1、軌跡方程經典例題一、軌跡為圓的例題：1、必修2課本P.B組2：長為2a的線段的兩個端點在X軸和y軸上移動，求線段AB的中點M的軌跡方程:必修2課本PB組：已知M與兩個定點(0,0),A(3,0)的距離之比為求點M的軌跡方程；(一般地：必修2課2本P,B組2：已知點M(x,y)與兩個定點M1,M2的距離之比為一個常數m；討論點M(x,y)的軌跡方程(分m=1,與m=1進行討論)BMA2、必修2課本P122例5：線段AB的端點B的坐標是(4,3),端點A在圓(葉1)2+y2=1上運動，求AB的中點M的軌跡。(2013新課標2卷文20)在平面直角坐標系xOy中，已知圓P在X軸上截得線段長為2<

2、2,在y軸上截得線段長為2寸口。(1)求圓心的P的軌跡方程;/2(2)若P點到直線y=x的距離為，求圓P的方程。2如圖所示，已知(4,0)是圓葉2=36內的一點，、是圓上兩動點，且滿足N=90°,求矩pxyABAPB形APBQ的頂點Q的軌跡方程.解：設的中點為，坐標為(，),則在Rt4中，I1=1I.又因父R是弦的中點,ABRxyABPARPR/_Z(x4)y所以有在此圓上運動時，點即在所求的軌跡上運Q+一y。，代入方程2-4-io=o2依垂徑定理：在Rta中，II2=lI2-|I2=36(2+2)又I1=11=22OARARAOORxyARPR(-4)2+2=36-(2+2),即2

3、+2410=0因此點在一個圓上，而當xyXyxyxRR動.十設(，y)，(.y)，因為R是PQ的中點，所以x=A"+*1?-v+4(1)若圓心C也在直(4)2(y)24x10=0整理得：x?+y2=56,這就是所求的軌跡方程.在平面直角坐標系xOy中，點A(0,3),直線1:y2x4.設圓C的半徑為1,圓心在1上.線yx1上，過點A作圓C的切線，求切線的方程;(2)若圓C上存在點M,使MA2MO，求圓心C的橫坐標a的取值范圍.（2013陜西卷理20）已知動圓過定點A（4,0）,且在y軸上截得弦MN的長為8.（1）求動圓圓心的軌跡C的方程；（2）已知點B（_l,0）,設不垂直于x軸的直

4、線1與軌跡C交于不同的兩點P,Q,若x軸是/PBQ的角平分線，證明直線1過定點。二、橢圓類型：3、定義法：（選修2-1P5。第3題）點M（X,y）與定點F（2,0）的距離和它到定直線X=8的距離之比為1,求點2M的軌跡方程.（圓錐曲線第二定義）討論：當這個比例常數不是小于1,而是大于1,或等于1是的情形呢？（對應雙曲線，拋物線）4、圓錐曲線第一定義：（選修2-1P5。第2題）一個動圓與圓.x2+y2+6x150=外切，同時與圓x2+y2-6x"91%內切，求動圓的圓心軌跡方程。5、圓錐曲線第一定義：點M（xo,yo）圓Fl（#l）2+y2=9上的一個動點，點F2（1,0）為定點。線段

5、MF2的垂直平分線與MF1相交于點Q（x,y）,求點Q的軌跡方程;（注意點F2（1,0）在圓內）6、其他形式：（選修2-1P50例3）設點A,B的坐標分別是（-5,0）,（5,0）,直線AM,BM相交于點M,且他們的斜率4的乘積為，求點M的軌跡方程：（是一個橢圓）94（討論當他們的斜率的乘積為一時可以得到雙曲線）9（2013新課標1卷20）已知圓M:（x+l）2+y2=i,圓N:（x-l）2+y2=9,動圓P與圓M外切并且與圓N內切,PC1C21PM1C圓心的軌跡為曲線。（）求的方程；（）是與圓，圓都相切的一條直線，與曲線交于A,B兩點，當圓P的半徑最長時，求AB|(2013陜西卷文20)已知

6、動點M(x,y)到直線l:x=4的距離是它到點N(l,0)的距離的2倍。(1)求動點M的軌跡C的方程(2)過點P(0,3)的直線m與軌跡C交于A,B兩點，若A是PB的中點，求直線m的斜率。三、雙曲線類型:+=8、圓錐曲線第一定義：點'xo,yo)/Fi(xi)2y21上的一個動點，點F2(1,0)為定點。線段MF2的垂直平分線與MF1相交于點Q(x,y),求點Q的軌跡方程；(注意點F2(1,0)在圓外)-，求點M的軌跡方41(2定義法：(選修2-1P59例5)點M(X,y)與定點F(5,0)的距離和它到定直線X=_的距離之比為5程.(圓錐曲線第二定義)四、拋物線類型：10、定義法：(選

