1、第 18 頁 共 7 頁教學目的:會運用受力分析及向心力公式解決圓周運動的臨界問題教學重點:掌握解決圓周運動的兩種典型的臨界問題教學難點:會分析判斷臨界時的速度或受力特征教學內容一、有關概念1、向心加速度的概念2、向心力的意義（由一個力或幾個力提供的效果力）二、內容1、在豎直平面內作圓周運動的臨界問題（ 1）如圖4 2 2 和圖 4 2 3 所示，沒有物體支撐的小球，在豎直平面內做圓周運動過最高點的情況：v0圖 4 2 2圖 4 2 3臨界條件：繩子或軌道對小球沒有力的作用：mg=m v v臨界 = Rg ；R能過最高點的條件：vRg ，當v>Rg 時，繩對球產生拉力，軌道對球產生壓力；

2、不能過最高點的條件：v< v 臨界 （實際上球還沒到最高點時就脫離了軌道）.（ 2）如圖4 2 4 的球過最高點時，輕質桿對球產生的彈力情況：當v=0 時，FN =mg（ FN 為支持力）；當0< v<Rg時， FN隨v增大而減小，且mg> FN>0，FN 為支持力；當 v= Rg 時， FN=0； 當v>Rg 時， FN為拉力，FN隨 v的增大而增大端連接著一個質量m試討論在下列兩種情況若是圖4 2 5 的小球在軌道的最高點時，如果vRg ，此時將脫離軌道做平拋運動，因為軌道對小球不能產生拉力.例 1 長 L 0.5m，質量可以忽略的的桿，其下端固定于O

3、點，上2kg 的小球A， A 繞 O 點做圓周運動（同圖5），在A 通過最高點，下桿的受力：當 A 的速率v1 1m s時當 A 的速率v2 4m s時解析：V0= gL 10× 0.5 m s5 m s小球的速度大于5 m s時受拉力，小于 5 m s時受壓力。4解法一：當v1 1m s<5 m s 時，小球受向下的重力mg 和mg N mN mg m2vL2vL 16Nmg即桿受小球的壓力16N 。當v2 4m s>5 m s時，小球受向下的mg重力 mg 和向下的拉力F，由牛頓第二定律mg F2vF m L mg 44N即桿受小球的拉力44N 。解法二：小球在最高點

4、時既可以受拉力也可以受支持力，因此桿受小球的作用力也可以是拉力或者是壓力。我們可不去做具體的判斷而假設一個方向。如設桿豎直向下拉小球的情形。A ，則小球的受力就是上面解法中的22mg F m L 得F m（ L g）v1 1m s時，F1 16Nv2 4m s時，F2 44N 。F1 為負值，說明它的實際方向與所設的方向相反，即小球受力應向上，為支持力。則桿應受壓力。F2為正值，說明它的實際方向與所設的方向相同，即小球受力就是向下的，是拉力。則桿也應受拉力。例 2 如圖 4 所示，在傾角30°的光滑斜面上，有一長m 0.2 kg 的小球，使之在斜面上作圓周運動，求：（1） 小球（2）

5、 如細繩受到9.8N 的拉力就會斷裂，求小球通過最低點l 0.4m 的細繩，一端固定在O點，另一端拴一質量為通過最高點A時最小速度；時的最大速度.2、在水平面內作圓周運動的臨界問題在水平面上做圓周運動的物體，當角速度 變化時，B物體有遠離或向著圓心運動的要根據物體的受力情況，判斷物體受某個力是否存在以及這個力存在時方向朝哪繩的拉力等）。趨勢。 這時，如靜摩擦力、例 3 如圖 9 所示， 一個光滑的圓錐體固定在水平桌面上，其軸線沿豎直方向，母線與軸線之間的夾角為 30°，一條長度為L體可看質點），物體以速率v 繞圓錐體的軸線做水平勻速圓周運動。解析：設小球剛好對錐面沒有壓力時的速率為O

