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1、精選文檔用均值不等式求最值的方法和技巧一、幾個(gè)重要的均值不等式當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí),“=”號(hào)成立;當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí),“=”號(hào)成立;當(dāng)且僅當(dāng)a = b = c時(shí),“=”號(hào)成立; ,當(dāng)且僅當(dāng)a = b = c時(shí),“=”號(hào)成立.注: 留意運(yùn)用均值不等式求最值時(shí)的條件:一“正”、二“定”、三“等”; 生疏一個(gè)重要的不等式鏈:。一、拼湊定和通過(guò)因式分解、納入根號(hào)內(nèi)、升冪等手段,變?yōu)椤胺e”的形式,然后以均值不等式的取等條件為動(dòng)身點(diǎn),均分系數(shù),拼湊定和,求積的最大值。例 (1) 當(dāng)時(shí),求的最大值。 (2)已知,求函數(shù)的最大值。解: 。當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),上式取“=”。故。評(píng)注:通過(guò)因式分解,將函數(shù)解析式由“
2、和”的形式,變?yōu)椤胺e”的形式,然后利用隱含的“定和”關(guān)系,求“積”的最大值。例2 求函數(shù)的最大值。解:。因,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),上式取“=”。故。評(píng)注:將函數(shù)式中根號(hào)外的正變量移進(jìn)根號(hào)內(nèi)的目的是集中變?cè)瑸椤捌礈惗ê汀敝圃鞐l件。例3 已知,求函數(shù)的最大值。解:。當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),上式取“=”。故,又。二、 拼湊定積通過(guò)裂項(xiàng)、分子常數(shù)化、有理代換等手段,變?yōu)椤昂汀钡男问剑缓笠跃挡坏仁降娜〉葪l件為動(dòng)身點(diǎn),配項(xiàng)湊定積,制造運(yùn)用均值不等式的條件。例4 (1)已知,求函數(shù)的最大值(2)設(shè),求函數(shù)的最小值。解:。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),上式取“=”。故。評(píng)注:有關(guān)分式的最值問(wèn)題,若分子的次數(shù)高于分母的次數(shù),則可考慮裂項(xiàng)
3、,變?yōu)楹偷男问剑缓蟆捌礈惗ǚe”,往往是格外便利的。例5 已知,求函數(shù)的最大值。解:,。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),上式取“=”。故。評(píng)注:有關(guān)的最值問(wèn)題,若分子的次數(shù)低于分母的次數(shù),可考慮轉(zhuǎn)變?cè)降慕Y(jié)構(gòu),將分子化為常數(shù),再設(shè)法將分母“拼湊定積”。例6 已知,求函數(shù)的最小值。解:由于,所以,令,則。所以。當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),上式取“=”。故。評(píng)注:通過(guò)有理代換,化無(wú)理為有理,化三角為代數(shù),從而化繁為簡(jiǎn),化難為易,制造出運(yùn)用均值不等式的環(huán)境。三、利用均值不等式化歸為其它不等式求解的問(wèn)題。例5、已知正數(shù)滿足,試求、的范圍四、拼湊常數(shù)降冪例7 若,求證:。分析:基本不等式等號(hào)成立的條件具有潛在的運(yùn)用功能,它能在“等”與
4、“不等”的互化中架設(shè)橋梁,能為解題供應(yīng)信息,開拓捷徑。本題已知與要求證的條件是,為解題供應(yīng)了信息,發(fā)覺應(yīng)拼湊項(xiàng),奇妙降次,快速促成“等”與“不等”的辯證轉(zhuǎn)化。證明:。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),上述各式取“=”,故原不等式得證。評(píng)注:本題借助取等號(hào)的條件,制造性地使用基本不等式,簡(jiǎn)潔明白。例8 若,求的最大值。解:。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),上述各式取“=”,故的最大值為7。例9 已知,求證:。證明:,又,。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),上述各式取“=”,故原不等式得證。五、拼湊常數(shù)升冪例10 若,且,求證。分析:已知與要求證的不等式都是關(guān)于的輪換對(duì)稱式,簡(jiǎn)潔發(fā)覺等號(hào)成立的條件是,故應(yīng)拼湊,奇妙升次,快速促成“等”與“不等”的辯證轉(zhuǎn)化。證明
5、:,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),上述各式取“=”,故原不等式得證。例11 若,求證:。證明:。又。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),上述各式取“=”,故原不等式得證。六、約安排湊通過(guò)“1”變換或添項(xiàng)進(jìn)行拼湊,使分母能約去或分子能降次。例12 已知,求的最小值。 解:。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即,上式取“=”,故。例13 已知,求函數(shù)的最小值。解:由于,所以。所以。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即,上式取“=”,故。例14 若,求證。分析:留意結(jié)構(gòu)特征:要求證的不等式是關(guān)于的輪換對(duì)稱式,當(dāng)時(shí),等式成立。此時(shí),設(shè),解得,所以應(yīng)拼湊幫助式為拼湊的需要而添,解題可見眉目。證明:。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),上述各式取“=”,故原不等式得證。七、引入?yún)?shù)拼湊 某些簡(jiǎn)單的問(wèn)題難以觀看出匹
6、配的系數(shù),但利用“等”與“定”的條件,建立方程組,解地待定系數(shù),可開拓解題捷徑。例15 已知,且,求的最小值。解:設(shè),故有。當(dāng)且僅當(dāng)同時(shí)成立時(shí)上述不等式取“=”,即,代入,解得,此時(shí),故的最小值為36。八、 引入對(duì)偶式拼湊 依據(jù)已知不等式的結(jié)構(gòu),給不等式的一端匹配一個(gè)與之對(duì)偶的式子,然后一起參與運(yùn)算,制造運(yùn)用均值不等式的條件。例16 設(shè)為互不相等的正整數(shù),求證。證明:記,構(gòu)造對(duì)偶式,則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立。又由于為互不相等的正整數(shù),所以,因此。評(píng)注:本題通過(guò)對(duì)式中的某些元素取倒數(shù)來(lái)構(gòu)造對(duì)偶式。九、確立主元拼湊 在解答多元問(wèn)題時(shí),假如不分主次來(lái)爭(zhēng)辯,問(wèn)題很難解決;假如依據(jù)具體條件和解題需要,確立主元,削減變?cè)獋€(gè)數(shù),恰當(dāng)拼湊,可制造性地使用均值不等式。例17 在中,證明。分析:為輪換對(duì)稱式,即的地位相同,因此可選一個(gè)變?cè)獮橹髟瑢⑵渌冊(cè)醋鞒A浚ü潭ǎ鳒p變?cè)獋€(gè)數(shù),化生疏為生疏。證明:當(dāng)時(shí),原不等式明顯成立。 當(dāng)時(shí),。當(dāng)且僅當(dāng),即為正三角
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