1、圖形的相似小結(jié)復習【知識梳理】1. 兩個相似三角形_的比值叫做相似比.若ABCABC，它們的相似比為k，則ABC與ABC的相似比為_.當相似比為_時，這兩個三角形全等，全等三角形是_ _三角形.在用“”連接兩個相似三角形時，應把_放在_的位置上.2. 識別（判斷）兩個三角形相似可以利用：（1）_（2）如果兩個三角形中有兩個_，這兩個三角形相似.（3）如果兩個三角形中有_且_，這兩個三角形相似. （4）當兩個三角形中有_，這兩個三角形相似.3. 相似三角形的基本性質(zhì)是_，除此之外，相似三角形的對應_，對應_，對應_，都等于相似比，對應周長的比等于_，面積的比等于_.4. 三角形的中位線平行于第三

2、邊，并且等于這邊的一半；梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半.5. 利用相似可以把一個圖形_或_，保持形狀不變.如果兩個圖形不僅相似，而且_的連線都_，像這樣的相似叫做位似.位似是由_和_所決定的.6. 兩個位似圖形的特點是：（1）對應邊_，（2）對應頂點_，（3）兩個圖形是_，這三點也是識別位似的依據(jù).7. 畫位似圖形的步驟：（1）確定_；（2）把位似中心與_連線（或延長）；（3）根據(jù)_在所連直線上截取相應線段；（4）把所截各點用實線連接.8. 平面內(nèi)一點的位置可由一對_來準確描述它的位置，但由于所確定的_不同，該點的坐標不同；選擇的單位長度不同，_不同.我們還可以利用_確定點的位置

3、.利用方位角時，不能只指明方位，同時必須指出_與測量點的距離.9. 一個圖形沿x軸（或平行于x軸的直線）平移m個單位，圖形對應頂點_坐標不變；若向_平移，其_坐標加m.若向_平移，其_坐標減m.一個圖形沿y軸（或平行于y軸的直線）平移m個單位，圖形對應頂點_坐標不變.若向_平移，其_坐標減m；若向_平移，其_坐標加m.10. 關(guān)于x軸對稱的兩個圖形對應頂點的坐標特點是_，關(guān)于y軸對稱的兩個圖形對應頂點的坐標特點是_.如果一個圖形繞原點O旋轉(zhuǎn)180°，得到新圖形的對應頂點的橫坐標與原圖形對應頂點的橫坐標_，縱坐標_.【典型例題】例1. 如圖所示，D、E兩點分別在ABC兩條邊上，且DE與

4、BC不平行，請?zhí)钌弦粋€你認為適合的條件_，使得ADEABC.分析：熟練掌握相似三角形的判定方法，進行嘗試選擇.解：結(jié)合判定方法補充條件為：1B或2C，或.例2. 如圖，已知ABC中，AB8，BC7，AC6，點D、E分別在AB、AC上，如果以A、D、E為頂點的三角形和ABC相似，且相似比為，試求AD、AE的長.分析：不要忘了分類!注意本題中AD可以和AB對應，也可以和AC對應.解：（1）當ADEABC時，.AB8，AC6，AD2，AE.（2）當ADEACB時，.AB8，AC6，AD，AE2.例3. （2006年蘇州）如圖，梯形ABCD中，ABCD，且AB2CD，E，F(xiàn)分別是AB、BC的中點.EF

5、與BD相交于點M.（1）求證：EDMFBM；（2）若DB9，求BM.分析：由條件易證得四邊形CBED是平行四邊形，利用對應邊互相平行可證得三角形相似，再根據(jù)對應邊的比相等進行計算.證明：（1）E是AB的中點，AB2EB.AB2CD，CDEB.又ABCD，四邊形CBED是平行四邊形，CBED，EDBDBF，DEMBFM，DEMBFM.（2）DEMBFM，.F是BC的中點，DE2BF，DM2BM，BMDB×93.例4. 某社區(qū)擬籌資金2000元，計劃在一塊上、下底分別是10米、20米的梯形空地上種植花木（如圖所示），他們想在地帶種植單價為10元/米2的太陽花，當?shù)貛ХN滿花后，已經(jīng)花了50

6、0元，請你預算一下，若繼續(xù)在地帶種植同樣的太陽花，資金是否夠用?并說明理由.分析：可以通過面積大小的對比計算一下，若繼續(xù)在地帶種同種太陽花所需資金是否超過2000元即可.解：梯形ABCD中，ADBC，AD10，BC20 ，還需要資金200×102000（元），而剩余資金為200050015002000，所以資金不夠用. 例5. 兩個全等的含，角的三角板和三角板如圖所示放置，、三點在一條直線上，連結(jié)，取的中點，連結(jié)，試判斷的形狀，并說明理由分析：當梯形中有腰的中點時，常常考慮再取另一腰的中點構(gòu)造梯形中位線去解決問題.解：的形狀是等腰直角三角形 理由：取CE的中點N，連結(jié)MN.M是BD的