6、 處，另一端拴著一個質量為m 的小物體（物時，求繩對物體的拉力；當 v當 v32gL 時，求繩對物體的拉力。0 ，則有圖9解得 062 3gl1）當gl 0時 , 有 T sin 30 N cos30ml sin 30（2分 ）T cos30 N sin 302）當l 0 時，小1 33mg （2分 ）解得Tmg 1 .03mg（2分 ）6球離開錐面，設繩與軸線夾角為，則Tcos mg（2分 ） Tsin m（2分 ） 解得 T 2mg（2分 ）l sin 30例 4 如圖 6 所示，兩繩系一質量為m 0.1kg 的小球，上面繩長L 2m，兩端都拉直時與軸的夾角分別為30°與45&#

7、176;，問球的角速度在什么范圍內，兩繩始終張緊，當角速度為3 rad s時，上、下兩繩拉力分別為多大？解析：當角速度 很小時，AC 和 BC 與軸的夾角都很小，BC并不張緊。當 逐漸增大到30°時，BC 才被拉直（這是一個臨界狀態），但 BC 繩中的張力仍然為零。設這時的角速度為 1，則有：TACcos30°mgTACsin30°m 12Lsin30 °將已知條件代入上式解得 1 2.4 rad s當角速度 繼續增大時TAC 減小，TBC增大。設角速度達到 2時，TAC 0（這又是一個臨界狀態），則有：T BCcos45°mgTBCsin45

8、°m 22Lsin30 °將已知條件代入上式解得 2 3.16 rad s所以 當 滿足 2.4 rad s 3.16 rad s， AC、 BC 兩繩始終張緊。本題所給條件 3 rad s，此時兩繩拉力TAC 、 TBC都存在。TACsin30°TBCsin45°m 2Lsin30 °TACcos30°T BCcos45°mg將數據代入上面兩式解得TAC 0.27N，TBC 1.09N注意： 解題時注意圓心的位置（半徑的大小）。如果 < 2.4 rad s時，TBC 0， AC 與軸的夾角小于30°。如果

9、> 3.16rad s時，TAC 0， BC 與軸的夾角大于45°。例 5 如圖 7 所示，細繩一端系著質量M 0.6kg 的物體，靜止在水平面上，另一端通過光滑的小孔吊著質量m0.3kg 的物體，M 的中與圓孔距離為0.2m，并知M 和水平面的最大靜摩擦力為2N。現使此平面繞中心軸線轉動，問角速度 在什么范圍m 會處于靜止狀態？（g 10m s2） 先以m 0 為題引入，由淺入深解析：要使m 靜止， M 也應與平面相對靜止。而Mm圖7與平面靜止時有兩個臨界狀態：當 為所求范圍最小值時，M 有向著圓心運動的趨勢，水平面對M 的靜摩擦力的方向背離圓心，大小等于最大靜摩擦力2N。此

10、時，對M 運用牛頓第二定律。有T fm M 12r且T mg解得 1 2.9 rad s當 為所求范圍最大值時，最大靜摩擦力2N。再對 M 運用牛頓第二定律M 有背離圓心運動的趨勢，水平面對M 的靜摩擦力的方向向著圓心，大小還等于解得 2 6.5 rad sT fm M 22r所以，題中所求 的范圍是：2.9 rad s< < 6.5 rad s例 6 如圖 8 所示，水平轉盤上放有質量為m 的物塊，當物塊到物塊和轉軸的繩剛好被拉直（繩上張力為零）。 物體和轉盤間最大 倍。求：當轉盤角速度 1 2r 時，細繩的拉力T1。轉軸的距離為r 時， 連接靜摩擦力是其下壓力的當轉盤角速度 2

