1、正多邊形與圓的有關的證明和計算知識講解及典型例題解析【考綱要求】1 .了解正多邊形的概念，掌握用等分圓周畫圓的內接正多邊形的方法；會計算弧長及扇形的面積、圓錐的側面積及全面積；2 .結合相關圖形性質的探索和證明，進一步培養合情推理能力，發展邏輯思維能力和推理論證的表達能力；通過這一章的學習，進一步培養綜合運用知識的能力，運用學過的知識解決問題的能力【知識網絡】【考點梳理】考點一、正多邊形和圓1、正多邊形的有關概念：(1)正多邊形：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形(2)正多邊形的中心一一正多邊形的外接圓的圓心(3)正多邊形的半徑一一正多邊形的外接圓的半徑(4)正多邊形的邊心距一一正多邊形

2、中心到正多邊形各邊的距離.(正多邊形內切圓的半徑)(5)正多邊形的中心角一一正多邊形每一邊所對的外接圓的圓心角2、正多邊形與圓的關系：(1)將一個圓n(n>3)等分(可以借助量角器)，依次連結各等分點所得的多邊形是這個圓的內接正多邊形.(2)這個圓是這個正多邊形的外接圓.(3)把圓分成n(n>3)等分，經過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形.這個圓叫做正n邊形的內切圓.(4)任何正n邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓3、正多邊形性質：(1)任何正多邊形都有一個外接圓.(2)正多邊形都是軸對稱圖形，一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱

3、軸都通過正n邊形的中心.當邊數是偶數時，它又是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心(3)邊數相同的正多邊形相似.它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方.(4)任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓要點詮釋：(1)正n邊形的有n個相等的外角，而正n邊形的外角和為360度，所以正n邊形每個外角的度數是360;n所以正n邊形的中心角等于它的外角.(2)邊數相同的正多邊形相似.周長的比等于它們邊長(或半徑、邊心距)的比.面積比等于它們邊長(或半徑、邊心距)平方的比.考點二、圓中有關計算1.圓中有關計算圓的面積公式：£=汽爐,周長C=2kR.圓

4、心角為耳匕半徑為R的弧長/二竺2.ISO圓心角為"口,半徑為R,弧長為/的扇形的面積二腔穴史=17艮.3602弓形的面積要轉化為扇形和三角形的面積和、差來計算圓柱的側面圖是一個矩形，底面半徑為R,母線長為/的圓柱的體積為霍,側面積為2不及，全面積為二I_"_'.圓錐的側面展開圖為扇形，底面半徑為R,母線長為上，高為左的圓錐的側面積為ttRI,全面積為+母線長、圓錐高、底面圓的半徑之間有漢口+J?=尸.要點詮釋：(1)對于扇形面積公式，關鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的上，即360xx；?3360350(2)在扇形面積公式中，涉及三個量：扇形面積S、

5、扇形半徑R扇形的圓心角，知道其中的兩個量就可以求出第三個量.(3)扇形面積公式%感二!/R,可根據題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式S二:曲有點類似，可類比記憶；(4)扇形兩個面積公式之間的聯系：=竺巴二1乂竺也梵鼠=、1我.幽度36021802【典型例題】類型一、正多邊形有關計算C1.圖是我們常見的地磚上的圖案，其中包含了一種特殊的平面圖形-正八邊形.(1)如圖，AE是。的直徑，用直尺和圓規作。O的內接正八邊形ABCDEFG叱寫作法，保留作圖痕跡)；(2)在(1)的前提下，連接OD已知OA=5若扇形OAD(/AO/180°)是一個圓錐的側面，則這個圓錐底面圓的半徑等于.【思路

6、點撥】(1)作AE的垂直平分線交。O于C,G作/AOG/EOG勺角平分線，分別交。O于H,F,反向延長FO,HO分別交。O于D,B順次連接A,B,C,D,E,F,G,H,八邊形ABCDEFG即為所求；(2)由八邊形ABCDEFGH正八邊形，求得/aod=X3=135°得到標的長工35兀乂54,設這8ISO4個圓錐底面圓的半徑為R,根據圓的周長的公式即可求得結論.【答案與解析】(1)如圖所示，八邊形ABCDEFGH為所求，(2)二.八邊形ABCDEFGH正八邊形，/AOD=-3=135°,SOA=5.南的長=135兀義51打1804設這個圓錐底面圓的半徑為R,_I1R2兀R=

