1、華師大版八年級下冊 19.3 正方形單元復習材料 一、知識辨析 . 正方形的定義一組鄰邊相等的矩形叫做正方形正方形不僅是特殊的平行四邊形 , 而且是特殊的矩形 , 又是特殊的菱形 . 正方形的性質正方形具有平行四邊形 ,矩形, 菱形的一切性質 邊:四邊相等 ,對邊平行 角 : 四個角都是直角 對角線 :互相平分 ;相等;且垂直 ;每一條對角線平分一組對角 ,即正方形的對角線與邊的夾角 為 45 度。 正方形是軸對稱圖形 , 有四條對稱軸. 正方形的判定 菱形 +矩形的一條特征 菱形 +矩形的一條特征 平行四邊形 +一個直角 +一組鄰邊相等說明一個四邊形是正方形的一般思路是 : 先判斷它是矩形

2、, 在判斷這個矩形也是菱形 ; 或先判斷 它是菱形 , 再判斷這個菱形也是矩形. 正方形對角線產生的三角形特點 正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形, 兩條對角線把正方形分成四個小的全等的等腰直角三角形. 正方形常用的輔助線添加方法正方形中常連對角線 , 把四邊形的問題轉化為三角形的問題 有垂直時做垂線構造正方形有正方形一邊中點時常取另一邊中點構造圖形來應用 利用旋轉法將與正方形有關的題目的分散元素集中起來 , 從而為解決問題創造條件基本方法圍繞正方形的邊展開的計算和論證1）判斷直線2）EFGH面積的最小值求四邊形3）在正方形）AF、BF、EG是否經過一個定點，并說明理由是

3、AB、BC、CD、DA 上的動點，且 AE=BF=CG=DHABCD中， G 是 BC上任意一點，連接求證：四邊形 EFGHAG，DEAG于 E，BFDE交 AG于 F，探究線段ABCD的邊長為 8cm，E、F、G、H 分別正方形 ABCD的邊長為 6，點 E、 F分別在 AB試題、 （2015 四川涼山州第 21題 8分）如圖試題、 （2015 湖北十堰，第 10題 3分）如圖試題、 （2015 江蘇泰州，第 25題 12分）如圖，正方形是正方形；EF三者之間的數量關系，并說明理由AD 上，若 CE=3 ，且ECF=45°，則 CF的長為A2BCD試題、 （2015，廣西玉林， 1

4、8，3分）如圖，已知正方形 ABCD邊長為 3，點 E在 AB邊上且BE=1，點 P，Q 分別是邊 BC，CD的動點（均不與頂點重合），當四邊形AEPQ的周長取最小值時，四邊形 AEPQ的面積是 3試題、 （2015 北海,第 16題 3分）如圖，已知正方形 ABCD的邊長為 4，對角線 AC與 BD相交于試題、 （2015梧州,第 25題 12分）如圖，在正方形 ABCD中，點 P在 AD上，且不與 A、D重合， BP的垂直平分線分別交 CD、AB于E、F兩點，垂足為 Q，過 E作EHAB于H1）求證： HF=AP；2）若正方形 ABCD的邊長為 12，AP=4，求線段 EQ 的長試題、 （

5、2015 廣東東莞 21，7 分）如圖，在邊長為 6 的正方形 ABCD中， E是邊 CD的中點，將ADE沿 AE 對折至AFE，延長 EF交邊 BC 于點 G，連接 AG1）求證： ABGAFG；2）求 BG 的長試題、 （2015 懷化，第 14 題 4 分）如圖，在正方形 ABCD中，如果 AF=BE，那么 AOD的度數、圍繞正方形的角展開的計算和論證是 90 ° 試題、 （2015鄂州, 第 18題 8分）如圖，在正方形 ABCD的外側，作等邊三角形 ADE，連接BE， CE（ 1）求證： BE=CE（2）求BEC的度數試題、 （2015 黃岡,第 12題3分）如圖，在正方形