7、修21)點M(X,y)與定點F(2,0)的距離和它到定直線X=-2的距離相等，求點M的軌跡方程。(或：點M(X,y)與定點F(2,0)的距離比它到定直線X=-3的距離小1,求點M的軌跡方程。)(2013陜西卷文20)已知動點M(x,y)到直線1:x4的距離是它到點N(l,0)的距離的2倍。(1)求動點M的軌跡C的方程(2)過點P(0,3)的直線m與軌跡C交于A,B兩點，若A是PB的中點，求直線m的斜率已知三點0(0,0),A(2,1),B(2,l),曲線C上任意一點M(x,y)滿足TTT+=,+IMAMBIOM(OAOB)2。(1)求曲線C的方程；1222I上任意一點M,M到直線x=-)在直角

8、坐標系xOy中，曲線C的點均在C：(x-5)+y=9外，且對C2的距離等于該點與圓C2上點的距離的最小值.(I)求曲線Ci的方程；(湖北)設A是單位圓x?+y2=l上的任意一點，i是過點A與x軸垂直的直線，D是直線i與x軸的交點，點M在直線1上,且滿足IDMI=mIDA|(m>0,且mW1)。當點A在圓上運動時，記點M的軌跡為曲線Co(I)求曲線C的方程，判斷曲線C為何種圓錐曲線，并求焦點坐標；(遼寧)如圖，橢圓Co：=l(a>b右，a,b為a2b2Ci:x2y2ti2,b。點Ai,A2分別為Co的左,交于A,B,C,D四點。(I)求直線AA1與直線A2B交點M的軌跡方程；(四川)

9、如圖，動點M到兩定點A(T,0)、B(2,0)構成常數)，動圓與CoCo(I)求軌跡C的方程；(II)設直線y=-2x+m與y軸交于點P,與軌跡C相交于點Q、R,且IPQIli)RI,IPRI求的取值范圍。IPQI1 .()已知橢圓的焦點是B、F2,P是橢圓上的一個動點，如果延長BP到Q,使得IPQI=IPF2I,那么動點Q的軌跡是()A.B.橢圓C.雙曲線的一支2 .()設A、A是橢圓/+占=1的長軸兩個端點,D.拋物線是垂直于AA的弦的端點，則直線AP與AP交點的軌跡方程為()A.c.針廿=lD.y294x2=l94二、填空題3.()ABC中,aA為動點，B、C為定點，B(-,0),C(a

10、,。)2，且滿足條件sinCsinB=sinA,則動點A2的軌跡方程為4.()高為5m和3m的兩根旗桿豎在水平地面上，且相距10m,如果把兩旗桿底部的坐標分別確定為A(一5,0)、B(5,0),則地面觀測兩旗桿頂端仰角相等的點的軌跡方程是.三、解答題上的三點，且IABI=IBCI=6,。O'切直線1于點A,又過B、C作。O'異于5.()已知A、B、C是直線11的兩切線，設這兩切線交于點，求點的軌跡方程.PP文檔大全實用標準x為X軸，以一的中點為原點，建立坐標系，可求得動點P的軌跡方程為81726.解:設P(xo,yo)(x#±a),Q(x,y).,*Ai(a,0),A

11、z(a,0).x+axo+a由條件yyoI1=-ix-axo-a而點(o,o)在雙曲線上，,Pxyxo=-x(xo*±a)榭x2-a2yo=Iy22222222即b(-x)a(a)=aby化簡得Q點的軌跡方程為：a2x2-b2y2=4(x#土a).8.解：(I),點F?關于l的對稱點為Q,連接PQ,ZF2PR=ZQPR,IF2RITQRI,IPQI=IPF2I又因為l為NBPB外角的平分線，故點Iil=l2I+Il=lil+l2I=2,貝U(FQFPPQFPPFax'xi+cXO=又2I_ILyoL2得xi=2xoc,yi=2y().77)1Am:.(2xo)+(2y()=(