7、中點，MNDE，MN（DEBC）.DEA90O，MNEC，MEMC.DEAC，AEBC，MN（ACAE）EC，是直角三角形.即的形狀是等腰直角三角形.例6. 一般的室外放映的電影膠片上每一個圖片的規(guī)格為：3.5cm×3.5cm，放映的熒屏的規(guī)格為2m×2m，若放映機的光源距膠片20cm時，問熒屏應拉在離鏡頭多遠的地方，放映的圖象剛好布滿整個熒屏？解析：膠片上的圖象和熒屏上的圖象是位似的，鏡頭就相當于位似中心，因此本題可以轉(zhuǎn)化為位似問題解答.位似圖形是特殊位置上的相似圖形，因此位似圖形具有相似圖形的所有性質(zhì).設熒屏距鏡頭為xcm，由題意可得，解得（cm）即（m）.答：熒屏應拉

8、在離鏡頭m的地方，放映的圖象剛好布滿整個熒屏.例7. 下列說法中不正確的是（ ）A. 位似圖形一定是相似圖形； B. 相似圖形不一定是位似圖形； C. 位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比； D. 位似圖形中每組對應點所在的直線必相互平行分析：本題考查了位似圖形的性質(zhì)及相似圖形與位似圖形的關(guān)系，A、B、C正確，因為一對位似對應點與位似中心共線，所以D錯誤.例8. 在AB30m，AD20m的矩形ABCD的花壇四周修筑小路.（1）如果四周的小路的寬均相等，如圖（1），那么小路四周所圍成的矩形ABCD和矩形ABCD相似嗎？請說明理由.（2）如果相對著的兩條小路的寬均相等，如圖（2）

9、，試問小路的寬x與y的比值為多少時，能使小路四周所圍成的矩形ABCD和矩形ABCD相似？請說明理由.分析：因為矩形每個角都為90°，所以判斷矩形ABCD和矩形ABCD是否相似關(guān)鍵在它們的長和寬之比是否相等.解：當x0時，故矩形ABCD和矩形ABCD不相似 當時，是矩形ABCD和矩形ABCD相似，所以，解得 例9. （2006年德州市）如圖所示，在ABC中，ABAC1，點D、E在直線BC上運動，設BDx，CEy.（1）如果BAC30°，DAE105°，試確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果BAC的度數(shù)為，DAE的度數(shù)為，當、滿足怎樣的關(guān)系式時，（1）中y與x之間的

10、函數(shù)關(guān)系式還成立，試說明理由.分析：確定兩線段間的函數(shù)關(guān)系，可利用線段成比例、找相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系.解：在ABC中，ABAC1，BAC30°，ABCACB75°，ABDACE105°.又DAE105°，DABCAE75°.又DABADBABC75°，CAEADB，ADBEAC，y.當，滿足 90°，y仍成立.此時DABCAE，DABADB，CAEADB.又ABDACE，ADBEAC，y.例10. 閱讀下面的短文并回答下列問題：我們把相似形的概念推廣到空間：如果兩個幾何體大小不一定相等，但形狀完全相同，就把它們叫做相似體.

11、如圖，甲、乙是兩個不同的正方體，正方體都是相似體，它們的一切對應線段之比都等于相似比（a：b）.設S甲、S乙 分別表示這兩個立方體的表面積，則，又設V甲、V乙 分別表示這兩個立方體的體積，則.（1）下列幾何體中，一定屬于相似體的是（ ）A. 兩個球體B. 兩個圓錐體C. 兩個圓柱體D. 兩個長方體（2）請歸納出相似體的三條主要性質(zhì)：相似體的一切對應線段（或弧）長度的比等于_ ；相似體表面積的比等于_ ；相似體體積的比等于_ .（3）假定在完全正常發(fā)育的條件下，不同時期的同一個人的人體是相似體，一個小朋友上幼兒園時身高為1.1米，體重為18千克，到了初三時，身高為1.65米.問他的體重是多少（不

