1、12.5二項分布及其應用考情分析本節內容主要以解答題的形式與分布列、期望等結合，考查條件概率、相互獨立 事件的概率，n次獨立重復試驗及二項分布基礎知識1、條件概率：(1)定義：對于任何兩個事件 A和B，在已知A發生的條件下, 事件B發生的 概率叫做條件概 率，用 符號P(B/A)來表示，其公式為P(B/A)=P(AB)P(A)(2)條件概率具有的性質：(1)非負性：0 # P(B/A) 1 ; ( 2)可加性：如果B和C是兩個互斥事件，則P(B UC/A)= P(B/A) + P(C/A)2、相互獨立事件(1)定義：對于事件A和B,若A的發生與B的發生互不影 響，則稱A,B為相互獨立事件(2)

2、相互獨立事件的概率性質：若A與B相互獨立，則P(B / A) = P(B),P(AB)= P(B/A)gP(A)= P(A)gP(B)如果事件 A1,A2,ggc)An相互獨立，則這n個事件同時發生的概率等于每個事件發生概率的積，IP P(A1A2gggAn)= P(A1)gP(A2)CWgP(An)若 A 與 B 相互獨立，則 A 與 B，A與B，A與B也都相互獨立3、獨立重復試驗與二項分布：獨立重復試驗：一般的，在相同條件下重復做 的n次試驗稱為n次獨立重復試驗二項分布：一般的，在 n次獨立重復試 驗中，設事件A發生的次數X，在每次試驗中事件A發生的概率為p,那么 在n次獨立重復試驗中，事

3、件A恰好發生k次的概率為p(x = k) = C：pk(1- P)n-k(k = 0,1,2鬃?n)，此時稱隨機變量X服從二項分布，記作X : B(n,p)，并稱p為成功概率。注意事項1.可先定義條件概率 P(BA)二 PPAAL，當 P(B|A)二 P(B)即 P(AB)二 P(A)P(B)時，事 P(A)件B與事件A獨立.但是要注意事件 A、B、C兩兩獨立，但事件 A、B、C不一 定相互獨立.2.計算條件概率有兩種方法.(1)利用定義 P(B|A) =；若n(C)表示試驗中事件C包含的基本事件的個數，則P(B|A)n(AB) nA .題型一條件概率【例1】從1,2,3,4,5中任取2個不同

4、的數，事件A=“取到的2個數之和為偶數”，事件B=“取到的2個數均為偶數”，則P(BA)等于(丄00Ac3+ C242c21解析 P(A)二二喬飛，P(AG B) = CT而丄由條件概率計算公式，得P(B|A)二PAB二乎=1.p(A)4 410答案 B【變式1】如圖，EFGH是以0為圓心，半徑為1的圓的內接正方形將一顆豆 子隨機地扔到該圓內，用 A表示事件“豆子落在正方形 EFGH內”，B表示事 件“豆子落在扇形OHE(陰影部分)內”，則(1) P(A)二； (2)P(BA) =.n解析 圓的面積是n正方形的面積是2,扇形的面積是4,根據幾何概型的概率12 計算公式得p(a)=n，根據條件概

5、率的公式得P(B|A)=pab2=4.n答案 題型二獨立事件的概率【例2】某品牌汽車的4S店，對最近100位采用分期付款的購車者進行了統計， 統計結果如下表所示：已知分3期付款的頻率為0.2,且4S店經銷一輛該品牌的 汽車，顧客分1期付款，其利潤為1萬元；分2期或3期付款其利潤為1.5萬元; 分4期或5期付款，其利潤為2萬元用n表示經銷一輛汽車的利潤付款方式分1期分2期分3期分4期分5期頻數4020a10b(1) 若以頻率作為概率，求事件A: “購買該品牌汽車的3位顧客中，至多有 1位采用分3期付款”的概率P(A);(2) 求n的分布列及其數學期望E( n.解：(1)由題意可知“購買該品牌汽車