6、 ABCD 中，點 F 為CD 上一點,BF 與AC交于點 E,若CBF=20 °，則AED 等于 度.BC 交于點 G（ 1）求證： AE=CF；（2）若ABE=55°，求 EGC的大小、圍繞正方形的對角線展開的計算和論證試題、 （2015 濟南,第 13題 3分）如圖，正方形 ABCD的對角線 AC與 BD相交于點 O，ACB的角平分線分別交 AB、CD于 M、 N兩點若 AM=2 ，則線段 ON的長為（ ）ABC1 D 試題、 （2014 山西，第 10 題 3 分）如圖，點 E 在正方形 ABCD的對角線 AC上，且 EC=2AE，直 角三角形 FEG的兩直角邊 E

7、F、 EG分別交 BC、 DC于點 M 、N若正方形 ABCD的變長為 a，則重疊部分四邊形 EMCN 的面積為a2CD2 aA2a2B試題、 （2014 年四川資陽，第 15 題 3 分）如圖，在邊長為 4 的正方形 ABCD中， E是 AB 邊上的一點，且 AE=3，點 Q 為對角線 AC上的動點，則 BEQ周長的最小值為試題、 （2014 黑龍江哈爾濱 ,第 19 題 3 分）如圖，在正方形 ABCD中， AC為對角線，點 E 在 AB 邊上， EFAC于點 F，連接 EC， AF=3，EFC的周長為 12，則 EC的長為 5試題、 （2014 重慶 A,第 18題4 分）如圖，正方形

8、ABCD的邊長為 6，點 O是對角線 AC、 BD的交點，點 E在CD上，且 DE=2CE，過點 C作 CF BE，垂足為 F，連接 OF，則 OF的長為試題、 （2014四川廣安 ,第19題 6分）如圖，在正方形 ABCD中， P是對角線 AC上的一點，連 接 BP、DP，延長 BC 到 E，使 PB=PE求證： PDC= PEC、圍繞正方形的平移和旋轉變換展開的計算和論證試題、 （2015 棗莊,第 9題 3 分）如圖，邊長為 1 的正方形 ABCD繞點 A逆時針旋轉 45°后得到正方形 AB1C1D1，邊 B1C1與 CD交于點 O，則四邊形 AB1OD的面積是（）試題、 （2

9、015 青島,第 12 題 3 分）如圖，平面直角坐標系的原點O是正方形 ABCD的中心，頂點A， B的坐標分別為（ 1，1），（ 1， 1），把正方形 ABCD繞原點 O 逆時針旋轉 45°得正方形A B，C則D正方形 ABCD與正方形 A B重C疊D部分所形成的正八邊形的邊長為2 2 試題、 （2015 恩施州第 18 題 8 分）如圖，四邊形 ABCD、BEFG均為正方形，連接 AG、CE1）求證： AG=CE；2）求證： AG CE試題、 ( 2015·江蘇連云港，26 題 12 分)在數學興趣小組活動中，小明進行數學探究活動，將邊 長為 2的正方形 ABCD與邊長

10、為 2 的正方形 AEFG按圖 1位置放置， AD與 AE在同一直線上， AB 與 AG 在同一直線上(1)小明發現 DG BE，請你幫他說明理由(2)如圖 2，小明將正方形 ABCD繞點 A 逆時針旋轉，當點 B 恰好落在線段 DG上時，請你幫他求 出此時 BE的長(3)如圖 3，小明將正方形 ABCD繞點 A 繼續逆時針旋轉，線段 DG 與線段 BE將相交，交點為 H， 寫出 GHE與 BHD 面積之和的最大值，并簡要說明理由試題、 (2015 齊齊哈爾 , 第 26 題 8分)如圖 1 所示，在正方形 ABCD和正方形 CGEF中，點 B、C、 G在同一條直線上， M 是線段 AE的中點

11、， DM的延長線交 EF于點 N，連接 FM，易證：DM=FM，DMFM(無需寫證明過程)1）如圖 2，當點 B、C、F在同一條直線上， DM 的延長線交 EG于點 N，其余條件不變，試探究 線段 DM 與 FM 有怎樣的關系？請寫出猜想，并給予證明；（2）如圖 3，當點 E、B、C在同一條直線上， DM 的延長線交 CE的延長線于點 N，其余條件不變，探究線段 DM 與 FM 有怎樣的關系？請直接寫出猜想試題、 （2014 山東威海，第 24 題 11 分）猜想與證明： 如圖 1 擺放矩形紙片 ABCD與矩形紙片 ECGF，使 B、C、 G三點在一條直線上， CE在邊 CD 上，連接 AF，

