1、第二節(jié)第二節(jié)二、高階導(dǎo)數(shù)二、高階導(dǎo)數(shù) 三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 一、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則一、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則 函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則 第三章第三章 四、反函數(shù)求導(dǎo)法則四、反函數(shù)求導(dǎo)法則 五、隱函數(shù)求導(dǎo)法則五、隱函數(shù)求導(dǎo)法則 六、對數(shù)求導(dǎo)法則六、對數(shù)求導(dǎo)法則 七、參數(shù)方程的求導(dǎo)法則七、參數(shù)方程的求導(dǎo)法則 一、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則（一、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則（P43） 定理定理1.具有導(dǎo)數(shù)都在及函數(shù)xxvvxuu)()()()(xvxu及的和、的和、 差、差、 積、積、 商商 (除分母除分母為為 0的點(diǎn)外的點(diǎn)外) 都在點(diǎn)都在點(diǎn) x 可導(dǎo)可導(dǎo), 且且)()( )()() 1 (xvx

2、uxvxu)()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu)0)(xv推廣：推廣：有限個函數(shù)和差的導(dǎo)數(shù)等于其導(dǎo)數(shù)的和差。有限個函數(shù)和差的導(dǎo)數(shù)等于其導(dǎo)數(shù)的和差。 注：注：此法則可推廣到有限個可導(dǎo)函數(shù)之積的情形。此法則可推廣到有限個可導(dǎo)函數(shù)之積的情形。 )( )(xuCxCu推論：推論：3(sin7)yxx23cosxx3()(sin )(7)xx.y例例1 設(shè),求解解7sin3xxy3(coslnsin5)yxxx3( )(cos )(ln )(sin5)xxxxxx1sin323coslnsin5yxxx.y例例2 設(shè),求

3、解解 例例3 3 設(shè) ,求 解解 xxy2y)2(xxy2ln222xxxx)2(2)(xxxx例 4設(shè)sinlnyxxx，求y( ) sin ln(sin ) lnsin (ln )xxxxxxxxxsin lncos lnsinxxxxxxyexyx求已知例5.)(xexy解：2)()(xxxeexexxex12)(xxxexee 例 6設(shè)1 sin,1 cosxyyx求解解 1 sin1 cosxyx2(1 sin ) (1 cos )(1 sin )(1 cos )(1 cos )xxxxx2cos (1 cos )(1 sin )( sin )(1 cos )xxxxx222cosc

4、ossinsin(1 cos )xxxxx21 cossin(1 cos )xxx 定義定義. 若函數(shù)若函數(shù))(xfy 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù))(xfy可導(dǎo)可導(dǎo), ,或或,dd22xy即即)( yy或或)dd(dddd22xyxxy記作記作y )(xf的的二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù) ,)(xf 的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為注：注：則稱則稱1.二階導(dǎo)數(shù)的概念二階導(dǎo)數(shù)的概念二、二、高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)稱為一階導(dǎo)數(shù)。)(xf 二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為稱為三階導(dǎo)數(shù)三階導(dǎo)數(shù)。1n階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為稱為 n 階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù) 。,y ,)4(y)(,ny或或,dd33xy,dd44xynnxydd,分別記作：分別記作：二階及二

5、階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)。高階導(dǎo)數(shù)。2.高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)例例1 1解解211xy )11(2 xy22)1(2xx .,arctanyxy 求設(shè)例例2 2ybaxy 求設(shè),)(abaxy0)( ay解解2222)1 ()1 (1)1 (0 xxx三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則(P44)dxdududydxdyxufxfxxfyuufyxxu )( )( )( )( )( )( 或可導(dǎo)，且有處在點(diǎn)處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在對應(yīng)點(diǎn)處可導(dǎo)，函數(shù)在點(diǎn)：若函數(shù)定理思路：思路：方法：方法：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于等于外層函數(shù)的導(dǎo)數(shù)外層函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以乘以內(nèi)層函數(shù)的

6、導(dǎo)數(shù)內(nèi)層函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 由由外外層（函數(shù)）向?qū)樱ê瘮?shù)）向內(nèi)內(nèi)層（函數(shù)）一層層求導(dǎo)。層（函數(shù)）一層層求導(dǎo)。求導(dǎo)。對中間變量表示函數(shù)而求導(dǎo)，對自變量表示函數(shù))( )( )( )( )( xuxfxfxxfxf例例1 1.tanln的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)xy 解解.tan,lnxuuy 注注：)tan(lnxyxu2sec1 xxcossin1 )(tan)(lnxuxxxxx22cos1sincossectan1)1 ()(ln2 xuy21lnxuuy，解解y)1ln(2xy例例2 2 設(shè) ，求 xu21212xx的導(dǎo)數(shù)求例 sin 3xy 422的導(dǎo)數(shù)求例xayxuuy , sin解xxxux