6、的3位顧客中有1位采用分3期付款” 的概率為0.2，所以P(A)= 0.83 + C3x 0.2X (1 0.2)2 = 0.896.a(2) 由而=°.2 得 a= 20，-40 + 20+ a+ 10 + b = 100， b= 10.記分期付款的期數為E,依題意得：40202010P(E 1)=而二 0.4, P(E2)=莎二0.2, P( E 3)=碩二0.2, P(E4)=莎 0.1，P(E= 5)=莎=0.1.由題意知n的可能取值為：1,1.5,2(單位：萬元).P( n1) = P( 1) = 0.4,P(n= 1.5) P( 2)+ P( 3) 0.4；P(n 2)

7、P( 4)+ P(E 5) 0.1 + 0.1 0.2.n的分布列為：n11.52P0.40.40.2n的數學期望E(n 1X 0.4+ 1.5X 0.4 + 2X 0.2 1.4(萬元)要判斷事件的性質(是互斥還是相互獨立)，再選擇相應的公式計算求解.【變式2】紅隊隊員甲、乙、丙與藍隊隊員 A、B、C進行圍棋比賽，甲對A、乙 對B,丙對C各一盤.已知甲勝 A、乙勝B、丙勝C的概率分別為0.6,0.5,0.5, 假設各盤比賽結果相互獨立.(1) 求紅隊至少兩名隊員獲勝的概率；用E表示紅隊隊員獲勝的總盤數，求E的分布列和數學期望E(3.解 設甲勝A的事件為D，乙勝B的事件為E,丙勝C的事件為F,

8、 則D , E , T分別表示甲不勝A、乙不勝B、丙不勝C的事件.因為 P(D) = 0.6, P(E) = 0.5, P(F) = 0.5,由對立事件的概率公式知 P(D) = 0.4, P(E)= 0.5, P(F) = 0.5.紅隊至少兩人獲勝的事件有：def, def, Def, def.由于以上四個事件兩兩互斥且各盤比賽的結果相互獨立，因此紅隊至少兩人獲勝的概率為 P = P(DE F ) + P(D E F) + P(D EF) + P(DEF) = 0.6X 0.5X 0.5 +0.6X 0.5X 0.5+ 0.4X 0.5X 0.5+ 0.6X 0. 5X 0.5 = 0.55

9、.(2) 由題意知E可能的取值為0,1,2,3.又由(1)知DEF, DEF, DEF是兩兩互斥事件，且各盤比賽的結果相互獨立，因此P(E= 0)= P(DEF) = 0.4X 0.5X 0.5 = 0.1,P( 1)= P(DEF)+ P(DEF) + P(DEF)=0.4X 0.5X 0.5+ 0.4X 0.5X 0.5+ 0.6X 0.5X 0.5= 0.35,P(E= 3)= P(DEF) = 0.6X 0.5X 0.5 = 0.15.由對立事件的概率公式得P(E= 2)= 1 P(E= 0)- P( = 1) P(E= 3) = 0.4.所以E的分布列為：0123P0.10.350.

10、40.15因此 E( B= 0X 0.1+ 1 X 0.35+ 2X 0.4+ 3X 0.15= 1.6.題型三獨立重復試驗與二項分布【例3】今天你低碳了嗎？近來，國內網站流行一種名為“碳排放計算器”的軟件，人們可以由此計算出自己每天的碳排放量.例如：家居用電的碳排放量(千克)=耗電度數X 0.785,汽車的碳排放量(千克)=油耗公升數X 0.785 等.某班 同學利用寒假在兩個小區逐戶進行了一次生活習慣是否符合低碳觀念的調查.若精品文檔生活習慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”， 否則稱為“非低碳族”.這二族人數 占各自小區總人數的比例P數據如下：A小區低碳族非低碳族比例P122B小區低碳族非低碳

