1、GMM估計中文講義2線性模型VXiix,i1X2i2iE(Xi)0Xi是k1,X2i是r1,lkr。如果沒有其他約束，的漸進有效估計量是ols估計。現在假設給定一個信息20,我們可以把模型寫為，yixiiii,E(Xii)0如何估計1?一種就是OLS估計。然而這種方法不是必然有效的，當在E(Xii)0方程中有1個約束，然而i的維數k1,這種情況稱為過渡識別。這里有rlk比自由參數多的矩約束，我們稱r是過渡約束識別個數。讓g(y,z,X,)是11個方程，參數為k1,且k1,有Eg(y.乙，X.0)0(1)0是的真實值，在上面線性模型中有g(y,x,)X(yX1)。在計量經濟學里，這類模型稱為矩條

2、件模型。在統計學中，這稱為估計方程。另外，我們還有一個線性矩條件模型，yiZi1i,E(xi)0Zi和Xi的維數都是k1,且有11,k1,如果k1則模型是恰好識別，否則是過渡識別。變量zi是為的一部分或是為的函數。模型(1)可以設置為，g(yi,Z,Xi,0)x(yz)(2)GMM估計模型(2)樣本均值為-,、1n,、1n1八gn()gi()x(yiz)(XyXZ)(3)ni1ni1n的矩估計量就是設置§n()0。對于k1個方程大于參數的情形，GMM估計思想就是設置gn()近可能的接近于零。對于ll加權矩陣Wn0,讓Jn()ngn()Wn§n()這是向量gn()長度的非負測

3、度。例如，如果wnI,則有Jn()ngn()gn()n|©n()12。GMM估計就是最小化Jn()，即定義gmmargJn()。注意，如果kl,則gn(?)0,GMM估計就是矩估計方法。GMM估計的一階條件為J-311。02gn()Wngn()2-ZXWn-X(yZ?)nn2(ZX)Wn(XZ)?2(ZX)WnXy則的GMM估計為Gmm(ZX)Wn(XZ)1(ZX)WnXyGMM估計量的分布假設WnpW>0,令QE(XjZj)和E(xx2)E(gigi)這里giXii，貝U-ZXWn-XZpQWQnn11pZXWn-XpQWN(0,)nn定理1：.N(?)dN(0,V)V(QW

4、Q)1(QWWQ)(QWQ)為了使V最小，最優加權矩陣W01(證明留作練習)。這產生了最有效的GMM估計量:?gmm(ZX1XZ)1ZX1Xy這時，我們有定理2：對于有效的GMM估計量，JN(?)dN(0,(Q1Q)1)實際上W01是未知的，但它能一致估計。對于任何WnpW°,我們仍然稱？是有Wn,這是弱有效的GMM估計量，且有相同的漸進分布。有效即意味著GMM估計量有最小的漸進方差。當我們只考慮加權矩陣效概念。然而GaryChamberlain(1987)證明這個GMM估計量是半參數有效的有效加權矩陣估計對于給定的Wn>0,?的GMM估計量是一致但不是有效的，例如Wn=Ii。

5、在線性模型，1-一個較好的選擇是Wn=(XX)。給定第一步估計量，我們定義殘差？yZi，矩方程&X?g(yN,x,?，構造OnQ1ngn(?)-?ni1giggn定義Wnn1蹈OnOni1那么有Wn1=W0，使用Wn得到的GMM估計量是漸進有效的。一個替代性選擇是Wn11nC1鄉3,使用非中心化的矩條件。ni1因為Egi0,這兩種估計量在正確的假設下是漸進相等的。然而,AlastairHall(2000)指出非中心化估計量是較差的選擇。當構造假設檢驗，備擇假設下的矩條件是無效的，如Egi0,所以非中心化的估計量包含著偏誤項，以及對檢驗勢的影響。對于線性模型，有效的GMM估計量可以這樣計

6、算，首先，設置Wn=(XX)1,使用此加權矩陣估計？，構造殘差？yiZi?,矩方程？Xi?g(yi,?)。則GMM估計為?ZX(&gnngn)1XZ1ZX(ggngnn)1Xy在多數例子中，當我們說“GMM”時，其實我們就意味著是“有效GMM”。當有效估計量比較容易計算時，有一點需要注意就是我們在使用非有效的GMM估計量。?的漸進方差估計量為，V?nZX(ggngngn)1XZ1剛才給出的兩階段GMM估計的一個重要替代估計方法，是L.Hansen,HeatonandYaron(1996)的continuously-updatedGMM估計。即我們讓加權矩陣是的函數，則矩條件方程是，gn()1nJ()ngn()-gi()g,()g)g()gn()定理3：在一般規則條件下，JN(?)dN(0,(G1G)1),(E(gigi)1,GE-g)。?的方差由(G)1G)1估計，)n1igigi,Gn1igi()<過度識