1、 基礎(chǔ)知識基礎(chǔ)知識 一、等差、等比數(shù)列的綜合問題一、等差、等比數(shù)列的綜合問題 (1)若若an是等差數(shù)列，則數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列can(c0，c1)為為 數(shù)列；數(shù)列； (2)若若an為正項(xiàng)等比數(shù)列，則數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，則數(shù)列l(wèi)ogcan(c0，c1)為為 數(shù)列；數(shù)列； (3)若若an既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則數(shù)列則數(shù)列an為為 等比等比等差等差常數(shù)列常數(shù)列 二、與銀行利率相關(guān)的幾類模型二、與銀行利率相關(guān)的幾類模型 1銀行儲蓄單利公式銀行儲蓄單利公式 利息按單利計(jì)算，本金為利息按單利計(jì)算，本金為a元，每期利率元，每期利率為為r，存期為，存期為x，則本利和，則本利和y

2、 2銀行儲蓄復(fù)利公式銀行儲蓄復(fù)利公式 按復(fù)利計(jì)算利息的一種儲蓄，本金為按復(fù)利計(jì)算利息的一種儲蓄，本金為a元，元，每期利率為每期利率為r，存期為，存期為x，則本利和，則本利和y . 3產(chǎn)值模型產(chǎn)值模型 原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長率為，平均增長率為p，對于時(shí)間對于時(shí)間x的總產(chǎn)值的總產(chǎn)值y .axara(1xr)a(1r)xN(1p)x 4分期付款模型分期付款模型 a為貸款總額，為貸款總額，r為月利率，為月利率，b為月等額本為月等額本息還款數(shù)，息還款數(shù)，n為貸款月數(shù)，則為貸款月數(shù)，則b 易錯(cuò)知識易錯(cuò)知識 一、審題錯(cuò)誤一、審題錯(cuò)誤 1已知已知an是遞增數(shù)列，且對任意是遞增數(shù)列，且

3、對任意xN*，都有都有ann2n恒成立，則實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值的取值范圍是范圍是() A( ，) B(0，) C2， ) D(3，) 答案：答案：D 解題思路：解題思路：an是遞增數(shù)列，是遞增數(shù)列，an1an， 即即(n1)2(n1)n2n.2n1對于對于nN*恒成立，恒成立， 而而2n1在在n1時(shí)取得最大值時(shí)取得最大值3，3，故選，故選D. 錯(cuò)因分析：錯(cuò)因分析：數(shù)列是特殊的函數(shù)，可以用數(shù)列是特殊的函數(shù)，可以用動態(tài)函數(shù)的觀點(diǎn)研究數(shù)列，但必須時(shí)刻動態(tài)函數(shù)的觀點(diǎn)研究數(shù)列，但必須時(shí)刻注意其注意其“特殊特殊”性，即：定義域?yàn)樾裕矗憾x域?yàn)閚N*.本題常出現(xiàn)如下錯(cuò)誤：本題常出現(xiàn)如下錯(cuò)誤： 錯(cuò)解：錯(cuò)

4、解：ann2n(n ，對稱，對稱軸軸n 當(dāng)當(dāng)n1時(shí)為遞增數(shù)列，則時(shí)為遞增數(shù)列，則 從而得從而得2.故選故選C. 二、實(shí)際應(yīng)用錯(cuò)誤二、實(shí)際應(yīng)用錯(cuò)誤 2假設(shè)某市假設(shè)某市2004年新建住房年新建住房400萬平方萬平方米，其中有米，其中有250萬平方米是中低價(jià)房，預(yù)萬平方米是中低價(jià)房，預(yù)計(jì)在今后的若干年內(nèi)，該市每年新建住計(jì)在今后的若干年內(nèi)，該市每年新建住房面積平均比上一年增長房面積平均比上一年增長8%.另外，每年另外，每年新建住房中，中低價(jià)房的面積均比上一新建住房中，中低價(jià)房的面積均比上一年增加年增加50萬平方米，那么，到另一年底，萬平方米，那么，到另一年底， (1)該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積該市

5、歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積(以以2004年為累計(jì)的第一年年為累計(jì)的第一年)將首次不少于將首次不少于4750萬平方米？萬平方米？ (2)當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于造住房面積的比例首次大于85%? 解析：解析：(1)設(shè)中低價(jià)房面積形成數(shù)列設(shè)中低價(jià)房面積形成數(shù)列an，由題意可知由題意可知an是等差數(shù)列，其中是等差數(shù)列，其中a1250，d50，則，則Sn250n 5025n2225n. 令令25n2225n4750， 即即n29n1900，而，而n是正整數(shù)，是正整數(shù)，n10. 到到2013年底，該市歷年所建中低價(jià)房年底，該市歷年所建中低價(jià)房