11、族比例P455(1) 如果甲、乙來自A小區，丙、丁來自B小區，求這4人中恰有2人是低 碳族的概率；(2) A小區經過大力宣傳，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列如果2周后隨機地從A小區中任選25人，記E表示25個人中低碳族人數， 求 E(B.1P(A)= 2X解：(1)記這4人中恰好有2人是低碳族為事件A， 如»1+ 4X婦如4X1 +婦婦2 5 52 2 5 5 2 2設A小區有a人,2周后非低碳族的概率1 1 2 ax x 1-52_8二 25,2周后低碳族的概率P= 1-8 = 1725二 25,依題意EB(25,17所以 E(B = 25X1725二17.【變式3】

12、某地區為下崗人員免費提供財會和計算機培訓，以提高下崗人員的 再就業能力，每名下崗人員可以選擇參加一項培訓、參加兩項培訓或不參加培訓, 精品文檔已知參加過財會培訓的有 60%,參加過計算機培訓的有 75%，假設每個人對培 訓項目的選擇是相互獨立的，且各人的選擇相互之間沒有影響.任選1名下崗人員，求該人參加過培訓的概率；任選3名下崗人員，記X為3人中參加過培訓的人數，求 X的分布列.解(1)任選1名下崗人員，記“該人參加過財會培訓”為事件 A， “該人參加過 計算機培訓”為事件B，由題設知，事件A與B相互獨立，且P(A) = 0.6，P(B) =0.75.所以，該下崗人員沒有參加過培訓的概率是pC

13、A "b)= p(N)p(b)=(1 0.6)(1 - 0.75)= 0.1.該人參加過培訓的概率為1 0.1 = 0.9.(2)因為每個人的選擇是相互獨立的，所以3人中參加過培訓的人數X服從二項分布 XB(3,0.9),P(X= k) = Cs0.9kx 0.13-k，k= 0,1,2,3, X的分布列是X0123P0.0010.0270.2430.729重難點突破【例4】某氣象站天氣預報的準確率為80%，計算(結果保留到小數點后面第 2位)(1) 5次預報中恰有2次準確的概率；(2) 5次預報中至少有2次準確的概率；(3) 5次預報中恰有2次準確，且其中第3次預報準確的概率.解析

14、 設“ 5次預報中恰有2次準確”為事件A，“5次預報中至少有2次準確” 為事件B, “ 5次預報恰有2次準確，且其中第3次預報準確”為事件C.(1)P(A) = eg1彳3=心數 0.05. P(B戶 1-淺4。1 5 5-C5X 4l-4 4-0.99.1 4( 4、3 4(3)P(C)= C：X 5 1-虧冬尹 0.02.鞏固提高X012345P2x3x7x2x3xx1 若隨機變量X的分布列如下表，則E(X)等于()D.20解析：1由分布列的性質可得 2x+ 3x+ 7x+ 2x+ 3x+x= 1,a x =飛.a E(X) =A鳥0X 2x+ 1X 3x+ 2X 7x + 3X 2x+

15、4X 3x+ 5x=40x= 20.答案：C2 設X為隨機變量,XB n, 1，若隨機變量X的數學期望E(X) = 2,則P(X= 2)等于(13A石4B.24313C C.24380D.243解析：XB n,3，二 E(X) =茅 2. a n = 6. P2 2)= c6琬卜炭答案：D3已知隨機變量 XB(6, "2),則 P( 2<X<5.5) =()7Aw1B863C-6431D習解析：依題意，P( 2< X< 5.5) = P(X = 0,1,2,3,4,5)= 1 P(X = 6) = 1 C678.答案：A4.已知拋物線y= ax2 + bx+ c(a0)的對稱軸在y軸的左側其中a, b, c 3, 2,1,0,1,2,3，在這些拋物線中，若隨機變量 X=|a b|的取值，貝U X的數學期望E(X)=()A 8m3A9B521C.5D.3解析：對稱軸在y軸的左側(a與b同號)的拋物線有2C$c3c7= 126條，X的 可能取值有0,1,2.6X 718X 744X 728PQ °戶誣二 3, P2 1)二猛二 4, P(