12、2a),:.xo+y()=a.故R的軌跡方程為：x2+y2=a2(yW0)(2)如右圖，aaob=!lI-IIsinS-OAOB2當N=90°時,AOBAOB最大值為S2aFixP、Q在同一直線上,設存在R(Xo,yo),Q(xi,yi),Fi(c,0),F2(c,0).此時弦心距IOCI二在RtAOC中，ZAOC=45°,J2°=二，k=±2IOCIlakI=cos45IOAI/1+k2專題一：求曲線的軌跡方程課前自主練習：1 .如圖1,MBC中，已知B(-2,0),C(2,0),點A在x軸上方運動，且tanB+tanC=2,則頂點A的軌跡方程是.2

13、.如圖2,若圓C：(xt)2+y2=36上的動點M與點B(l,0)連線BM的垂直平分線交CM于點G,則G的軌跡方程是圖1圖2圖3圖4實用標準+=1上運/3 .如圖3,已知點A(3,0)，點P在圓x2y2動，-AOP的平分線交AP于Q,則Q的軌跡方程是4 .與雙曲線x2-2y2-2有共同的漸近線，且經過點(22)的雙曲線方程為.5 .如圖4,垂皂步y軸的直線與y軸及拋物線y2-2(；1)分別交于點A、P,點B在y軸上，且點A滿足IABI2IOAI,則線段PB的中點Q的軌跡方程是.幾種常見求軌跡方程的方法：1.直接法：由題設所給(或通過分析圖形的幾何性質而得出)的動點所滿足的幾何條件列出等式，再用

14、坐標代替這等式，化簡得曲線的方程，這種方法叫直接法.直接法求軌跡方程的一般步驟：建系設點十例1(1)求和定圓x2y2列式代換化簡檢驗;R2的圓周的距離等于R的動點P的軌跡方程;(2)過點A(a,O)作圓O:R2(a>R>0)的割線，求割線被圓O截得弦的中點的軌跡.=+=+=解:(1)設動點P(x,y)，則有IOPI2R或IOPI。.即x+二十故所求動點P的軌跡方程為x2y24R2或y22y24R2或x?y20.0.(2)設弦的中點為M(x,y),連結OM,貝iJOM1,化簡得：(xAM.VkoMkAMa3(y.2其軌跡是以OA為直徑的圓在圓【例2】已知直角坐標平面上一點Q(2,0)

15、O內的一段弧,不育學點).和圓C：X2y2-1,動點M到圓c的切緣長等于圓C的半徑與IMQI的和.求動點M的軌跡方程，并說啰它表示什么曲線.解：如圖,AIOMI2設MN切圓C于N,又圓的半徑ION門，+=*一INMI2IONI2-INMI21,AIMNIIOM21,已知IMNIIMQI設M(x,y),則x-y1.2x3=V(x-2卞y2,即我+2)2y2y2-8x1,>-50(x3).2233故所求的軌跡是以點(,。)為中心，實軸在x軸上的雙曲線的右支，頂點為(，0),如圖.3>3【例4】已知定圓A的半徑為r,定點B與圓A的圓心A的距離為m(m2r).又一動圓P過定點B,且與定圓A

16、相切.求動圓圓心P的軌跡方程.解：以AB所在的直線為x軸，以AB的中點為原點建立坐標系，如圖.當動圓P與定圓A外切時，IPAIIPBIr；當動圓P與定圓A外切時，IPBIIPAIr.由雙曲線的定義知動圓圓心=m=-支).顯然，C,又a2Sfb2-c2nr-r2.4P的軌跡應是以A、B為兩焦點的雙曲線(外切時為右支，內切時為左x44M所以所求的點p軌跡方程是：3.動點轉移法：若動點P（x,y）隨已知曲線上的點Q（xo,yo）的變動而變動，且xo、yo可用x、y表示,則將Q點坐標表達式代入已知曲線方程，即得點P的軌跡方程.這種方法稱為動點轉移法（或代換法或相關點法）.【例5】已知定點A（3,l）、

17、B為拋物線y2=x+l,上任意一點，點P在線段AB的中點，當B點在拋物線上變動時，求點P的軌跡方程.解：設點P（x,y）,且設點B（xo,yo）,則有yo2=x（）+l.,點P是線段AB的中點.由中點坐標公式得：'xo+3x2Jxo=2x-32_十2yo+1,yo=2y-1.將此式代入yo=XO1中，并整理得：（2y-l）=2xa,y='2即為所求軌跡方程.它是一條拋物線.4 .待定系數法：當動點的軌跡是確定的某種曲線時，設出這種曲線的方程，然后列方程，求出所設的參數，進而求出方程.如求圓、橢圓、雙曲線以及拋物線的方程常用待定系數法求.【例7】若拋物線y2=4x和以坐標軸為對稱