11、2r 時，細繩的拉力T2。解析： 設轉動過程中物體與盤間恰好達到最大靜摩擦力時轉動的角速度為1 )因為擦力，細繩的拉力仍為0，即2)因為0，則FT則，對A： FfAm-F T=mrA 22、圓周運動3、連接體的臨界問題例 1、如圖所示，勻速轉動的水平圓盤上，放有質量均為m 的小物體A、 B，A、 B 間用細線沿半徑方向相連，它們到轉軸距離分別為RA=20cm， RB=30cm。 A、 B 與盤面間的最大靜摩擦力均為重力的0.4倍，試求：(1)當細線上開始出現張力時，圓盤的角速度 0；(2)當 A 開始滑動時，圓盤的角速度 ；(3)當即將滑動時，燒斷細線，A、 B 狀態如何?答案： (1) 當細

12、線上開始出現張力時，表明B 與盤間的靜摩擦力已達到最大，設此時圓盤角速度為是 kmg=mrB 02解得：0 kg / rB =3.7rad/s(2) 當 A開始滑動時，表明A與盤的靜摩擦力也已達到最大，設此時盤轉動角速度為，線上拉力為對B： FfBm+FT=mrB 2又： FfAm=FfBm=kmg解得 =4rad/s 。(3) 燒斷細線，A與盤間的靜摩擦力減小，繼續隨盤做半徑為rA=20cm的圓周運動，而 B由于FfBm不足以提供必要的向心力而做離心運動。答案： (1) 3.7rad/s (2) 4rad/s (3)A做圓周運動，B做離心運動分析： 1 、利用極限分析法的“放大”思想分析臨界

13、狀態。認清臨界情景和條件，建立臨界關系是解決此類問題的關鍵。中的連接體加速度一般不同，所以，解決這類連接體的動力學問題時一般用隔離法。但也可用整體法來求解。 1、汽車通過拱橋顆頂點的速度為10 m s 時，車對橋的壓力為車重的4 。如果使汽車駛至橋頂時對橋恰無壓力，則汽車的速度為A、 15 m s()B、 20 m sC、 25 m sD、2、如圖所示，在勻速轉動的圓盤上，沿直徑方向上放置以細線相連的30m sA、 B 兩個小物塊。 A 的質量為B 的質量為A、 B 與盤面間相互作用的摩擦力最大值為其重力的0.5 倍，試求（ 1 ）當圓盤轉動的角速度為多少時，細線上開始出現張力？（ 2）欲使A

14、、 B 與盤面間不發生相對滑動，則圓盤轉動的最大角速度為多大？（）解析： （ 1） 較小時，A、 B 均由靜摩擦力充當向心力，增大，可知，它們受到的靜摩擦力也增大，而，所以 A 受到的靜摩擦力先達到最大值。再增大，AB 間繩子開始受到拉力。由，得：（ 2）達到 后， 再增加，B 增大的向心力靠增加拉力及摩擦力共同來提供，A 增大的向心力靠增加拉力來提供，由于A 增大的向心力超過B 增加的向心力，再增加，B 所受摩擦力逐漸減小，直到為零，如再增加，B 所受的摩擦力就反向，直到達最大靜摩擦力。如再增加，就不能維持勻速圓周運動了，A 、 B 就在圓盤上滑動起來。設此時角速度為，繩中張力為，對A、 B

15、 受力分析：對 A有對 B有聯立解得：3、一內壁光滑的環形細圓管，位于豎直平面內，環的半徑為R（比細管半徑大得多）。在圓管中有兩個直徑與細管內徑相同的小球（可視為質點）。A 球的質量m1， B 球的質量為m2，它們沿環形管順時針運動，經過最低點時的速度都為v0，設A 球運動到最低點，B 球恰好運動到最高點。若要此時兩球作用于圓管的合力為零，那么（ 97 年高考題）m1、 m2、 R 與 v0 應滿足的關系式是。4、如圖39 3 所示，物體P 用兩根長度相等、不可伸長的細線系于豎直桿上，它們隨桿轉動，若轉動角速度為 ，則 ABC A 只有超過某一值時，繩子AP 才有拉力B 繩子 BP 的拉力隨

