1、圓錐曲線軌跡及方程求法大全軌跡方程的若干求法求軌跡方程是高考中常見的一類問題.本文對曲線方程軌跡的求法做一歸納，供同學們參考.、直接法直接根據等量關系式建立方程.例1已知點A(-20),B(&0),動點P(X，y)滿足PAPB=九2，則點尸的軌跡是()A.圓B.橢圓C.雙曲線D.物線解析：由題知PA=(-2-x->'),PB=(3-x,-y),由麗麗=上,得(一27)(37)+)3=/，即y2=x+69點軌跡為拋物線.故選D.二、定義法運用有關曲線的定義求軌跡方程.例2在AABC中,BC=24AC,AB上的兩條中線長度之和為39,求AABC的重心的軌跡方程.解：以線段比所

2、在直線為軸，線段"的中垂線為y軸建立直角坐標系，如圖1，貝!J有|W|+|CM|=-x39=26AM點的軌跡是以B,C為焦點的橢圓,-120例7J12%其中C=124=13=-3=5，所求ABC的重心的軌跡方程為總+(=Ky*o).Io923注意：求軌跡方程時要注意軌跡的純粹性與完備性.三、轉代法此方法適用于動點隨已知曲線上點的變化而變化的軌跡問題.例3已知八4笈。的頂點8(-30),C(1,O)9頂點A在拋物線上運動，求AABC的重心G的軌跡方程.解：設G(x,y)9A(%/)9由重心公式，得-37+.v()A-93V旦)-3又丁A(知)在拋物線y=Y上，)。=X；將，代入,得3y

3、3+2)0,即所求曲線方程是y=3/+4x+*w0).四、參數法如果不易直接找出動點的坐標之間的關系，可考慮借助中間變量(參數)，把X,y聯系起來.例4已知線段AAf=2ci9直線,垂直平分于O9在,上取兩點P，P,使有向線段。戶“滿足。戶OP=4,求直線AP與”的交點”的軌跡方程.解：如圖2,以線段期所在直A0Arx圖2線為X軸，以線段6的中垂線為)軸建立直角坐標系.設點P(0,t)(tO)9則由題意,得0,-t由點斜式得直線”"P的方程分別為兩式相乘,消去,4x2+a2y2=4/()，。0)這就是所求點M的軌跡方程.評析：參數法求軌跡方程，關鍵有兩點：一是選參，容易表示出動點；二

4、是消參，消參的途徑靈活多變.五、待定系數法當曲線的形狀已知時，一般可用待定系數法解決.例5已知力,B,4三點不在一條直線上，且A(-20)93(20)9AD=2yAE=(AB+AD)（1）求七點軌跡方程;（2）過a作直線交以為焦點的橢圓于M,兩點，線段的的中點到）軸的距離為之,且直線與E點的軌跡相切，求橢圓方程.解：（1）設E（x，y）9AE=AB+AD）知上為初中點,易知D(2x-2,2y).又回=2,U!|(2x-2+2)2+(2y)2=4即E點軌跡方程為/+），2=1（開0）；（2）設M（x，y）N（x2,y2）9中點（%光）由題意設橢圓方程為之直線的方程ercr-4為y=&（x

5、+2）.直線MN與E點的軌跡相切，.昌解得k士¥.JK+13將y=±g(a-+2)J代入橢圓方程并整理，得4(a2-3)x2+4a2x+6a2-3a4=0,_內+g_,°-5-2?又由題意知.=3,即一D*解得/2(-3)5故所求的橢圓方程為殲滅難點訓練一、選擇題1.已知橢圓的焦點是為、尸2,尸是橢圓上的一個動點，如果延長HP到。，使得1尸。=1尸方21,）B橢圓D.拋物線那么動點Q的軌跡是（A.圓C.雙曲線的一支2.設Ai、42是橢圓+1=1的長軸兩個端點,Pi、P2是垂直于A1A2的弦的端點，則直線A1P1)B.C+E=i94C22D.lj94與A2P2交點的

