1、TYYGROUPsystemofficeroomTYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-(10月4日上午8:0G-9:40)題號合計(jì)加試總成績131415得分評卷人復(fù)核人學(xué)生注意：1、本試卷共有三大題(15個小題),全卷總分值150分.2、用圓珠筆或鋼筆作答.3、解題書寫不要超過裝訂線.4、不能使用計(jì)算器.一、選擇題(此題總分值36分,每題6分)此題共有6個小是題,每題均給出(A)(B)(C)(D)四個結(jié)論,其中有且僅有一個是正確的.請將正確答案的代表字母填在題后的括號內(nèi),每題選對得6分；不選、選錯或選的代表字母超過一個(不管是否寫在括號內(nèi)),一律得.分.1、a為給定的實(shí)數(shù),那么集合M=

2、x|x-3又-£+2=0小£1«的子集的個數(shù)為(A)1(B)2(C)4(D)不確定2、命題1：長方體中,必存在到各頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)；命題2：長方體中,必存在到各棱距離相等的點(diǎn)；命題3：長方體中,必存在到各面距離相等的點(diǎn)；以上三個命題中正確的有(A) 0個(B)1個(C)2個(D)3個3、在四個函數(shù)y=sinx,y=cosIxI,y=IctgxI,y=Iglsinx中以為周期、在(0,-)上單調(diào)遞增的偶函數(shù)是2(A)y=sinx(B)y=cosx(C)y=ctgx(D)y=lgsinx4、如果滿足NABC=60°,AC=12,BC=k的/ABC恰有一個,那

3、么k的取值范圍是(A)k=8V3(B) 0<kl2(C)2(D)0<k<12或k=8%5 .假設(shè)(l+x+x?)8.的展開式為ao+aix+a2x?+,+a：ooox:o°°,那么a°+a3+a6+a9+,+ai%s的值為().(A)3雙(B)3湫(C)3期(D)320016 .6枝玫瑰與3枝康乃馨的價格之和大于24,而4枝攻魂與5枝康乃馨的價格之和小于22元,那么2枝玫瑰的價格和3枝康乃馨的價格比擬,結(jié)果是().(A)2枝玫瑰價格高(B)3枝康乃馨價格高(C)價格相同(D)不確定二、填空題(此題總分值54分,每題9分)7.橢圓P=1/(2-co

4、s0)的短軸長等于.38、右復(fù)數(shù)Z,2?滿足Zi=2,z二二3,3zi-2z二二-1,那么Z/二二.9、正方體ABCDABC.的棱長為1,那么直線AC與BD1的距離是O10、不等式_+2的解集為log1X211、函數(shù)y=X+J33x+2的值域?yàn)?2、在一個正六邊形的六個區(qū)域栽種欣賞植物如圖,要求同一場塊中種同一種植物,相鄰的兩塊種不同的植物.現(xiàn)有4種不同的植物可供選擇,那么有種栽種方案.二、解做題此題總分值60分,每題20分13、設(shè)aj為等差數(shù)列,bj為等比數(shù)列,且仇=,b2=a23?比,又limA+/%+2=&+1,試求aj的首項(xiàng)與公差.14、設(shè)曲線a：二+,2=10為正常數(shù)與0.三

5、26+111在乂軸上方公有一個公共點(diǎn)a-Po1求實(shí)數(shù)m的取值范圍用a表示；20為原點(diǎn),假設(shè)a與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A,當(dāng)0<a<1時,試求Z10AP的面積2的最大值用a表示.15用電阻值分別為a1、a2>為、a、a5a6>a1>a2>a3>a1>a5>a6的電阻組裝成一個如圖的組件,在組裝中應(yīng)如何選取電阻,才能使該組件總電阻值最小？證實(shí)你的結(jié)論.二OO一年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽加試試題<10月4日上午10：0012：00)學(xué)生注意：1、2、3、4、本試卷共有三大題,全卷總分值150分.用圓珠筆或鋼筆作答.解題書寫不要超過裝訂線.不能使用計(jì)

6、算器.一、此題總分值50分如圖：NABC中,0為外心,三條高AD、BE、CF交于點(diǎn)H,直線ED和AB交于點(diǎn)M,FD和AC交于點(diǎn)果求證：10BJ_DF,0C1DE；20H±MNo二、此題總分值50分設(shè)XiN0I=l,2,3,n且+2工二七勺=1,求的最大值與最小值./=1j/-I三、此題總分值50分將邊長為正整數(shù)m,n的矩形劃分成假設(shè)干邊長均為正整數(shù)的正方形,每個正方形的邊均平行于矩形的相應(yīng)邊,試求這些正方形邊長之和的最小值.2001年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)選擇題：CBDDCA1 .a為給定的實(shí)數(shù),那么集合乂=x|x3xa+2=0,xGR的子集的個數(shù)為.1 .1B.