12、若 M為 AF的中點，連接 DM、ME，試猜想 DM與 ME的關系，并證明你的結 論拓展與延伸：1）若將 ”猜想與證明 “中的紙片換成正方形紙片 ABCD與正方形紙片 ECGF，其他條件不變，則 DM和 ME的關系為 DM=DE （2）如圖 2 擺放正方形紙片 ABCD與正方形紙片 ECGF，使點 F在邊 CD上，點 M 仍為 AF的 中點，試證明（ 1）中的結論仍然成立A，以線段 AB 為邊，在第一象限內作正方形ABCD沿 x 軸負方向平移 a個單位長度，使點試題、（ 2015 遼寧省盤錦 ,第 17題 3分）如圖，直線 y=3x+3 與 x軸交于點 B，與 y軸交于點ABCD，點 C落在雙

13、曲線 y= （k）0上，將正方形D 恰好落在雙曲線 y= （k0）上的點 D1處，則 a=、綜合運用試題、 （2015衡陽, 第 28題 10分）如圖，四邊形 OABC是邊長為 4的正方形，點 P為 OA邊上 任意一點（與點 O、A不重合），連接 CP，過點 P作PMCP交AB于點 D，且 PM=CP，過點 M作 MNOA，交 BO于點 N，連接 ND、BM ，設 OP=t（ 1）求點 M 的坐標（用含 t 的代數式表示）（2）試判斷線段 MN 的長度是否隨點 P 的位置的變化而改變？并說明理由點 D 在CG上， BC=1 ， CE=3 ，H是 AF的中點，那么 CH的長是（ ）A2.5 BC

14、試題、 （2014黑龍江龍東 ,第20題 3分）如圖，正方形 ABCD中， AB=6，點 E在邊 CD上，且CD=3DE將ADE沿AE對折至AFE，延長 EF交邊 BC于點 G，連接 AG、CF則下列結論：ABGAFG；BG=CG；AGCF；SEGC=SAFE； AGB+AED=145°其中正確的個數是（ ）A 2B3C4D5試題、 （2014山東煙臺，第 25題 10分）在正方形 ABCD中，動點 E， F分別從 D，C兩點同時 出發，以相同的速度在直線 DC， CB上移動（1）如圖 ，當點 E自 D 向 C，點 F自 C向 B 移動時，連接 AE和 DF交于點 P，請你寫出 AE

15、與 DF的位置關系，并說明理由；（2）如圖 ，當 E， F分別移動到邊 DC，CB的延長線上時，連接 AE和 DF，（ 1）中的結論還成立 嗎？（請你直接回答 “是”或“否 ”，不需證明）3）如圖 ，當 E， F分別在邊 CD，BC的延長線上移動時，連接 AE，DF，（ 1）中的結論還成立 嗎？請說明理由；（4）如圖 ，當 E，F 分別在邊 DC，CB上移動時，連接 AE和 DF交于點 P，由于點 E，F 的移動，使得點 P 也隨之運動，請你畫出點 P 運動路徑的草圖若 AD=2，試求出線段 CP的最小值試題、 （2014 年湖北咸寧 24（ 12 分） ）如圖，正方形 OABC的邊 OA， OC在坐標軸上，點 B的 坐標為（ 4， 4）點 P從點 A出發，以每秒 1個單位長度的速度沿 x軸向點 O運動；點 Q 從點 O 同時出發，以相同的速度沿 x 軸的正方向運動，規定點 P 到達點 O 時，點 Q 也停止運動連接 BP，過 P點作 BP的垂線，與過點 Q平行于 y軸的直線 l相交于點 DBD與 y軸交于點 E，連接 PE設點 P 運動的時間為 t（s）（1）PBD的度數為 45 ° ，點D的坐標為 （t，t） （用 t表示）；（2）當 t 為何值時， PBE為等腰三角形？3）探索 POE周長是