1、精選文檔用均值不等式求最值的方法和技巧一、幾個重要的均值不等式當且僅當a = b時，“=”號成立；當且僅當a = b時，“=”號成立；當且僅當a = b = c時,“=”號成立； ,當且僅當a = b = c時,“=”號成立.注： 留意運用均值不等式求最值時的條件：一“正”、二“定”、三“等”； 生疏一個重要的不等式鏈：。一、拼湊定和通過因式分解、納入根號內、升冪等手段，變為“積”的形式，然后以均值不等式的取等條件為動身點，均分系數，拼湊定和，求積的最大值。例 (1) 當時，求的最大值。 (2)已知，求函數的最大值。解： 。當且僅當，即時，上式取“=”。故。評注：通過因式分解，將函數解析式由“

2、和”的形式，變為“積”的形式，然后利用隱含的“定和”關系，求“積”的最大值。例2 求函數的最大值。解：。因，當且僅當，即時，上式取“=”。故。評注：將函數式中根號外的正變量移進根號內的目的是集中變元，為“拼湊定和”制造條件。例3 已知，求函數的最大值。解：。當且僅當，即時，上式取“=”。故，又。二、 拼湊定積通過裂項、分子常數化、有理代換等手段，變為“和”的形式，然后以均值不等式的取等條件為動身點，配項湊定積，制造運用均值不等式的條件。例4 (1)已知，求函數的最大值(2)設，求函數的最小值。解：。當且僅當時，上式取“=”。故。評注：有關分式的最值問題，若分子的次數高于分母的次數，則可考慮裂項

3、，變為和的形式，然后“拼湊定積”，往往是格外便利的。例5 已知，求函數的最大值。解：，。當且僅當時，上式取“=”。故。評注：有關的最值問題，若分子的次數低于分母的次數，可考慮轉變原式的結構，將分子化為常數，再設法將分母“拼湊定積”。例6 已知，求函數的最小值。解：由于，所以，令，則。所以。當且僅當，即時，上式取“=”。故。評注：通過有理代換，化無理為有理，化三角為代數，從而化繁為簡，化難為易，制造出運用均值不等式的環境。三、利用均值不等式化歸為其它不等式求解的問題。例5、已知正數滿足，試求、的范圍四、拼湊常數降冪例7 若，求證：。分析：基本不等式等號成立的條件具有潛在的運用功能，它能在“等”與

4、“不等”的互化中架設橋梁，能為解題供應信息，開拓捷徑。本題已知與要求證的條件是，為解題供應了信息，發覺應拼湊項，奇妙降次，快速促成“等”與“不等”的辯證轉化。證明：。當且僅當時，上述各式取“=”，故原不等式得證。評注：本題借助取等號的條件，制造性地使用基本不等式，簡潔明白。例8 若，求的最大值。解：。當且僅當時，上述各式取“=”，故的最大值為7。例9 已知，求證：。證明：，又，。當且僅當時，上述各式取“=”，故原不等式得證。五、拼湊常數升冪例10 若，且，求證。分析：已知與要求證的不等式都是關于的輪換對稱式，簡潔發覺等號成立的條件是，故應拼湊，奇妙升次，快速促成“等”與“不等”的辯證轉化。證明

5、：，當且僅當時，上述各式取“=”，故原不等式得證。例11 若，求證：。證明：。又。當且僅當時，上述各式取“=”，故原不等式得證。六、約安排湊通過“1”變換或添項進行拼湊，使分母能約去或分子能降次。例12 已知，求的最小值。 解：。當且僅當時，即，上式取“=”，故。例13 已知，求函數的最小值。解：由于，所以。所以。當且僅當時，即，上式取“=”，故。例14 若，求證。分析：留意結構特征：要求證的不等式是關于的輪換對稱式，當時，等式成立。此時，設，解得，所以應拼湊幫助式為拼湊的需要而添，解題可見眉目。證明：。當且僅當時，上述各式取“=”，故原不等式得證。七、引入參數拼湊 某些簡單的問題難以觀看出匹

6、配的系數，但利用“等”與“定”的條件，建立方程組，解地待定系數，可開拓解題捷徑。例15 已知，且，求的最小值。解：設，故有。當且僅當同時成立時上述不等式取“=”，即，代入，解得，此時，故的最小值為36。八、 引入對偶式拼湊 依據已知不等式的結構，給不等式的一端匹配一個與之對偶的式子，然后一起參與運算，制造運用均值不等式的條件。例16 設為互不相等的正整數，求證。證明：記，構造對偶式，則，當且僅當時，等號成立。又由于為互不相等的正整數，所以，因此。評注：本題通過對式中的某些元素取倒數來構造對偶式。九、確立主元拼湊 在解答多元問題時，假如不分主次來爭辯，問題很難解決；假如依據具體條件和解題需要，確立主元，削減變元個數，恰當拼湊，可制造性地使用均值不等式。例17 在中，證明。分析：為輪換對稱式，即的地位相同，因此可選一個變元為主元，將其它變元看作常量（固定），削減變元個數，化生疏為生疏。證明：當時，原不等式明顯成立。 當時，。當且僅當，即為正三角