1、精選優質文檔-傾情為你奉上 第一講 數列1.1數列的概念1、數列的定義：按一定順序排列的一列數叫做數列. 注意：數列的數是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個數列的數相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數列；定義中并沒有規定數列中的數必須不同，因此，同一個數在數列中可以重復出現.2、 數列的項：數列中的每一個數都叫做這個數列的項. 各項依次叫做這個數列的第1項，第2項，第項，.其中數列的第1項也叫作首項。3、 數列的一般形式：，或簡記為，其中是數列的第項1.2數列的分類1、根據數列項數的多少分：有窮數列：項數有限的數列.例如數列1，2，3，4，5，6是有窮數列無窮數列：項數無限的數列.例如數

2、列1，2，3，4，5，6，是無窮數列2、根據數列項的大小分：遞增數列：從第2項起，每一項都大于它的前一項的數列。遞減數列：從第2項起，每一項都小于它的前一項的數列。常數數列：各項相等的數列。擺動數列：從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數列1.3數列的通項公式與前項和1、數列的通項公式 如果數列的第項與之間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的通項公式. 注意：（1）并不是所有數列都能寫出其通項公式；（2）一個數列的通項公式有時是不唯一的，如數列：1，0，1，0，1，0，； 它的通項公式可以是，也可以是.（3）數列通項公式的作用：求數列中任意一項；檢驗某數

3、是否是該數列中的一項. （4）數列的通項公式具有雙重身份，它表示了數列的第項，又是這個數列中所有各項的一般表示2、數列的前項和數列的前項逐個相加之和：；當時；當時，.故.1.4數列的表示方法數列可看作特殊的函數，其表示也應與函數的表示法（解析式法、圖象法、列表法）有聯系.1、通項公式法（解析式法）：如果數列的第項與序號之間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的通項公式。2、 圖象法：數列是一種特殊的函數，可以用函數圖象的畫法畫數列的圖形具體方法是以項數為橫坐標，相應的項為縱坐標，即以為坐標在平面直角坐標系中做出點。所得的數列的圖形是一群孤立的點，因為橫坐標為正整數，所以這些點

4、都在軸的右側，而點的個數取決于數列的項數從圖象中可以直觀地看到數列的項隨項數由小到大變化而變化的趨勢3、列表法相對于列表法表示一個函數，數列有這樣的表示法：用表示第一項，用表示第二項，用表示第項，依次寫出成為，簡記為4、遞推公式法遞推公式：如果已知數列的第1項（或前幾項），且任一項與它的前一項（或前項）間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的遞推公式。遞推公式也是給出數列的一種方法。如數列：3，5，8，13，21，34，55，89，的遞推公式為：.1.5等差數列的基本概念1、等差數列的定義：（d為常數）（）；2、等差數列通項公式： ， 首項:，公差:d，末項: 推廣： 從而；

5、3、等差中項（1）如果，成等差數列，那么叫做與的等差中項即：或（2）等差中項：數列是等差數列4、等差數列的前n項和公式：（其中A、B是常數，所以當d0時，Sn是關于n的二次式且常數項為0）特別地，當項數為奇數時，是項數為2n+1的等差數列的中間項（項數為奇數的等差數列的各項和等于項數乘以中間項）5、等差數列的判定方法 （1） 定義法：若或(常數) 是等差數列 （2） 等差中項：數列是等差數列 （3）數列是等差數列（其中是常數）。（4） 數列是等差數列,（其中A、B是常數）。1.6等差數列的性質（1）當公差時，等差數列的通項公式是關于的一次函數，且斜率為公差；前和是關于的二次函數且常數項為0.（

6、2）若公差，則為遞增等差數列，若公差，則為遞減等差數列，若公差，則為常數列。（3）當時,則有，特別地，當時，則有.注：，（4）若、為等差數列，則都為等差數列（5）若是等差數列，則 ，也成等差數列 （6）數列為等差數列,每隔k(k)項取出一項()仍為等差數列（7）等差數列的前n項和，前m項和，則前m+n項和（8）求的最值法一：因等差數列前項是關于的二次函數，故可轉化為求二次函數的最值，但要注意數列的特殊性。法二：（1）“首正”的遞減等差數列中，前項和的最大值是所有非負項之和即當 由可得達到最大值時的值 （2） “首負”的遞增等差數列中，前項和的最小值是所有非正項之和。即 當 由可得達到最小值時的

7、值或求中正負分界項法三：直接利用二次函數的對稱性：由于等差數列前n項和的圖像是過原點的二次函數，故n取離二次函數對稱軸最近的整數時，取最大值（或最小值）。若S p = S q則其對稱軸為1.7等比數列的基本概念1、等比數列的定義：，稱為公比2、通項公式：， 首項：；公比：推廣：， 從而得或3、等比中項（1）如果成等比數列，那么叫做與的等差中項即：或注意：同號的兩個數才有等比中項，并且它們的等比中項有兩個（兩個等比中項互為相反數）（2）數列是等比數列4、等比數列的前n項和公式：(1) 當時， (2) 當時，（為常數）5、等比數列的判定方法（1）用定義：對任意的n,都有為等比數列 （2） 等比中項

8、：（0）為等比數列（3） 通項公式：為等比數列（4） 前n項和公式：為等比數列1.8等比數列的性質(1) 當時 等比數列通項公式是關于n的帶有系數的類指數函數，底數為公比 前n項和，系數和常數項是互為相反數的類指數函數，底數為公比(2) 對任何m,n,在等比數列中,有,特別的,當m=1時,便得到等比數列的通項公式.因此,此公式比等比數列的通項公式更具有一般性。(3) 若m+n=s+t (m, n, s, t),則.特別的,當n+m=2k時,得注：(4) 列,為等比數列,則數列, (k為非零常數) 均為等比數列.(5) 數列為等比數列,每隔k(k)項取出一項()仍為等比數列(6) 如果是各項均為

9、正數的等比數列,則數列是等差數列(7) 若為等比數列,則數列，成等比數列(8) 若為等比數列,則數列, , 成等比數列(9) 當時， 當時，, 當q=1時,該數列為常數列（此時數列也為等差數列）; 當q<0時,該數列為擺動數列.(10)在等比數列中, 當項數為2n (n)時,. 1.9遞推求通項公式類型1 解法：把原遞推公式轉化為，利用累加法(逐差相加法)求解。類型2 解法：把原遞推公式轉化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。類型3 （其中p，q均為常數，）。解法（待定系數法）：把原遞推公式轉化為：，其中，再利用換元法轉化為等比數列求解。類型4 （其中p，q均為常數，）。 （,其中p，q, r均為常數） 。解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數列（其中），得：再待定系數法解決。類型5 遞推公式為（其中p，q均為常數）。解法（待定系數法）：先把原遞推公式轉化為其中s，t滿足1.10數列求和1直接法：即直接用等差、等比數列的求和公式求和。（1）等差數列的求和公式： （2）等比數列的求和