7、2C.4D.不確定講解：M表示方程x23xa2+2=0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的解集.由于A=l+4a2>0,所以M含有2個元素.故集合M有2?=4個子集,選C.2 .命題L長方體中,必存在到各頂點(diǎn)距高相等的點(diǎn).命題2：長方體中,必存在到各條棱距離相等的點(diǎn)；命題3：長方體中,必存在到各個面距離相等的點(diǎn).以上三個命題中正確的有.A.0個B.1個C.2個D.3個講解：由于長方體的中央到各頂點(diǎn)的距離相等,所以命題1正確.對于命題2和命題3,一般的長方體除正方體外中不存在到各條棱距離相等的點(diǎn),也不存在到各個面距離相等的點(diǎn).因此,此題只有命題1正確,選B.3 .在四個函數(shù)y=sin|x|、y=cos|x|、y

8、=|ctgx|、y=1gIsinx|中,以Ji為周期、在0,五/2上單調(diào)遞增的偶函數(shù)是.A.y=sin|x|B.y=cosIxIC.y=|ctgx|D.y=1g|sinx|講解：可考慮用排除法.y=Sin|X|不是周期函數(shù)可通過作圖判斷,排除A；y=cosIx|的最小正周期為2冗,且在0,冗/2上是減函數(shù),排除B；y=1ctgx|在0,n/2上是減函數(shù),排除C.故應(yīng)選D.4 .如果滿足NABC=60°,AC=12,BC=k的4ABC恰有一個,那么k的取值范圍是.A.k=8、/JB.OVkW12C.kN12D.0<kW12或攵=8退講解：這是“三角形的兩邊及其一邊的對角,解三角形

9、這類問題的一個逆向問題,由課本結(jié)論知,應(yīng)選結(jié)論D.說明：此題也可以通過畫圖直觀地判斷,還可以用特殊值法排除A、B、C.5 .假設(shè)1+x+x?的展開式為a0+ax+a2x2+a皿x嗎那么an+a3+a6+a9+ai世的值為.A.3項(xiàng)B.3倨C.3期D.32001講解：由于要求的是展開式中每間降兩項(xiàng)系數(shù)的和,所以聯(lián)想到1的單位根,用特殊值法.取3=1/2+需/2i,貝32+3+1=0.令x=1,得a0+a+az+a3+a“co；令x=3,得0=ao+a13+aa皿5族；令X=32,得0=a0+a1g>+a201+a3+azooo三個式子相加得31000=3(a.+a3+a$+a的).a0+a

10、3+a6+a19為=3"9,選C.6.6枝玫瑰與3枝康乃馨的價格之和大于24,而4枝攻瑰與5枝康乃馨的價格之和小于22元,那么2枝玫瑰的價格和3枝康乃馨的價格比擬,結(jié)果是().A.2枝玫瑰價格高B.3枝康乃馨價格高C.價格相同D.不確定講解：這是一個大小比擬問題.可先設(shè)玫瑰與康乃馨的單價分別為x元、y元,那么由題設(shè)得,問題轉(zhuǎn)化為在條件、的約束下,比擬2x與3y的大小.有以下兩種解法：解法1：為了整體地使用條件、,令6x+3y=a,4x+5y=b,聯(lián)立解得*=(5a3b)/18,y=(3b2a)/9.*.2x3y=(11a12b)/9.Va>24,b<22,J11a_12b

11、>11X24-12X22=0.A2x>3y,選A.解法2：由不等式、及x>0、y>0組成的平面區(qū)域如圖1中的陰影局部(不含邊界).令2x3y=2c,那么c表示直線1：2x3y=2c在x軸上的截距.顯然,當(dāng)1過點(diǎn)(3,2)時,2c有最小值為0.故2x3y>0,即2x>3y,選A.說明：(1)此題類似于下面的1983年一道全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題：函數(shù)乂=f(X)=aX2C滿足：一4Wf(1)<1,1Wf(2)W5,那么f(3)應(yīng)滿足().A.-7Wf(3)W26B.-4Wf(3)W15C.一l<f(3)W20D.一28/3Wf(3)W35/3(2)如果

12、由條件、先分別求出x、y的范圍,再由2xy的范圍得結(jié)論,容易出錯.上面的解法1運(yùn)用了整體的思想,解法2那么直觀可靠,詳見文1.二.填空題24q30,72,.瓜o十iy313136310.(0,l)U(l,2DU(4,+oo)11.U,)U2,+oc)12.73227.橢圓P=l/(2-cos0)的短軸長等于講解：假設(shè)注意到極點(diǎn)在橢圓的左焦點(diǎn),可利用特殊值法；假設(shè)注意到離心率e和焦參數(shù)P(焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離)的幾何意義,此題也可以直接求短半軸的長.J"(O)="+c=l解法L由zr)=-c=l/3得a=2/3,從而b=正,故2b=233解法2：由e=c/a=1/2,p=b?