7、JT,4.R上，即這個圓錐底面圓的半徑為一3故答案為：募.圖【總結升華】本題考查了尺規作圖，圓內接八邊形的性質，弧長的計算，圓的周長公式的應用，會求八邊形的內角的度數是解題的關鍵.舉一反三:米.【變式1】如圖是三根外徑均為1米的圓形鋼管堆積圖和主視圖，則其最高點與地面的距離是解析：如圖，以三個圓心為頂點等邊三角形OQQ的高QC=,32所以AB=AO+OC+BC=-22【變式2同一個圓的內接正三角形、正方形、正六邊形的邊長的比是2,則扇形【變式3】一張圓心角為45。的扇形紙板和圓形紙板按如圖方式剪得一個正方形，邊長都為紙板和圓形紙板的面積比是（【答案】A.【解析】解：如圖1,連接OD, 四邊形A

8、BCD是正方形，DCB=ZABO=90°,AB=BC=CD=2, ./AOB=45°,OB=AB=2,由勾股定理得：OD=y.J,"=2!，, 扇形的面積是眨上馬112=5兀；3602如圖2,連接MB、MC, 四邊形ABCD是。M的內接四邊形，四邊形ABCD是正方形, ./BMC=90°,MB=MC, ./MCB=/MBC=45°, BC=2,MC=MB=：'：,OM的面積是兀X（般）2=2兀，扇形和圓形紙板的面積比是-Tt-K271）上.自回故選：A.類型二、正多邊形與圓有關面積的計算.（1）如圖（a）,扇形OAB的圓心角為90

9、76;,分別以OAOB為直徑在扇形內作半圓，P和Q分別表示陰影部分的面積，那么P和Q的大小關系是（）.（2）如圖（b）,ABC為等腰直角三角形，AC=3,以BC為直徑的半圓與斜邊影部分的面積是.（3）如圖（c）,4AOB中，OA=3cm,OB=1cm,將AOB繞點O逆時針旋轉掃過的區域（圖中陰影部分）的面積.（結果保留兀）AB交于點D,則圖中陰90°到AOB,求AB(cJ【思路點撥】直接使用公式計算陰影部分面積比較困難時，可采用和差法、轉化法、也需要運用變換的觀點來解決問題.【答案與解析】方程法等，有時解：陰影部分的面積直接求出十分困難，可利用幾個圖形面積的和差進行計算:PS扇形OA

10、B2s半圓OCAQ12(-R)QQ；2(2)(轉化法“湊整”）利用S'弓形BmDS弓形CnD,則陰影部分的面積可轉化為ACD的面積，等于ABC(3)(一，）,一,9面積的一半，答案為9;4旋轉法）將圖形ABM繞點O逆時針旋轉到位置，則“影S扇形AOAS扇形MOM一4OA22OM2【總結升華】求陰影面積的幾種常用方（1）公式法;構造方程法.（2）割補法；（3）旋轉法；（4）拼湊法；（5）等積變形法；（6）【變式】如圖，在ABC中，AB=AC,AB=8,BC=12,分別以AB、AC為直徑作半圓，則圖中陰A.P=QB.P>QC.PvQD.無法確定影部分的面積是（）A.64冗12&quo

11、t;B.16兀32C,16冗24HD.16冗12用【答案】ADLBC,貝UBD=DG=6.解：如圖，由AB,AC為直徑可得在RtABD中,ADJ82622J7,Sw214216277161277.22答案選D.如圖所示,A是半彳全為2的。外一點，OA=4,AB是。的切線,B為切點，弦BC/OA連AC求陰影部分的面積.【思路點撥】OBOC由BC/OA根據同底等高的三角形圖中的陰影是不規則圖形，不易直接求出，如果連接面積相等，于是所求陰影可化為扇形OBX求解.【答案與解析】解：如圖所示，連OBOCBC/OAOBCABC同底等高，SAABC=SAOBC.AB為。的切線，OB±AB.OA=4

12、,OB=2,/AOB=60°.BC/OA/AOB=/OBC=60°OB=OCOBC正三角形.ZCOB60°,6022360S扇形OBC【總結升華】通過等積替換化不規則圖形為規則圖形，在等積轉化中可根據平移、旋轉或軸對稱等圖形變換；可根據同底（等底）同高（等高）的三角形面積相等進行轉化./P0R舉一反三:【變式】如圖所示，半圓的直徑AB=10,P為AB上一點，點C,D為半圓的三等分點，則陰影部分的面積等于.【答案】解：連接OCODCDC、D為半圓的三等分點，/”-180°/AOC=/COD=ZDOB=603又OC=OD/OCD=ZODC=60°,