16、的增大而增大C繩子BP 的張力一定大于繩子AP 的張力D 當 增大到一定程度時，繩AP 的張力大于BP 的張力5、 如圖 2 所示， 在勻速轉動的水平圓盤上，沿半徑方向放著用細線連接的質量相等的兩物體 A 和B，它們與盤間的摩擦因數相同當圓盤轉速加快到兩物體剛好還未發生滑動時，燒斷細線，則兩物體的運動情況將是【】A兩物體均沿切線方向滑動B兩物體均沿半徑方向滑動，離圓盤圓心越來越遠C兩物體仍隨圓盤一起做勻速圓周運動，不會發生滑動D物體A仍隨圓盤一起做勻速圓周運動，不會發生滑動；物體 B 發生滑動，沿一條曲線向外運動，離圓盤圓心越來越遠6、 半徑為 R的光滑半圓球固定在水平面上，如圖所示頂部有一小

17、物體v0= gR ，物體甲將A 沿球面下滑至M 點B 先沿球面下滑至某點N ，然后便離開球面做斜下拋運動C按半徑大于R 的新的圓弧軌道做圓周運動D 立即離開半圓球做平拋運動7、長度為0 5m 的輕質細桿OA， A 端有一質量為3kg 的木球，以O 點為圓心，在豎直面內作圓周運動，如圖所示，小球通過最高點的速度為2m/s，取g = 10 m/s2，則此時球對輕桿的力大小是，方向向。8、 如圖所示，在勻速轉動的水平盤上，沿半徑方向放著用細線相連的質量相等的兩物體和B，它們與盤間的摩擦因數相同，當圓盤轉速加快到兩物體剛好沒有發生滑動時，燒斷細線，則兩物體的運動情況將是A兩物體均沿切線方向滑動B 兩物

18、體均沿半徑方向滑動，遠離圓心C兩物體仍隨圓盤一起做勻速圓周運動，不會滑動D 物體 A 仍隨圓盤做勻速圓周運動，物體B 沿曲線運動，遠離圓心9、如圖所示，木板B 托著木塊A 在豎直平面內作勻速圓周運動，從與圓心相平的位置動到最高點b 的過程中()A、 B 對 A 的支持力越來越大B 、 B 對 A 的支持力越來越小C、 B 對 A 的摩擦力越來越大D 、 B 對 A 的摩擦力越來越小10、如圖所示，兩根長度相同的細繩，連接著相同的兩個小球讓它們在光滑的水平面內做勻速圓周運動，其中T1 T2 為 (O 為圓心，兩段繩子在同一直線上，此時，兩段繩子受到的拉力之比A、 1 1B、 2 1C、 3 2D

19、、 3 111、如圖所示,小球 M 與穿過光滑水平板中央的小孔O 的輕繩相連，用手拉著繩的另一端使M 在水平板上作半徑為a ， 角速度為 的勻速圓周運動，求： (1) 此時 M 的速率 .(2)若將繩子突然放松一段，O 作半徑為b 的勻速圓周運動，求繩由放松到拉直的時間t .小球運動t 時R(比細管的半徑大得多)，在圓管中有兩個直徑m1， B 球的質量為m2，它們沿環形圓管順時針運動，B 球恰好運動到最高點，若要此時兩球作用于圓管的12、一內壁光滑的環形細圓管，位于豎直平面內，環的半徑為與細管內徑相同的小球(可視為質點)，A 球的質量為經過最低點時的速度都是v0，設A 球運動到最低點時，合力為零，那么m1， m2， R 與 v0應滿足的關系。1一探照燈照射在云層底面上，云層底面是與地面平行的平面，如圖所示，云層底面距地面高h，探照燈以角速度 在豎直平面內轉動，當光束轉到與豎直方向夾角為 時，云