6、軌跡方程為(AE+E=i94C.£-£=i94二、填空題3 .AAbC中，A為動點，B、。為定點，B(-90),C(,0),且滿足條件sinCsinB=；sinA,則動點A的軌跡方程為.4 .高為5m和3m的兩根旗桿豎在水平地面上，且相距10m,如果把兩旗桿底部的坐標分別確定為4(-5,0)、B(5,0),則地面觀測兩旗桿頂端仰角相等的點的軌跡方程是三、解答題5 .已知4、B、C是直線I上的三點，且IABI=IBCI=6,QOf切直線/于點A,又過氏C作。O'異于/的兩切線，設這兩切線交于點P,求點P的軌跡方程.6 .雙曲線的實軸為AiA2,點P是雙alr曲線上的一

7、個動點，引A10JLA1P,AiQVAzP,4。與420的交點為。，求。點的軌跡方程.7 .已知雙曲線二一二=1(相>0,>0)的頂點為nr4、42,與y軸平行的直線,交雙曲線于點P、。求直線AiP與AiQ交點M的軌跡方程;(2)當mn時，求所得圓錐曲線的焦點坐標、準線方程和離心率.點,8.已知橢£+4=1(0>)>0),點P為其上一crFl、尸2為橢圓的焦點，N為的外角平分線為1,點后關于/的對稱點為。，交/于點艮當P點在橢圓上運動時，求尺形成的軌跡方程;(2)設點R形成的曲線為C,直線I：y=k(x+J2a)與曲線C相交于4、b兩點，當ZkAOb的面積取得

8、最大值時，求人的值.4(-0)。參考答案殲滅難點訓練一、L解析：PFi+PF2=2a,PQ=PF2,，I產bil+IP2l=IPJ%l+IP0l=",即0動點Q到定點Fi的距離等于定長射,故動點Q的軌跡是圓.答案：A2.解析：設交點尸(xj)41(-3,0)42(3,0)m(X0j0)r2(X0,Jo)VAi.Pi.尸共線，紇，2、尸2、尸共線，"曳=上x-x0x-3解得蟲)=2,%=起,代入得4=1,即AX9494答案：C二、3.解析:由sinCsinB=；sinA,得b=*，二應為雙曲線一支，且實軸長為多故方程為16x216v21Za、,一守二叱/答案:16x216y2

9、a4.解析：設P(xj),依題意有7(x+5)2+y2&-5)2+)，化簡得尸點軌跡方程為4x2+4y285x+100=0.答案：4x2+4/-85x+100=0三、5.解：設過3、C異于/的兩切線分別切。O'于。、E兩點，兩切線交于點P.由切線的性質知：BA=BD9PD=PE,IC4HCEI,IPBI+IPCI=IBDI+IPZ)I+IPCI=IBAI+IPEI+IPCI=IBAI+ICEI=L4BI+IC4I=6+12=18>6=IBCI,故由橢圓定義知，點尸的軌跡是以。為兩焦點的橢圓，以/所在的直線為X軸，以be的中點為原點，建立坐標系，可求得動點尸的軌跡方程為=l

10、(yWO)8172V76.解：設P(xojo)(x#土VAi(a,0)/i2(a,0).由條件x()="x(x0h±a)*>ir一>o=yy九二_X+"/+”知上=x-ax0-a而點P(xoJo)在雙曲線上，2Xo2-a2y(=a2b2.即bx2)a2()2=a2b2化簡得。點的軌跡方程為:a2x2b2y2=a4(x#±).7.解：(1)設P點的坐標為(xiji),則。點坐標為(Xi,VI),又有A1(一加,0)42(根,0),則A1P的方程為：y=(X+m)'X|+mAiQ的方程為：J=_2j_(x-MX得:又因點P在雙曲線上,故因

11、-右曬/工(X”)."rtrm代入并整理得£+E=l.此即為M的軌跡方nr-程.(2)當，nWn時，M的軌跡方程是橢圓.(i)當m>n時，焦點坐標為(土而彳,0),準線方程為x=±q,離心率e=®HZ；加2一2m(ii)當m<n時，焦點坐標為(0,土K7),準線方程為尸±，離心率e=a三V，廠一廠8.解：（I）：點尸2關于/的對稱點為0,連接P。，/.ZF1PR=ZQPR9F1R=QR9pq=pf2又因為I為NF1PF2外角的平分線，故點為、尸、。在同直線上，設存在R(xojo)0X1/1)歷(一c,O)g(c,O).得xi=2x。c)i=2yocFiQ=F2PMPQ=FiP+PF2