1、EX1.矢量空間練習試只用條件18證實八2,0和1完成人：梁立歡審核人：高思澤證實：由條件5、7得11112只需證實0和1這兩式互相等價根據條件70(00)00現在等式兩邊加上0),根據條件上式左根據條件(4),(4)、0)0)0)0)0),根據條件4、0(11)(1)(7)1)練習證實在內積空間中假設對任意成立,那么必有1完成人：谷巍審核人：肖桂斐證實由題意可知,在內積空間中假設對任意成立,那么有=0于是有1,2,由于在內積空間中1,2,對任意成立,那么可取12,那么有12,12=0成立(3)根據數乘的條件(12)可知,那么必有12./(4)即12故命題成立,即必有12.#練習矢量空間運算的

2、12個條件是不是獨立的？有沒有一條或兩條是其余各條的邏輯推論？如有,試證實之.(完成人：趙中亮審核人：張偉)解：矢量空間運算的12個條件是獨立的.#練習(1)在第二個例子中假設將加法的規定改為：和矢量的長度為二矢量長度之和,方向為二矢量所夾角180的分角線方向,空間是否仍為內積空間？(2)在第二個例子中假設將二矢量由口百內積的定義改為|a|B|sin或1 1、一一_.一一,一一、一1ABsin,空間是否仍為內積空間？2 (3)在第三個例子的空間中,假設將內積的定義改為*.l,mI1m12I2m23I3m34I4m4空間是否仍為內積空間？(4)在第四個例子的函數空間中,假設將內積的定義改為b*f

3、(x),g(x)f(x)g(x)xd燉ab*2f(x),g(x)f(x)g(x)xdxa空間是否仍為內積空間？(完成人：張偉審核人：趙中亮)解：(1)在第二個例子中假設將加法的規定改變之后,空間不是內積空間由于將規定改之后對于任意的矢量不一定存在逆元,如一個不為零的矢量設為A,那么任意矢量和它相加后,得到的矢量的長度不為零,所以一定不能得到零矢量,即找不到逆元.所以空間不是內積空間.(2)在第二個例子中假設將內積的定義改之后,空間不是一個內積空間.證實如下:*B般情況下,A,BCABCsinC,即有ABsinCsin=A,BA,C所以內積的定義改變之后不是內積空間.(3)在第三個例子中假設將內

4、積的定義改之后,空間仍然是一個內積空間.證實如下:一*m,1.*.(mi1i一*.*.*2m2123m3134m414).*11m1212m2313n*414m41,m1,m1i(mini)212(m2血)3L(m31,maiv.1,1(1imi1,m*212m21,n*313m3*414mu)(1i*%)414(m4*n1212n2313山)*、%414Q).*1ima一*a(1imia1,m*212m2a一*212m2*313m3a一*313m3.*414m4a一*.414m4)|1i|22I"23|13|24|14|20,對任意1成立假設1,1bf(x),g(x)fa(x)g(

5、x)xdx后,空間不是內積空間.0,那么必有1i1213140,即10綜上所述,新定義的內積規那么符合條件(9)一條件(i2),所以仍為內積空(4)在第四個例子的函數空間中,假設將內積的定義改為由于f(x),f(x)_*_f(x)f(x)xdxbi2一.,一一一一,f(x)xdx,積分號內的函數是一個奇函數,它不能保證對于任意的fX積分出來后都大于零,即不符合條件12,所以不是內積空間在第四個例子的函數空間中,假設將內積的定義改為-b2fx,gxfxgxxdx后,仝間是內積仝問ax*-2g(x)f(x)xdx*g(x),f(x)證實如下：*2If(x),g(x)f(x)g(x)xdxaiif(

6、x),g(x)hx*2f(x)g(x)xdxb*2f(x)h(x)xdxf(x),g(x)f(x),hxIIIf(x),g(x)a2,f(x)g(x)axdxa*2,f(x)g(x)xdxaf(x),g(x)b22,、ivf(x),f(x)f(x)xdx0,對任息成立a,一b2c_右f(x),f(x)af(x)xdx0,那么必有fx0綜上所述,新定義的內積規那么符合條件9一條件12,所以仍為內積空問.練習假設a為復數,證實假設a時,Schwartz不等式中的等號成立.完成人：肖桂斐審核人：谷巍證實：當假設a時,分別帶入Schwartz不等式的左邊和右邊.左邊二,aa2.2右邊二aa,左邊二右邊