13、DC/AB,SAPCDSAOCD'260gg52360256S陰影§g形OCDC4.如圖，在邊長為4的正方形ABCDK以AB為直徑的半圓與對角線AC交于點E.（1）求弧BE所對的圓心角的度數.（2）求圖中陰影部分的面積（結果保留兀）.（2）利用條件可求得扇形求得陰影部分的面積.【答案與解析】解：（1）連接OE四邊形ABCM正方形，/EAB=45,/EOB=2EAB=90;（2）由（1）/EOB=90,且AB=4,則OA=2.c_90允M22,.S扇形AOE=兀,【思路點撥】（1）連接OE由條件可求得/EAB=45,利用圓周角定理可知弧BE所對的圓心角/EOB=2/EAB=90

14、;AOE的面積，進一步求得弓形的面積，利用RtADC的面積減去弓的面積可SaoJoA=2,-S弓形"S扇形AOESaaOET兀2,又sact二AD?CD=X4X4=8,22S陰影=8（兀2）=10兀.【總結升華】本題主要考查扇形面積的計算和正方形的性質，掌握扇形的面積公式是解題的關鍵，注意弓形面積的計算方法.C5.將一塊三角板和半圓形量角器按圖中方式疊放，重疊部分（陰影）的量角器圓?。ˋb）對應的中心角（/AOB為120°,AO的長為4cm求圖中陰影部分的面積.【思路點撥】看是否由“規則的”三角形、四邊形、圓、扇形、弓形等可求面積的圖形，經過怎樣的拼湊、害u補、疊合而成，這

15、是解決這類題的關鍵.【答案與解析】陰影部分的面積可看成是由一個扇形AO環口一個RtBOCfi成，其中扇形AOB勺中心角是120°,AO的長為4,RtBOC中,OB=OA=4,/BOC=60°,可求得BC長和OCK,從而可求得面積，陰影部分面積=扇形AOB面積+4BOC®積=竺_2J3cm2.3【總結升華】本題是求簡單組合圖形的面積問題，解答時，常常是尋找這些“不規則的圖形”是由哪些“可求面積的、規則的圖形”組合而成.舉一反三:【變式】如圖，矩形ABCM,AB=1,ADJ2.以AD的長為半徑的。A交BC于點E,則圖中陰影部分的面積為解析：連接AE,易證AB=BE=1

16、,/BAE=45°,所以/EAD=45所以Sb影S矩形ABCDSAABES扇形DAE四28(歷2gT晨O曰上曰Z人"一人鉆6.如圖，AB是。的直徑，點P是AB延長線上一點，PC切。O于點C,連接AC過點O作AC的垂線交AC于點D,交OO于點E,已知AB=8,/P=30°.(1)求線段PC的長；(2)求陰影部分的面積.【思路點撥】(1)連接OC由PC為圓O的切線，根據切線的性質得到OC與PC垂直，可得三角形OC斯直角三角形，同時由直徑AB的長求出半徑OC的長，根據銳角三角函數定義得到tanP為/P的對邊OC與鄰邊PC的比值，根據/P的度數，利用特殊角的三角函數值求出

17、tanP的值，由tanP及OC的值，可得出PC的長；(2)由直角三角形中/P的度數，根據直角三角形的兩個銳角互余求出/AOC的度數，進而得出/BOC勺度數，由OD與BC垂直，且OC=OB利用等腰三角形的三線合一得到OD為/BOC勺平分線，可求出/COC®數為60°,再根據直角三角形中兩銳角互余求出/OC僅數為30°,根據30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，由斜邊OC的長求出OD的長，先由/COD勺度數及半徑OC的長，利用扇形的面積公式求出扇形COE勺面積，再由OD與CD的長，利用直角三角形兩直角邊乘積的一半求出直角三角形COD的面積，用扇形COE的面積減去三角形CO而面積，即可求出陰影部分的面積.【答案與解析】解：(1)連接OCPC切。O于點C,OGLPC,“1.AB=8,.OCAB=4,2又在直角三角形OCP中，/P=30°,tanP=tan30=,即PC=：=4/3;又ACLOEOA=O