7、uy2cos21cos)()(sin22 , xauuy解：2222)2(21()(xaxxuxauy）例例5 5.)cos(ln的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xey 解解xevvuuy ,cos,ln)tan()sin(1xxxeeevu 注：注：熟練以后，可以不寫出中間變量，此例可以這樣寫：熟練以后，可以不寫出中間變量，此例可以這樣寫： )cos()cos(1)cos(ln xxxeeedxdy)tan( )()cos()sin(xxxxxeeeee )()(cos)(lnxevuy解解 解解 22222121(1)2 12 11xxyxxxxx322(cos)3cos(cos )3sin co

8、syxxxxx解解 33323(cos)sin()3sinyxx xxx例例9 9.1sin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 例例1010 32ln1xy)ln1 ()ln1 (3121312xxy解：解： )(ln1 )ln1 (312322xx)(lnln20 )ln1 (31322xxxxxxln12)ln1 (31322xxxln)ln1 (32322 定理定理2.42.4 如果單調(diào)連續(xù)函數(shù)如果單調(diào)連續(xù)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn)y處可導(dǎo)，而且處可導(dǎo)，而且 那么它的反函數(shù)那么它的反函數(shù) 在對應(yīng)點(diǎn)在對應(yīng)點(diǎn)x

9、處可導(dǎo)，且有處可導(dǎo)，且有 或者或者 四、反函數(shù)的求導(dǎo)法則四、反函數(shù)的求導(dǎo)法則(P35)(P35)即即 原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于其反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于其反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).利用此法則的步驟：利用此法則的步驟： (1)(1)求出其反函數(shù)并判斷其在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)求出其反函數(shù)并判斷其在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)是否單調(diào)可導(dǎo)；是否單調(diào)可導(dǎo)； (2) (2)求出反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；求出反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；求解之。）利用公式（dydxdxdy13yxsinxyarcsin)22(，0cos)(sinyy 求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù) xyarcsin例例1 1解解2211sin11cos1)(sin1)(arcsinxyyyx的反函數(shù)為的反函數(shù)為

10、且在且在上單調(diào)、可導(dǎo)。上單調(diào)、可導(dǎo)。例例2 求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù) xyarctanyxtanxyarctan)22(，0sec)(tan2yy解解的反函數(shù)為的反函數(shù)為且在且在單調(diào)、可導(dǎo)。單調(diào)、可導(dǎo)。22211tan11sec1)(tan1)(arctanxyyyx解解yxalog的反函數(shù)為且在(0,+)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)。例例3 3 求求 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù). .1, 0aaayxxay 0ln1aydydxaaaydydxyxlnln1隱函數(shù)隱函數(shù): :.稱為隱函數(shù)由方程所確定的函數(shù)0),(yxF形式稱為顯函數(shù).)(xfy )(0),(xfyyxF隱函數(shù)的顯化顯函數(shù)的隱化顯函數(shù)：顯函數(shù)：五、隱函數(shù)求導(dǎo)法則五、

11、隱函數(shù)求導(dǎo)法則注：注：當(dāng)方程當(dāng)方程0)(yxF，x 的兩端對的兩端對 求導(dǎo)時，求導(dǎo)時，方法：方法：的一次方程；求導(dǎo)，得到含）兩端同時對（yx1即可。）解出（y2y要記住要記住的函數(shù)。的函數(shù)。x是是例例1 1dxdyyxyey的導(dǎo)數(shù)所確定的隱函數(shù)求由方程解解求導(dǎo)方程兩邊對xyxyyeyxeyyy)()(xyey例例2 2.0dxdyyeexyyx的導(dǎo)數(shù)所確定的隱函數(shù)求由方程解解求導(dǎo)方程兩邊對x0yeeyxyyxyxexyey)0()()()(yxeexy例例3 3dxdyyyxey的導(dǎo)數(shù)所確定的隱函數(shù)求由方程22解解求導(dǎo)方程兩邊對xyyxyey22yeyxy22)()()(22yxey解解求導(dǎo)方

12、程兩邊對x例例4 4dxdyyxexexy，求已知3)()()()(3yxexexyyyeexexyy231)(yyeyxeexyy231231yxeeeyyxy例例5. 求由方程求由方程03275xxyy)(xyy 在在 x = 0 處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù).0ddxxy解解: 方程兩邊對方程兩邊對 x 求導(dǎo)求導(dǎo))0()32(75xxyyyy45y21621x025211dd46yxxyy因因 x = 0 時時 y = 0 , 故故2100252110dd46yxyxxxy確定的隱函數(shù)確定的隱函數(shù)例例6. 求橢圓求橢圓191622yx在點(diǎn)在點(diǎn))3,2(23處的切線方程處的切線方程.解解: 橢圓方程兩