12、考慮不同時期人體平均密度的變化）?分析：（1）球面上任一點到球心的距離都等于半徑，球的表面積與半徑的平方成正比，球的體積與半徑的立方成正比，且球的三視圖是全等的圓，故球體一定是相似體；（2）從題目的內(nèi)容看，兩個相似體的相似比為a：b，則表面積的比是相似比的平方，體積比是相似比的立方；（3）人體的體重與體積和密度有關(guān)，不考慮密度的情況下，體重與體積成正比，體積的比等于相似比（人體身高的比）的立方.解：（1）A.（2）相似比.相似比的平方.相似比的立方.（3）設他的體重是xkg，則根據(jù)題意得 ，得x60.75（kg）.賞析：將“相似”的概念從平面擴展到空間后，情況會發(fā)生什么變化呢?實際上這也不是個

13、很復雜的問題，因為閱讀材料中明確地告訴我們：相似體的“一切對應線段之比都等于相似比”.重要的信息它就明擺在那兒，就看你能否收集到它，并加以分析處理，從而用以解決問題.【模擬試題】（答題時間：30分鐘）1. 如圖所示，在梯形ABCD中，ABCD，中位線EF交對角線AC，BD于M，N兩點，若EF18cm，MN8cm，則AB的長是（ ） A. 10cmB. 13cm C. 20cm D. 26cm2.如圖所示，ABCD，AEFD，AE，F(xiàn)D分別交BC于點G，H，則圖中共有相似三角形（ ）.A. 4對 B. 5對C. 6對D.7對3. 如圖，電燈P在橫桿AB的正上方，AB在燈光下的影長為CD，ABCD

14、，AB2m，CD5m，點P到CD的距離是3m，則點P到AB的距離是（ ）.A.4. 如圖，把PQR沿著PQ的方向平移到PQR的位置，它們重疊部分的面積是PQR面積的一半，若PQ，則此三角形移動的距離PP是（ ）.A. B. C. 1 D. 15. 如圖，小明想用皮尺測量池塘A，B之間的距離，但現(xiàn)在利用皮尺無法直接測量到這一距離.學習了數(shù)學的有關(guān)知識后，他想出了一個主意：先在地上取一個可以直接到達A，B兩點的點O，連接OA，OB，分別在OA，OB上取中點C，D，連接CD，并測得CDa，由此他就知道了AB間的距離是（ ）.A. a B. 2a C. aD. 3a6. 如圖，已知ABCDBE，AB6

15、，DB8，則SABC：SDBE_.7. 由三角形三條中位線所圍成的三角形的面積是原三角形面積的_.8. 如圖，ABC中，BAC120°，ABAC，BC4，請你建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担懗鯝、B、C各點的坐標.9. 某市有A、B、C、D四個大型超市，分別位于一條東西走向的平安大路兩側(cè)，請建立適當?shù)闹?角坐標系并寫出四個超市相應的坐標.10.方格紙中的每個小方格都是邊長為1的正方形，我們把以格點間連線為邊的三角形稱為“格點三角形”.圖中的ABC是格點三角形，在建立平面直角坐標系后，點B的坐標為（1，1）.（1）把ABC向左平移8格后得到A1B1C1，畫出A1B1C1的圖形并寫出點B1的坐

16、標.（2）把ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到A2B2C，畫出A2B2C的圖形并寫出點B2的坐標.（3）把ABC以點A為位似中心放大，使放大前后對應邊長的比為1：2，畫出AB3C3的圖形.11. 如圖，李華晚上在路燈下散步，已知李華的身高ABh，燈柱的高OPOPL，兩燈柱之間的距離OOm.（1）若李華距燈柱OP的水平距離OAa，求他的影子AC的長.（2）若李華在兩路燈之間行走，則他前后的兩個影子的長度之和（DAAC）是否是定值？請說明理由.【試題答案】1. D 點撥: AB2MF，MFMNNF，則NF（EFMN）÷25cm，MF13cm，AB26cm.2. C 點撥: 本題

17、考查對相似三角形的判定和識圖能力，由已知BFHBAG，BFHCDH，BFHCEG，BAGCEG，BAGCDH，GCEHCD.共6對.3. C4. D 點撥: 本題涉及平移與相似三角形的性質(zhì)，平移后重疊三角形與PQR相似，且面積比為1:2，則邊長比為1:， PQ1，則PP1.5. B 點撥: CD是OA，OB的中點，OCD與OAB相似比為1:2.6. 9:16 點撥: 利用相似三角形的性質(zhì)，.7. 點撥: 中位線圍成的三角形的各邊長是原三角形邊長的.8. 答案不唯一， 可以是以BC所在直線為x軸，以BC的垂直平分線為y軸.BAC120°，ABAC，故y軸必經(jīng)過A點，BCAABC30°，BOOCBC2，在RtAOC中，利用勾股定理得A（0，），B（2，0），C（2，