1、 數的整除（1）性質、特征、奇偶性教室： 姓名： 學號： 【知識要點】：整除性質：（1）如果數a、b都能被c整除，那么它們的和（a+b）或差（ab）也能被c整除。（2）如果數a能被自然數b整除，自然數b能被自然數c整除，則數a必能被數c整除。（3）若干個數相乘，如其中有一個因數能被某一個數整除，那么，它們的積也能被這個數整除。（4）如果一個數能被兩個互質數中的每一個數整除，那么，這個數能被這兩個互質數的積整除。反之，若一個數能被兩個互質數的積整除，那么這個數能分別被這兩個互質數整除。整除特征：（1）若一個數的末兩位數能被4（或25）整除，則這個數能被4（或25）整除。（2）若一個數的末三位數能

2、被8（或125）整除，則這個數能被8（或125）整除。（3）若一個數的各位數字之和能被3（或9）整除，則這個數能被3（或9）整除。（4）若一個數的奇數位數字和與偶數數字和之差（以大減小）能被11整除，則這個數能被11整除。（5）若一個數的末三位數字所表示的數與末三位以前的數字所表示的數之差（大數減小數）能被7（或13）整除，則這個數能被7（或13）整除。奇偶性：（1）奇數±奇數=偶數（2）偶數±偶數=偶數（3）奇數±偶數=奇數（4）奇數×奇數=奇數（5）偶數×偶數=偶數（6）奇數×偶數=偶數（7）奇數÷奇數=奇數（8）【典型

3、例題】例1：一個三位數能被3整除，去掉它的末尾數后，所得的兩位數是17的倍數，這樣的三位數中，最大是幾？解：在兩位數中，是17的倍數的數中最大的為17×5=85（17×6=102）.于是所求數的前兩位數字為85.因為8+5=13，故所求數的個位數字為2、5、8時，該數能被3整除，為使該數最大，其個位數字應為8.最大三位數是858.例2：1200這200個自然數中，能被6或8整除的數共有多少個？解：1200中，能被6整除的數共有33個（200÷6=33），能被8整除的數共有25個（200÷8=25）.但6，8=24，200÷24=88，即1200

4、中，有8個數既被6整除，又被8整除。故總共有：33+258=50。例3：任意取出1998個連續自然數，它們的總和是奇數還是偶數？解：任意取出的1998個連續自然數，其中奇數、偶數各占一半，即999個奇數和999個偶數。999個奇數的和是奇數，999個偶數的和是偶數，奇數加上偶數和為奇數，所以它們的和是奇數。例4：有“1”，“2”，“3”，“4”四張卡片，每次取出三張組成三位數，其中偶數有多少個？解：組成的三位數個位數字只能是2或4兩種情況，若個位數字是2，百位、十位數字可從余下的數字中取，這樣可組成3×2=6（個）三位偶數；若個位數字是4，同樣也可以組成6個三位偶數。這樣總共12個。

5、【精英班】解：根據能被7整除的數的特征，555555與999999都能被7因為上式中等號左邊的數與等號右邊第一個數都能被7整除，所以等號右邊第二個數也能被7整除，推知5599能被7整除。根據能被7整除的數的特征，99-55=44也應能被7整除。由44能被7整除，易知內應是6。【競賽班】例6：某市舉辦小學生數學競賽，共20道題，評分標準是：答對一題給5分，不答一題給1分，答錯一題倒扣1分，如果1999人參賽，問參賽同學的總分是奇數還是偶數？解：對于每個學生來說，20道題都答對，共得5×20=100分（偶數）。若該學生答錯一題，應從100分中扣（5+1=6）分，無論他答錯多少道題，扣分的

6、總數應是6的倍數，即扣分的總數也是偶數，100分中扣除偶數分仍得偶數分；同樣若他不答一題，應從100分中扣除（51=4）分，無論他不答多少道題，扣分的總數應是4的倍數，即扣分的總數也是偶數，所以100分中減去偶數仍得偶數，每個學生得分數是偶數，那么無論有多少人參加數學競賽，學生得分的總數和一定是偶數。【課后分層練習】A組：入門級1、判斷306371能否被7整除？能否被13整除？解：因為371-306=65，65是13的倍數，不是7的倍數，所以306371能被13整除，不能被7整除。2、abcabc能否被7、11和13整除?3、六位數7E36F5 是1375的倍數，求這個六位數。解：因為1375

7、=5×5×5×11=125×11，根據能被125整除數的特征，這個數的末三位能被125整除，可知道F=2，又因為這個數是11的倍數，所以7+3+2（E+6+5）1E是11的倍數，那么E=1.所以這個六位數是713625.4、已知108971能被13整除，求中的數。解：108-971=1008-971+0=37+0。上式的個位數是7，若是13的倍數，則必是13的9倍，由13×9-37=80，推知中的數是8。5、有8個學生都面向南站成一排，每次只有7個學生向后轉，最少要做多少次才能使8個學生都面向北？解：對于每個人只要向后轉奇數次，就能面向北。由于

8、每一輪恰有7個學生向后轉，8個學生向后轉的次數總和為7×8=56（次）。因此最少要做56÷7=8（次）才能使8個學生都面向北。B組：進階級1、有一個四位數3AA1，它能被9整除，那么數A代表多少？解：3+A+A+1=4+2A，根據能被9整除數的特征，4+2A是9的倍數。因為4+2A是偶數，所以4+2A=18，A=7.2、一個一百位數由1個1，2個2，3個3，4個4，5個5，6個6，7個7，及72個0組成，問這個百位自然數有可能是完全平方數嗎？解：任何一個自然數的平方除以3都余1或0.而這個一百位數的數字和是140，140除以3余2，所以這個一百位數不可能是完全平方數。3、某

9、市舉辦小學生數學競賽，共30道題，評分標準是：基礎分15分，答對一題給5分，不答一題給1分，答錯一題倒扣1分，如果199人參賽，問參賽同學的總分是奇數還是偶數？解：仿照例6：這199位同學的得分總分是奇數。4、已知108971能被13整除，求中的數。解：108-971=1008-971+0=37+0。上式的個位數是7，若是13的倍數，則必是13的9倍，由13×9-37=80，推知中的數是8。C組：挑戰級1、能不能將從1到10的各數排成一行，使得任意相鄰的兩個數之和都能被3整除？解：10個數排成一行的方法很多，逐一試驗顯然行不通。我們采用反證法。假設題目的要求能實現。那么由題意，從前到

10、后每兩個數一組共有5組，每組的兩數之和都能被3整除，推知110的和也應能被3整除。實際上，110的和等于55，不能被3整除。這個矛盾說明假設不成立，所以題目的要求不能實現。2、對于左下表，每次使其中的任意兩個數減去或加上同一個數，能否經過若干次后（各次減去或加上的數可以不同），變為右下表？為什么？解：因為每次有兩個數同時被加上或減去同一個數，所以表中九個數碼的總和經過變化后，等于原來的總和加上或減去那個數的2倍，因此總和的奇偶性沒有改變。原來九個數的總和為1+2+9=45，是奇數，經過若干次變化后，總和仍應是奇數，與右上表九個數的總和是4矛盾。所以不可能變成右上表。3、左下圖是一套房子的平面圖，圖中的方格代表房間，每個房間都有通向任何一個鄰室的門。有人想從某個房