1、 IIR數字濾波器設計及其MATLAB實現摘 要：IIR數字濾波器在設計上可以借助成熟的模擬濾波器的成果，如巴特沃斯、契比雪夫和橢圓濾波器等。在設計一個IIR數字濾波器時，我們根據指標先寫出模擬濾波器的設計方法設計一個滿足數字濾波器指標的模擬濾波器，然后通過一定的變換，將模擬濾波器轉換成數字濾波器。本文介紹了IIR數字濾波器設計，主要分析了其在滿足上述要求下的工程方法，沖激響應不變法和雙線性變換法。通過理論與實踐的分析對比，表明了兩種方法的優弊端。關鍵詞：IIR數字濾波器；MATLAB；沖激響應不變法；雙線性變換法1引 言 IIR數字濾波器的最通用的方法是借助于模擬濾波器的設計方法。模擬濾波器

2、設計已經有了相當成熟的技術和方法，有完整的設計公式，還有比較完整的圖表可以查詢，因此設計數字濾波器可以充分利用這些豐富的資源來進行。對于IIR數字濾波器的設計具體步驟： (1)按照一定的規則將給出的數字濾波器的技術指標轉換為模擬低通濾波器的技術指標。   (2)根據轉換后的技術指標設計模擬低通濾波器G(s)(G(s)是低通濾波器的傳遞函數)。(3)再按照一定的規則將G(s)轉換成H(z)(H(z)是數字濾波器的傳遞函數).下面從原理分析在到實踐來分析設計用沖激響應不變法和雙線性變換法來設計IIR數字濾波器的過程。2原理分析 我們書本上重點介紹了巴特沃斯低通濾波器的設計，但巴

3、特沃斯濾波器的頻率特性無論在通帶還是在阻帶豆歲頻率而單調變化，因此，如果在通帶邊緣滿足指標，則在通帶內肯定會有富裕量，也就是超過指標的要求，因而并不經濟。所以，更有效果的辦法是將指標的精度要求歐均勻地分布在通帶內，或均勻分布在阻帶內，或同時均勻分布在通帶與阻帶內。這樣在同樣通帶，阻帶性能要求下，就可以設計出階數較低的濾波器。下面分析典型的濾波器-切比雪夫1。 2.1切比雪夫1低通濾波器的原理設計IIR濾波器的基礎是設計模擬濾波器的原型，其中切比雪夫1就是一種。切比雪夫1低通濾波器的原理：幅度平方函數為式中，為小于1的正數，表示通帶內幅度波動的程度，愈大，波動幅度也愈大。p稱為通帶截止頻率。令=

4、/p，稱為對p的歸一化頻率。CN(x)稱為N階切比雪夫多項式，定義為 切比雪夫的特性：(1)切比雪夫多項式的過零點在|x|1的范圍內；(2)當|x|<1時，|CN(x)|1,在|x|<1范圍內具有等波紋性；(3)當|x|>1時，CN(x)是雙曲線函數，隨x單調上升。Matlab信號工具箱提供了幾個直接設計IIR數字濾波器的函數，直接調用這些函數就可以很方便地對濾波器進行設計。他們為cheblap,cheblord,cheby1. 2.2沖激響應不變法 顧名思義，所謂沖激響應不變法，就是使離散時間系統的沖激響應等于連續時間系統沖激響應的抽樣值，即(1)這樣，如果連續時間系統的沖

5、激響應為則根據式子（1），離散時間系統的沖激響應就等于（2）由式子（2）可得連續時間系統的系統函數可見，在（2）中，p i 是系統函數的極點，或者系統微分方程的特征根。這里，我們假設 p i 都是一階極點，而 A i 是與每個極點相對應的系數，其值為（3）.而從式子（3）可求得離散時間系統的系統函數.根據 s 平面和 z 平面之間的映射關系可知：s 平面上的 j w 軸將映射成 z 平面上的單位園；而左半 s 平面將映射為單位園內部分；右半 s 平面將映射為單位園外部分，如圖z6.1所示。而且，從連續時間頻率 w 到離散時間頻率 W 是一個多值映射。根據這種映射關系可知，左半 s 平面上的極點

6、將映射到 z 平面上的單位園內，由此而可得到一個基本結論，即沖激響應不變法可以將一個穩定的連續時間系統轉換為一個穩定的離散時間系統。此外，由于可以將離散時間系統的沖激響應看作是連續時間系統的抽樣，于是，根據抽樣定理和連續時間頻率與離散時間頻率之間的關系，可以求得離散時間系統的頻率響應和連續時間系統的頻率響應滿足下述關系 此式表明，如果連續時間系統的頻率特性不是一個限帶頻譜，則轉換為離散時間系統后將出現頻譜混疊，從 s 平面到 z 平面的映射來看，多值映射是造成頻譜混疊的原因。2.3雙線性變換法雙線性變換法是在沖激響應不變法的基礎上采用不同的變換，分為兩步：第一步：將整個S平面壓縮到S1平面的一

7、條橫帶里；第二步：通過標準變換關系將此橫帶變換到整個Z平面上去。為了將s平面的j軸壓縮到s1平面j軸上的- 一段上，可通過以下的正切變換實現：。經過這樣的頻率變，當1由 時， 由 ，即映射了整個j軸。將這一解析關系延拓至整個s平面，則得到s平面 平面的映射關系再將s1平面通過標準變換關系映射到z平面，即單值映射關系，令，最后得S平面與Z平面的關系3目標分析沖激響應不變法是一種簡單的轉換方法，它可以將一個穩定的連續時間系統轉換為一個穩定的離散時間系統，而且可以使離散時間系統的沖激響應形狀和連續時間系統相同，但是，由于連續時間系統的頻率響應往往不是限帶頻譜，因此，這種方法存在著頻譜混疊的現象。這種