7、,說明當a時,Schwartz不等式中的等號成立.小#練習證實當且僅當|a|a|對一切數a成立時,與正交.并在三維位形空間討論這一命題的幾何意義.完成人：趙中亮審核人：張偉證實：解：當|a|a|對一切數a成立時,有22Ia|Ia|即(a,a)(a,a)得(,)(,a)(a,)(a,a)(,)(,a)(a,)(a,a)即(,a)(a,)/(,)aa(,)由于a可以取一切數,所以當a取純虛數時,即a'a得(,)(,)由此得(,)只能是實數當a取非零實數時,即aa(,)(,)只有(,)0時,即與正交時才成立所以當|a|a|對一切數a成立時,與正交.當與正交時,(,)0那么(,)(,)0取a為

8、任意數那么(,)aa(,)0(,a)(a,)2(,a)2(a,)(,)2(,a)(a,a)(,)2(a,)(a,a)(,)(,a)(a,)(a,a)(,)(,a)(a,)(a,a)(a,a)(a,a)|a|2|a|2得|a|a|即|a|a|對一切數a成立綜上,當且僅當|a|a|對一切數a成立時,與正交.在三維位形空間中,這一命題的幾何意義是：對角線相等的平行四邊形是矩形.練習證實：當且僅當對一切數成立時,與正交(完成人：班衛華審核人：何賢文)證實：由于|卜|兩邊平方得0那么構成以為變量的二次函數,要使對一切成立,判別式包小于等于零,即()20只需0即(,)(,)0得(,)0所以當對一切數成立時

9、,與正交.練習在四維列矩陣空間中,給定四個不正交也不全歸一的矢量:11110111,2-,3,4,00110001它們構成一個完全集,試用Schmidt方法求出一組基矢.(完成人：肖桂斐審核人：谷巍)解：由Schmidt方法,所求基矢：100011,11,110010001I20100010032,1110100001000010330010111110000100001000010001練習在上題中,改變四個的次序,取1010011211113001110重新用Schmidt方法求出一組基矢.(完成人：何賢文'審核人：班衛華)解：由空間中不滿足正交歸一條件的完全集4,/求這個空間的一

10、組基矢(1)首先取1為歸一化的11000取22/向2,選擇常數312使21與1正交,即/0(1,2)(1,2)312覆行013121,2/11取2為歸一化的2:0_2_112|2.311(3)13132a23,選擇常數隊和323使32正交,即1(1,3)0231313歸一化的3為012611(4)取44131423243334,選擇為數314,324,334使4與已選定的1,2,3正交,即#練習位矢量歸一化的4為44(0011,2,01212123,4).那么找到一組基矢為在三維位形空間中,i取三個歸一化的矢量:,k是在互相垂直的x,y,z三個軸上的單高思澤11,2"j)1 (jk)

11、2在內積就是點乘積的定義下它們并不正交.現在改變正交的定義：定義這三個矢量1 .證實：定義一個歸一化的完全集里面的矢量彼此互相正交,等于定有一種內積規那么.2 .求出這個新的內積規那么,即將任意兩個矢量rix1jykz1,2ix2jy2kz2的內積表為X1,y1,Z1和X2,y2,Z2的函數./3 .驗證所求的內積規那么符合條件912./4 .用,j=0驗證所求出的內積規那么./1證實：在一個歸一化的完全集里面的矢量集合里,任意的兩個矢量正交,根據矢量的正交性定義,兩個矢量少和小的內積為零,即,0.2解:2,3的關系,可得到如下變換:由上面的關系得：ri1x1(22r21X2/(221)y1(

12、'.23.221)z11)Y2(v23.221)Z21(X1y1Z1)2(-2y1.2Z1)3、,2z11(X2y2Z2)2(2y22z2)3.2Z2由此,2Z2)3、.2Z2)、*Z1)2Z1(X2y(1心)(1(X1V1乙)2(、,2y1、.2乙)32Z1,1(X2V2Z2)2(2y2.*.(X1V1Z1)(X2y2Z2)(1,1)2(y1Z1)(y2Z2)(2,2)4Z1Z2(3,3)*,2(X1V1乙)(V2Z2)2(X2V2Z2)(y1乙)(1,2)、2z2(xV1*2Z2W1Z1)2乙汕Z2)(2,3)定義1,2,3互相正交,有矢量的正交性,得（1,（1） 3,33,31（