6、的累計(jì)面積將首次不少于的累計(jì)面積將首次不少于4750萬平方萬平方米米 (2)設(shè)新建住房面積形成數(shù)列設(shè)新建住房面積形成數(shù)列bn，由題，由題意可知意可知bn是等比數(shù)列，其中是等比數(shù)列，其中b1400，q1.08， 則則bn400(1.08)n1， 由題意可知由題意可知an0.85bn， 有有250(n1)50400(1.08)n10.85. 由計(jì)算器解得滿足上述不等式的最小正由計(jì)算器解得滿足上述不等式的最小正整數(shù)整數(shù)n6.到到2009年底，當(dāng)年建造的中年底，當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于例首次大于85%. 回歸教材回歸教材 1(教材教材P

7、1146題改編題改編)夏季高山上氣溫從夏季高山上氣溫從山腳起每升高山腳起每升高100米降低米降低0.7，已知山，已知山頂氣溫是頂氣溫是14.1，山腳的氣溫是，山腳的氣溫是26，那么此山相對于山腳的高度是那么此山相對于山腳的高度是() A1500米米B1600米米C1700米米D1800米米 解析：解析：因因a126，an14.1，d0.7. ana1(n1)d，14.126(n1)(0.7) n18，其高度為其高度為(181)1001700. 答案：答案：C 2(教材教材P1253題改編題改編)某種細(xì)菌在培養(yǎng)過某種細(xì)菌在培養(yǎng)過程中，每程中，每20分鐘分裂一次分鐘分裂一次(一個(gè)分裂成兩一個(gè)分裂成

8、兩個(gè)個(gè))經(jīng)過經(jīng)過3小時(shí)，這種細(xì)菌由小時(shí)，這種細(xì)菌由1個(gè)可繁殖成個(gè)可繁殖成() A511個(gè)個(gè)B512個(gè)個(gè) C1023個(gè)個(gè)D1024個(gè)個(gè) 解析：解析：a10a1q929512(個(gè)個(gè)) 答案：答案：B 3等比數(shù)列等比數(shù)列an的公比為的公比為q，則，則“q1”是是“對于任意自然數(shù)對于任意自然數(shù)n，都有，都有an1an”的的() A充分不必要條件充分不必要條件 B必要不充分條件必要不充分條件 C充要條件充要條件 D既不充分又不必要條件既不充分又不必要條件 解析：解析：當(dāng)當(dāng)a10時(shí)，條件與結(jié)論均不能由時(shí)，條件與結(jié)論均不能由一方推出另一方一方推出另一方 答案：答案：D 4設(shè)等比數(shù)列設(shè)等比數(shù)列an的公比為的公

9、比為q，前，前n項(xiàng)和項(xiàng)和為為Sn，若，若Sn1，Sn，Sn2成等差數(shù)列，成等差數(shù)列，則公比則公比() Aq2Bq1 Cq2或或q1 Dq2或或q1 解析：解析：由題意可得由題意可得2SnSn1Sn2，當(dāng)，當(dāng)q1時(shí)，時(shí)， 即即2qq2， 解之得解之得q2或或q1，當(dāng)，當(dāng)q1時(shí)不成時(shí)不成立立 答案：答案：A 5(教材改編題教材改編題)A、B兩個(gè)工廠兩個(gè)工廠2009年元年元月份的產(chǎn)值相等，月份的產(chǎn)值相等，A廠的產(chǎn)值逐月增加且廠的產(chǎn)值逐月增加且每月增加的產(chǎn)值相同，每月增加的產(chǎn)值相同，B廠產(chǎn)值也逐月增廠產(chǎn)值也逐月增加且月增長率相同，而加且月增長率相同，而2010年元月份兩年元月份兩廠的產(chǎn)值又相等，則廠的

10、產(chǎn)值又相等，則2009年年7月份產(chǎn)值高月份產(chǎn)值高的工廠是的工廠是_ 解析：解析：設(shè)兩工廠的月產(chǎn)值從設(shè)兩工廠的月產(chǎn)值從2009年元月年元月起依次組成數(shù)列起依次組成數(shù)列an，bn， 由題意知由題意知an成等差數(shù)列，成等差數(shù)列，bn成等比數(shù)成等比數(shù)列，并且列，并且a1b1，a13b13.由于由于an成等成等差數(shù)列，差數(shù)列， 即即2009年年7月份月份A廠產(chǎn)值高于廠產(chǎn)值高于B廠產(chǎn)值廠產(chǎn)值 答案：答案：A廠廠 【例【例1】(2006遼寧高考遼寧高考)在等比數(shù)列在等比數(shù)列an中，中，a12，前，前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為Sn，若數(shù)列，若數(shù)列an1也是等比數(shù)列，則也是等比數(shù)列，則Sn等于等于() A2n11 B3n