13、邊對橢圓方程兩邊對 x 求導(dǎo)求導(dǎo)8xyy920yk切則2323xyyx1692323xy43故切線方程為：故切線方程為：323y43)2( x即即03843 yxyxy169練習(xí)：練習(xí)：xyexexyyxeyxyy、及的導(dǎo)數(shù)、隱函數(shù)2021yxxyyyxeeyeeyexyxeey12.0;112）（）答案：（六、對數(shù)求導(dǎo)法六、對數(shù)求導(dǎo)法 有時會遇到這樣的情形，即雖然給出的是顯函數(shù)有時會遇到這樣的情形，即雖然給出的是顯函數(shù)但直接求導(dǎo)有困難或很麻煩但直接求導(dǎo)有困難或很麻煩觀察函數(shù)觀察函數(shù).,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 對數(shù)求導(dǎo)法通常解決兩類問題對數(shù)求導(dǎo)法通常解決兩類問題: :的導(dǎo)數(shù)

14、。冪指函數(shù)；方、開方所構(gòu)成的函數(shù)多個函數(shù)相乘、除、乘)()()2() 1 (xvxu方法方法: :（1 1）方程兩邊同時取（自然）對數(shù)）方程兩邊同時取（自然）對數(shù), ,并化簡；并化簡；x（2 2）兩邊同時對）兩邊同時對 求導(dǎo)，將求導(dǎo)，將 解出即可。解出即可。 y例例1 1.),0(sinyxxyx 求求設(shè)設(shè)解解兩邊同時取自然對數(shù)得兩邊同時取自然對數(shù)得xxylnsinln 求導(dǎo)得兩邊同時對xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy)sinln(cossinxxxxxx 解解兩邊同時取自然對數(shù)兩邊同時取自然對數(shù)兩邊同時對求導(dǎo)，可得兩邊同時對求導(dǎo)，可得x例例2 2 求的導(dǎo)

15、數(shù)求的導(dǎo)數(shù)xxy)(sinyxxysinlnln11lnsincossinyxxxyx (lnsincot )yyxxx (sin ) (lnsincot )xyxxxx，例例3xxy)1 (2y求兩邊同時取自然對數(shù))1ln(ln2xxyxxxxyy21)1ln(122222212)1ln()1 (xxxxyx解解兩邊對兩邊對 x 求導(dǎo)得求導(dǎo)得12)1ln(222xxxyy解解 142) 1(3111)4(1) 1(23xxxexxxyx等式兩邊取自然對數(shù)得等式兩邊取自然對數(shù)得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求導(dǎo)得兩邊對x142)1(3111 xxxyy例例4 4.,)4(

16、1) 1(23yexxxyx求設(shè)142) 1( 3111xxxyy例例5 5.11yxxxy求設(shè))1ln()1ln(21lnlnxxxy)1111(2111xxxyy等式兩邊取自然對數(shù)得等式兩邊取自然對數(shù)得解解兩邊同時對兩邊同時對 x 求導(dǎo)求導(dǎo))111(2xxyy)111(112xxxxxy例例6 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求)4)(3()2)(1( xxxxy解解兩邊取自然對數(shù)兩邊取自然對數(shù)21lny)2ln() 1ln(xx)4ln()3ln(xx兩邊對兩邊對 x 求導(dǎo)求導(dǎo)21yy11x21x31x41x)4)(3()2)(1(21xxxxy41312111xxxx解解兩邊取自然對數(shù)兩邊取自然對數(shù)兩邊

17、同時對求導(dǎo)，可得兩邊同時對求導(dǎo)，可得x即即1ln( )3lnln(2)ln(2)2ln(2)3f xxxxx131112( )( )23 22fxf xxxxx3211( )( )322fxf xxxx33223211( )23 22(2)xxfxxxxxx3331211 3131(1)3139339927f例例8dxdyaxaxaxynanaa求求設(shè)設(shè))()()(2121 解解兩邊同時取自然對數(shù)得兩邊同時取自然對數(shù)得)ln()ln()ln(ln2211nnaxaaxaaxay 兩邊對兩邊對 x 求導(dǎo)得求導(dǎo)得nnaxaaxaaxayy 221112211nnaxaaxaaxayy 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容

18、小結(jié)1. 1. 隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo)。直接對方程兩邊求導(dǎo)。2. 2. 對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法 : :（1）適用于冪指函數(shù)及某些用連乘,連除表示的函數(shù)；（2）對方程兩邊取對數(shù),按隱函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)。定義：定義：所確定的函數(shù).稱此函數(shù)為由參數(shù)方程,關(guān)系間的函數(shù)與確定若參數(shù)方程 xytytx)()(七、七、參數(shù)方程的求導(dǎo)法則參數(shù)方程的求導(dǎo)法則ddddddyytxxt)()(tt例例1 1 解解.arctan)1ln(2dxdyttytx求已知方程dtdxdtdydxdy )1ln()arctan(2ttt2212111tttt21例例2 2解解dtdxdtdydxdyttcos1sin taatattatattatacossin)sin()cos1 ( )sin( )cos1 (2co