13、1,（2） 1,32,30由此可得*r1,r2X1y1Z1X2y2Z22y1乙y2Z24z1Z23證實:*,(r2,r1)(X2y2Z2)(X1*,yZ1)2(y2Z2)(y1*、*Z1)4Z2Z1)(X1y1、*.Z1)(X2y2Z2)2(y1*Z1)(y2Z2)4z1Z2(0/2)(r1,r2a)(x1y1.*,Z1)(X2y2Z2)a2(y1、*/*、Z1)(y2Z2)a4z1z2a(r1,r2)a(r,r)|(xyz)|22|(yz)|24|z|20當(r,r)0時,只有x,y,z都同時等于0才能滿足,即r0綜上所述,所求的內積規那么符合條件912.4,見(2)練習在n維空間中,#J,

14、i=1,2,3.,n是一組完全集不一定正交,現在有n個矢量i,i=1,2,3.,n也不一定正交D=1)2)n)證實i線性相關的必要和充分條件維D=0O完成人：何賢文審核人：班衛華解：對于矢量空間的n個矢量的集合iDi0,此式是關于個矢量的集合J的齊次方程組n)n)(1)(n,1)1(n,2)2(n,n)假設i線性相關,那么滿足iDi0至少有一組非零解,那么要求:假設D=0,1,2,2)n)D=0那么方程1)必有非零解,即滿足有一組不為零的復數使得故i線性相關.niDi0i1#練習一個矢量空間有兩個不同的子空間S1和S2,證實除去以下兩種情況外,/包括S1的全部元和S2的全部元的那個集合并不是子

15、空間：1S1是S2的子空間或S2是S1的子空間；2S1和S2其中之一只含有零矢量一個元.完成人：張偉/審核人：趙中亮證實：1設子空間S1和S2的維數分別為m,n,它們共同的基矢的個數為llm,ln個,當S1不是S2的子空間且S2不是S1的子空間時、它們之間含有/不同的基矢.那么當S1空間的一個矢量和0空間的一個矢量做加法的時,它們得到的矢量并不能一定在包括Si的全部元和S2的全部元的那個集合中找到,由于加法后得到的矢量的維數可以大到mnl維,而mnlm,且mnln所以包括S1的全部元和S2的全部元的那個集合并不是矢量空間,從而不是子空問.2當S1和S2其中之一只含有零矢量一個元時,它必然是另一

16、個子空間的子空間,由此可見2只不過是1的特例,顯然得證.#練習閱讀狄拉克的?量子力學原理?§6,分析他建立左矢空間的方法與我們的方法有什么共同點和不同點.、完成人：梁立歡審核人：高思澤分析：本書從空間的方向入手建立左矢量.我們對現有的一個矢量空間定義了其中矢量的加法、數乘和標量積運算,稱此空間為單一空間.現在對照這個空間再建以下兩個空間.一個叫右矢空間,它的構造同單一空間完會一樣,每一個矢量即右矢都與單一空間里的矢量相對應,這些右矢有加法和數乘的運算,其定義和規那么與單一空間相同.第二空間比照右欠空間來建立,稱為左矢空間,其實右矢空間的每一個矢量在左矢空間都有一個左矢與其相對應.,左

17、矢空間中的事情不能隨意去規定,需要同右矢空間的事情相互協調,它們通過標量積聯系起來.這樣建立的左矢空間是一個完全確定的即有明確加法和數乘運算規那么的欠量空間.狄拉克是從對偶矢量的方向入手建立左矢量.假定有一個數C.它是右矢量?的函數,就是說,對每一個右矢量|有一個函數C與之相應,并且進一步假定此函數是線性函數,其意義是,相應于II的數等于相應于I的數與相應于的數之和,相應于a,的數是相應于,的數的a倍,其中a是任意的數字因子.這樣,相應于任何|的數C,就可以看成是|與某個新矢量的標量積,對右矢量|的每一線性函數就有一個這樣的新矢量.我們把這種新矢量稱為“左矢量或簡稱“左矢.在此引入的左矢量,是與右矢量完全不同的另一類矢量,而且直到現在.除了左矢量與右矢量之間存在著標量積以外,兩者之間還沒有任何聯系.現在作一個假定：在左矢量與右矢量之間有一一對應關系.使得相應于|的左矢是相應于|的左矢與相應于的左矢之和.而相應于c的左矢那么是相應于的左矢乘以c,c是c的共腕復數,J相應的左矢可寫成|0從以上兩種方法來看,它們是從不同的方向來建立左矢空間的,在此過程中