11、C2n D3n1 命題意圖命題意圖本題主要考查等比數(shù)列的概本題主要考查等比數(shù)列的概念、求和公式等綜合應(yīng)用念、求和公式等綜合應(yīng)用 解析解析解法一：由解法一：由an為等比數(shù)列可得為等比數(shù)列可得an1anq，an2anq2， 由由an1為等比數(shù)列可得為等比數(shù)列可得(an11)2(an1)(an21)， 故故(anq1)2(an1)(anq21) 化簡上式可得化簡上式可得q22q10，解得，解得q1 故故an為常數(shù)列，且為常數(shù)列，且ana12， 故故Snna12n，故選，故選C. 解法二：設(shè)等比數(shù)列解法二：設(shè)等比數(shù)列an的公比為的公比為q， 則有則有a22q且且a32q2 令令an1bn 則有則有b1

12、3，b22q1，b32q21 又又?jǐn)?shù)列數(shù)列bn為等比數(shù)列，為等比數(shù)列， (2q1)23(2q21)， 解得解得q1，以下同解法一，以下同解法一 解法三：運(yùn)用特殊與一般的數(shù)學(xué)思想，解法三：運(yùn)用特殊與一般的數(shù)學(xué)思想，令令an2，顯然符合題意，故數(shù)列，顯然符合題意，故數(shù)列an1也符合題意，故也符合題意，故Snna12n.可見，在可見，在數(shù)列問題中，常數(shù)列往往可以作為一種數(shù)列問題中，常數(shù)列往往可以作為一種典型的模型予以考慮典型的模型予以考慮 答案答案C (2009浙江嘉興一中浙江嘉興一中)各項(xiàng)都是正數(shù)的等各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列比數(shù)列an中，中，a2， a3，a1成等差數(shù)列，成等差數(shù)列，則則 的值為的值

13、為 () 答案：答案：B 解析：解析：由題意可知：由題意可知：a3a1a2， q21q，解得：，解得： (舍去舍去)，所以選，所以選B. 【例【例2】銀行按規(guī)定，每經(jīng)過一定的時(shí)銀行按規(guī)定，每經(jīng)過一定的時(shí)間結(jié)算存間結(jié)算存(貸貸)款的利息一次，結(jié)算后立即款的利息一次，結(jié)算后立即將利息并入本金，這種計(jì)算利息的方法將利息并入本金，這種計(jì)算利息的方法叫復(fù)利現(xiàn)在某企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造，有叫復(fù)利現(xiàn)在某企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造，有兩種方案：甲方案兩種方案：甲方案一次性貸款一次性貸款10萬元，萬元，第一年便可獲利第一年便可獲利1萬元，以后每年比前一萬元，以后每年比前一年增加年增加30%的利潤；乙方案的利潤；乙方案每年貸款每

14、年貸款1萬元，第一年可獲利萬元，第一年可獲利1萬元，以后每年比萬元，以后每年比前一年多獲利前一年多獲利5千元兩種方案的使用期千元兩種方案的使用期限都是限都是10年，到期一次性歸還本息若年，到期一次性歸還本息若銀行貸款利息均按年息銀行貸款利息均按年息10%的復(fù)利計(jì)算，的復(fù)利計(jì)算，試比較這兩種方案哪個(gè)獲利更多試比較這兩種方案哪個(gè)獲利更多(計(jì)算結(jié)計(jì)算結(jié)果精確到果精確到103元，參考數(shù)據(jù)：元，參考數(shù)據(jù)：1.1102.594，1.31013.786) 思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥甲方案中，每年的獲利組成甲方案中，每年的獲利組成一等比數(shù)列，乙方案中每年的獲利組成一等比數(shù)列，乙方案中每年的獲利組成一等差數(shù)列，分別計(jì)算出

15、一等差數(shù)列，分別計(jì)算出10年的凈獲利年的凈獲利之和作比較即可之和作比較即可 解析解析甲方案甲方案10年獲利是每年獲利數(shù)組年獲利是每年獲利數(shù)組成的數(shù)列的前成的數(shù)列的前n項(xiàng)的和項(xiàng)的和1(130%)(130%)2(130%)9 42.62(萬元萬元) 到期時(shí)銀行貸款的本息為到期時(shí)銀行貸款的本息為 10(110%)10102.59425.94(萬萬元元)， 甲方案扣除貸款本息后凈獲利甲方案扣除貸款本息后凈獲利 426225.9416.7(萬元萬元)； 乙方案逐年獲利組成一個(gè)等差數(shù)列，乙方案逐年獲利組成一個(gè)等差數(shù)列，10年共獲利年共獲利 1(10.5)(120.5)(190.5) 而貸款本息為而貸款本息

