.AB=ACD.AC=BC22【解答】解：設I屈1=4,那么|麗|=1,過點C作A5的垂線,垂足為,在48上任取一點尸,設線=.,如下圖；那么由數量積的幾何意義可得,麗.正=|麗,兩卜而4+1|麗族.女二-于是麗無之冗5屈恒成立,整理得萬一-4+1|而|之0恒成立,只需=a+4.=a1尸40即可,于是a=1,因此我們得到"5=2,即"是48的中點,A48C是等腰三角形,即AC=6C.應選：D.模長公式：|a.或a|=aa【典型例題4】(2021春遼寧期末)己知向量三,?,滿足片=2,|

9、b=大二3,假設化-2彷«-,辦=0,那么的最小值是()A.2-V3B.2+V3C.1D.2B【解答】解：根據條件,設.=(1,百),3=(3,0),設5=(%>),貝ij：(c-2a)-(c-b)=(x-2,y-2a/3)(x-2,y)=0(x-2)2+(y-/)2=3的終點在以(2,6)為圓心,石為半徑的圓上,|E二|的最小值為：J(2-3)2+(V-0)2-VJ=2-VL應選：A.【點評】向量模的問題在于公式的運用,很多同學用人但最終會忘了開根號,建議一開始就是用訃后.【跟蹤練習4】假設非零向量；與向量E的夾角為鈍角,|畝=2,且當f=-g時,歸-同取最小值向量量滿足.)

10、,那么當3G+E)取最大值時,鼠工等于()A.V&B.23C.2V2D.總2【解答】解：另一；|2=|5-同=求尸一2府.方十戶_,乙Gb、門(萬力)一aa.當r=2時,|5-同取最小值退.%=一一沙=3,a-2a解得同=2,1B=-2,2x2xcos>=-2,cos<a,不妨設5=(-L/),方=(2,0),5=(x,y)向量滿足仁-3)_1化-.),/.(c-b)(c-a)=(x-2,y)(x+l,y-43)=(x-2)(x+l)+y(y-y/3)=U-)2+(y-)2-3=o,(X_；)2+(y_*)2=3.(*)c(a+b)=(x,y)-(l,y3)=x+>/

11、3y.令f=x+.當上述直線與(*)相切時,=V3,解得2£=2±20,取f=2+2有時,UR)取最大值.,籃+V±2+2V此時聯立鳥居(y李5“一2解得3+忖二仁(丁苧).2百丫(與1產+港彳我.應選：A.5.向量的極化恒等式問題向量的數量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線與“差對角線平方差的'即：a=l|AC|2-|DB|2平行四邊形模式A2a<g=|AM|2-|BC|2三角形模式/4BMC這個公式將向量的加法、減法和數量積融合在一個式子中,備受命題老師的青睞,浙江省考卷從2021年開始多年考卷考查到這個知識點.【典型例題5】如

12、圖,線段48長度為2,點48分別在x非負半軸和y軸非負半軸上滑動,以線段48為一邊,在第一象限內作矩形ABC.,BC=1,O為坐標原點,那么方而的取值范圍是.y1解：vOC=OB+BCfOD=OA+ADfBC=ADN/:.OCOb=OB+BCOA+AD:=OAOB+OA+OBBC+BC2=OA+OBBC+1而設48的中點為M,那么礪+而=2兩,所以礪+礪灰=2兩就=2|兩|團|cos<麗,=2x3xlxcos<OM,BC>,而<OM,BC>g0,y所以瓦歷【點評】極化恒等式在平行四邊形和三角形中的幾何意義是關鍵,尋找中點是突破口.【跟蹤練習5在MBC中,M是6C的

13、中點,AM=3,8C=10,那么ABAC=_-16解：麗衣=麗7+麗赤+荻=與7+麗麗7-麗=麗萬-加=9-25=166,向量與三角函數結合問題向量與三角內容的結合會從以三角形為載體的三角函數問題幾何性質角度或數量積的形式得出關于角的一個函數問題代數性質角度.【典型例題6】向量3=cos.,sin.,B=cos2夕,sin2.,3=-1,0,d=0,1.(1)求證：aJ_(b+c)；(2)設)二二年元),當ec(o,?)時,求/(夕)的值域.【解答】解：(1)ab=coscos2+sinsin2=cos,ac=-cosO.:.a(b+c)=ab+ac=cos0-cos0=0,/.aJ_Cb+c).:.f(0)=a(b-d)=ab-ad=cos,-sinJ=&(孝cosd一sin8)=Vcos(8+?). 丘(0,.,(外界G,手).2444.局巴,JI41. cos(+)G.y2COS+G-1,1.4 /e£-i,i.【點評】此題考查了數量積運算、向量垂直與數量積的關系、兩角和的