8、混疊將造成頻譜高端的嚴重失真，從而使得這種方法只適用于低通濾波器或者頻譜限帶的高通或帶通。與脈沖響應不變法相比，雙線性變換的主要優點：靠頻率的嚴重非線性關系得到S平面與Z平面的單值一一對應關系，整個j軸單值對應于單位圓一周，這個關系就是式 所表示的，其中和為非線性關系。如圖圖中看到，在零頻率附近，接近于線性關系，進一步增加時，增長變得緩慢， (終止于折疊頻率處)，所以雙線性變換不會出現由于高頻部分超過折疊頻率而混淆到低頻部分去的現象。雙線性變換法的缺點：與的非線性關系，導致數字濾波器的幅頻響應相對于模擬濾波器的幅頻響應有畸變，(使數字濾波器與模擬濾波器在響應與頻率的對應關系上發生畸變)。下面通

9、過實例來分析兩種方法設計IIR低通濾波器。4實例分析設計低通數字濾波器，要求在通帶內頻率低于0.2rad時，允許幅度誤差在1dB以內，在頻率0.3rad到rad之間的阻帶衰減大于15dB。用脈沖響應不變法設計數字濾波器。T1。,要求利用-切比雪夫濾波器原型來設計IIR低通濾波器。需要對信號做頻譜分析，為了簡便對比，對信號進行頻譜分析時，這里統一采用無綱量的歸一化頻率單位，即模擬頻率對采樣頻率歸一化；模擬角頻率對采樣角頻率歸一化；數字頻率對2歸一化。方法步驟先將技術指標轉換為模擬低通濾波器的技術指標，再求出階數N，查表，得出模擬低通濾波器G(s)，按一定規則G(s)轉換成H(z)，并作出頻譜分析

10、的圖像，利用MATLAB實現上述分析過程的程序如下：沖激響應不變法：wp=0.2*pi;wr=0.3*pi;Ap=1;Ar=15;T=1;Omegap=wp/T;Omegar=wr/T;cs,ds=afd_chb1(Omegap,Omegar,Ap,Ar) %切比雪夫1型C,B,A=sdir2cas(cs,ds); %模擬濾波器級聯型db,mag,pha,Omega=freqs_m(cs,ds,pi); %模擬濾波器響應subplot(224);plot(Omega/pi,mag);title('模擬濾波器幅度響應|Ha(jOmega|');b,a=imp_invr(cs,ds

11、,T); %脈沖響應不變法設計C,B,A=dir2par(b,a) %數字低通濾波器并聯db,mag,pha,w=freqz_m(b,a); %數字濾波器響應subplot(2，2，1);plot(w/pi,mag);title('數字濾波器幅度響應|H(ejomega|');subplot(2，2，2);plot(w/pi,db);title('數字濾波器幅度響應(dB)');subplot(2，2，3);plot(w/pi,pha/pi);title('數字濾波器相位響應'); 雙線性變換法：wp=0.2*pi;wr=0.3*pi;Ap=1;

12、Ar=15;T=1;Omegap=(2/T)*tan(wp/2);Omegar=(2/T)*tan(wr/2);cs,ds=afd_chb1(Omegap,Omegar,Ap,Ar) %切比雪夫原型C,B,A=sdir2cas(cs,ds); %模擬濾波器級聯型db,mag,pha,Omega=freqs_m(cs,ds,pi); %模擬濾波器響應subplot(224);plot(Omega/pi,mag);title('模擬濾波器幅度響應|Ha(jOmega|');b,a=bilinear(cs,ds,T); %雙線性變換法設計C,B,A=dir2cas(b,a) %數字低

13、通濾波器級聯型db,mag,pha,w=freqz_m(b,a); %數字濾波器響應subplot(2，2，1);plot(w/pi,mag);title('數字濾波器幅度響應|H(ejomega|');subplot(2，2，2);plot(w/pi,db);title('數字濾波器幅度響應(dB)');subplot(2，23);plot(w/pi,pha/pi);title('數字濾波器相位響應');delta_w=2*pi/1000;Ap=-(min(db(1:1:wp/delta_w+1)Ar=-round(max(db(wr/delt

14、a_w+1:1:501)程序設計清晰，容易理解，脈沖響應不變法設計的切比雪夫1型數字濾波器，雙線性變換法設計的切比雪夫1型數字濾波器，運行結果如圖1,2。從結果圖像1中可以看到脈沖響應不變法設計會造成頻響的混疊，不宜用來設計高通，帶阻濾波器，使用于基本上市限帶的濾波器，如低通和帶通濾波器，當強調以控制時間響應為目的來設計濾波器，采用這種方法比較適合。從結果圖像2可以看到雙線性變換法設計克服了頻響的混疊，但頻率變換關系不是線性的。5結束語本次課程設計是用脈沖響應不變法和雙線性不變法來設計IIR濾波器，認真閱讀數字信號處理課本的相關內容，但在設計的過程中遇到了一些問題，通過查閱資料，對一些問題由了進一步的認識。本次課程設計不僅考察了我對專業知識的理解程度，也鍛煉了我的動手能力，提高了自己的獨立思考問題，解決問題的能力，所以，整個過程我覺得學到不少東西。參考文獻：1錢同惠.數字信號處理M.機械工業出版社, 20052 叢玉良 王宏志 數字信號處理原理及其MATLAB實現M.北京:電子工業出版社, 20063 周輝 董正宏 數字信號處理基礎及MAATLAB實現M中國林業出版社