16、為 111(110%)(110%)9 乙方案扣除貸款本息后，凈獲利為乙方案扣除貸款本息后，凈獲利為 325017.5315.0(萬元萬元) 比較可知，甲方案獲利多于乙方案獲比較可知，甲方案獲利多于乙方案獲利利 即甲方案比乙方案獲利多即甲方案比乙方案獲利多 某林場有荒山某林場有荒山3250畝，從畝，從2009年年1月開月開始在該荒山上植樹造林，且保證每年種始在該荒山上植樹造林，且保證每年種樹全部成活第一年植樹樹全部成活第一年植樹100畝，以后每畝，以后每年都比上一年多植樹年都比上一年多植樹50畝畝 (1)問至少需幾年才可將此荒山全部綠化；問至少需幾年才可將此荒山全部綠化； (2)如果新種樹苗每畝

17、的木材量為如果新種樹苗每畝的木材量為2立方米，立方米，樹木每年的自然增材率為樹木每年的自然增材率為10%，那么到，那么到此荒山全部綠化后的那一年底，這里樹此荒山全部綠化后的那一年底，這里樹木的木材量總共為多少立方米？木的木材量總共為多少立方米？(1.1112.85) 解析：解析：(1)設(shè)至少需要設(shè)至少需要n年才可將此荒山全年才可將此荒山全部綠化部綠化 第一年植樹第一年植樹a1100畝，第畝，第n年植樹年植樹an與與第第n1年植樹年植樹an1滿足滿足anan150. 每年植樹每年植樹an構(gòu)成等差數(shù)列構(gòu)成等差數(shù)列 Sn100n 3250， n23n1300， 即即(n13)(n10)0， n10.

18、 故至少需要故至少需要10年才能將此荒山全部綠年才能將此荒山全部綠化化 (2)設(shè)樹木的木材量總共為設(shè)樹木的木材量總共為M立方米立方米 M2(a11.110a21.19a31.18a91.12a101.1)， 1.1a11.111a21.110a31.19a91.13a101.12， 1.1 a11.111(a2a1)1.1101.191.12a101.1， 005M1001.111501.1101.191.125501.1 1002.8550 605 285820605 500， M10000立方米立方米 故這里木材總量為故這里木材總量為10000立方米立方米. 【例【例3】設(shè)函數(shù)】設(shè)函數(shù)f(

19、x) (a，b為常為常數(shù)，數(shù)，a0)，若，若f(1) ，且，且f(x)x只有一只有一個(gè)實(shí)根個(gè)實(shí)根 (1)求求f(x)的解析式；的解析式； (2)若數(shù)列若數(shù)列an滿足關(guān)系式滿足關(guān)系式anf(an1)(nN*，且，且n2)，又，又a1 ，求，求an的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式； (3)設(shè)設(shè)bn ，求，求bn的最大值與最小值，的最大值與最小值，以及相應(yīng)的以及相應(yīng)的n值值 分析分析(1)利用函數(shù)與方程的思想；利用函數(shù)與方程的思想； (2)利用函數(shù)構(gòu)造新數(shù)列利用函數(shù)構(gòu)造新數(shù)列 (3)利用函數(shù)的單調(diào)性，從而求出數(shù)列最利用函數(shù)的單調(diào)性，從而求出數(shù)列最大項(xiàng)與最小項(xiàng)大項(xiàng)與最小項(xiàng) 解析解析(1)由由f(1) 可得可得a

20、b3. 又由又由f(x)x0，得，得xax(1b)0. 方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根， 得得b1，a2，則，則f(x) (2)由由anf(an1)，得，得an 是等差數(shù)列，又是等差數(shù)列，又 2005， 20052(n1)2n2007， an (3)由由(2)知知bn 且且n1003時(shí)，時(shí)，bn單調(diào)遞增且大于單調(diào)遞增且大于1；當(dāng)；當(dāng)n1003時(shí)，時(shí)，bn單調(diào)遞增且小于單調(diào)遞增且小于1. 當(dāng)當(dāng)n1003時(shí)，時(shí)，bn最大值為最大值為3； 當(dāng)當(dāng)n1004時(shí)，時(shí)，bn最小值為最小值為1. 探究探究利用函數(shù)與方程的思想，轉(zhuǎn)化構(gòu)利用函數(shù)與方程的思想，轉(zhuǎn)化構(gòu)造出新數(shù)列是解決函數(shù)與數(shù)列綜合問題造出新數(shù)列是解決函數(shù)與數(shù)列綜合問題的常用手段的常用手段 (2009安徽合肥安徽合肥)已知數(shù)列已知數(shù)列a