18、軸、實軸在y軸上的雙曲線僅有兩個公共點，又直線y=2x被雙曲線截得的線段長等于/5，求此雙曲線方程.解：設所求雙曲線方程為金一二=1,將y2=4x代入整理得：a2x2_4b2x+a2b2=0.a2b2,拋物線和雙曲線僅有兩個公共點，根據它們的對稱性，這兩個點的橫坐標應相等，因此方程a?X2-41?x+a2b2=0應有等根.=16b'4a3b2=0,BPa2=2b.由y2x和i得：（4bLa2）x2_a2b2=0.a2b2（1丁,I_a2b2由弦長公式得：25=Q攵2XI+X2）2-4XIX2=。-（4）（-二2一2）:j74b-a-x2=1.2t,并用t表示便可得到動點P的即a2b2=

19、4b2_a2.由ja2=2b得：a2=2,b2=1.雙曲線的方程是!a2b2=4b2-a25 .參數法：當動點P的坐標x、y之間的直接關系不易建立時，可適當地選取中間變量r_f（t）動點P的坐標x、y,從而動點軌跡的參數方程8=消去參數t,8=g。）的軌跡的普通方程，但要注意方程的等價性，即有t的范圍確定出x、y的范圍.B(X2,y2),與xZ4y聯立得:y（D）雙曲線【例8】拋物線x2=4y的焦點為F,過點（0,-1）作直線交拋物線于不同兩點A、B,以AF、BF為鄰邊作平行四邊形FARB,求頂點R的軌跡方程.十，中點為解：設R(x,y),AB：y17xABM(xo,yo),A(xi,yi),

20、x2-4kx+4=0.=16(k210,xi+X2=4k,xi*X2-4.yi+y2+2=k(xi+x2)Wk2,yi+y2=4k2-2.M(2k,2k2-l),VF(0,1),M為AB中點，x=4k,y=4k2-3.消k得：x2=4(y+3)(y.鞏固練習：1 .平面上和兩相交的定圓(半徑不等)同時相外切的動圓圓心的軌為(A)橢圓的一部分(B)橢圓(C)雙曲線的一部分2 .已知動點M與定點F（2,0）的距離比動點M到y軸的距離大2,則動點M的軌跡（）（D）拋物線和一直線（A）拋物線（B）拋物線的一部分（C）拋物線和一射線3 .已知定直線1和1外一點A,過A與1相切的圓的圓心軌跡是（）實用標準

21、(A)拋物線(B)雙曲線(C)橢圓(D)直線4.一動圓與兩圓x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切，則動圓圓心軌跡為(5.6.(A)圓已知橢圓的焦點是動點Q的軌跡是(A)圓已知點A(一2,0)、(A)圓(B)橢圓(C)雙曲線的一支Fi、F2、P是橢圓上的一個動點.如果延長(D)拋物線FiP到Q,使得IPQI=1PF2I,那么)(B)橢圓(D)拋物線B(3,0)，動點P(x,y)滿足PAPB，則點P的軌跡是(B)橢圓(C)雙曲線(D)拋物線7.與圓x2+y2-4x=0外切，又與y軸相切的圓的圓心的軌跡方程是(A) y2=8x(B) y2=8x(xX)和y2(Oy2=8x(x>0)

22、(D)y2=8x(xX)和y歸x/8.過拋物線y2=2x的焦點作直線與此拋物線相交于兩點P、Q,則線段PQ中點的軌跡方程為()9.(A)y2=2x-1(B)y2=-2x+1(C)y2=2x(D)y22k2wP(x.y)XyABQpy過點的直線gu與的正半.和j軸的正半軸交于、兩點，點與點關于O為坐標原點，若BP=2PA,且OQAB'=1,則點P的軌跡方程是()軸對稱,10.(A) 3x2+3y2=i(x>0,y2(C)_x2_3y2=i(x>0,y2已知兩點M(一2,0)、N(2,0)點P(x,y)的軌跡方程為(夕)(B) 3x2_3_y2=1(x>0,yJ7(D)_X-2+3y2=1(x>0,y9)11.(A)y2與雙曲線=8xX2(B)2，點P為坐標平面內的動點,)y2=-8x(C) y2滿足=4xI