13、/c=1及b二=ac)得b=.從而2b=2g.33說明：這是一道符合教學(xué)大綱而超出高考范圍的試題.8 .假設(shè)復(fù)數(shù)zi、z2滿足Iz,|=2,Iz3|=3,3z|2z2=(3/2)i,那么ziz2=.講解：參考答案給出的解法技巧性較強(qiáng),根據(jù)問題的特點(diǎn),用復(fù)數(shù)的三角形式似乎更符合學(xué)生的思維特點(diǎn),而且也不繁.令z1=2(cosa+isina),z2=3(cosP+isinP),那么由3z.-2z2=(3/2)i及復(fù)數(shù)相等的充要條件,得即二式相除,得tg(a+B)/2)=3/2.由萬能公式,得sin(a+p)=12/13,cos(a+P)=5/13.故z】z2=6cos(a+p)+isin(a+p)二

14、一(30/13)+(72/13)i.說明：此題也可以利用復(fù)數(shù)的幾何意義解.9 .正方體ABCD-A|B|C1|的棱長為1,那么直線A|C|與BD1的距離是講解：這是一道求兩條異面直線距離的問題,解法較多,下面給出一種根本的解法.圖2為了保證所作出的表示距離的線段與A和BD|都垂直,不妨先將其中一條直線置于另一條直線的垂面內(nèi).為此,作正方體的對角面BDD|B那么八|<21_1_面BDD,B,且BD】u面BDDB-設(shè)ACGB】D1=0,在面BDD|B1內(nèi)作OH±BD.,垂足為H,那么線段OH的長為異面直線A|CI與BD1的距離.在RtBB1D1中,OH等于斜邊BDi上高的一半,即0

15、1-1=狙/6.10 .不等式I1/1.g2x+2I>3/2的解集為.講解：從外形上看,這是一個絕對值不等式,先求得1ogxV2,或一2/7<1og1/2x<0,或1og山二x>0.從而x>4,或IVx<2:或0Vx<1.11 .函數(shù)y=x+J/-5+2的值域?yàn)?講解：先平方去掉根號.由題設(shè)得(yx)2=x2-3x+2,那么x=(yz-2)/(2y-3).由yNx,得yN(y-2)/(2y3).解得lWyV3/2,或yN2.由于Ji-3x+2能達(dá)至|j下界0,所以函數(shù)的值域?yàn)?,3/2U2,+8.說明：1參考答案在求得ly<3/2或yN2后,還用

16、了較長的篇幅進(jìn)行了一番驗(yàn)證,確無必要.2此題還可以用三角代換法和圖象法來解,不過較繁,讀者不妨一試.圖312.在一個正六邊形的六個區(qū)域栽種欣賞植物如圖3,要求同一塊中種同一種植物,相鄰的兩塊種不同的植物.現(xiàn)有4種不同的植物可供選擇,那么有種栽種方案.講解：為了表達(dá)方便起見,我們給六塊區(qū)域依次標(biāo)上字母A、B、C、D、E、F.按間隔三塊A、C、E種植植物的種數(shù),分以下三類.1假設(shè)A、C、E種同一種植物,有4種種法.當(dāng)A、C、E種植后,B、D、E可從剩余的三種植物中各選一種植物允許重復(fù),各有3種方法.此時共有4X3X3X3=108種方法.2假設(shè)A、C、E種二種植物,有P.J種種法.當(dāng)A、C、E種好后

17、,假設(shè)A、C種同一種,那么B有3種方法,D、F各有2種方法；假設(shè)C、E或E、A種同一種,相同只是次序不同.此時共有P/X33X2X2=432種方法.3假設(shè)A、C、E種三種植物,有PJ種種法.這時B、D、F各有2種種方法.此時共有PJX2X2X2=192種方法.根據(jù)加法原理,總共有N=108+432+192=732種栽種方案.說明：此題是一個環(huán)形排列問題.三.解做題13 .設(shè)所求公差為M&<包,£>0.由此得/(%+24)2=(,+.)4化簡得：2a：+4%4+2=0解得：d=(-2±y2)a5分而-2±/<0,故為V02假設(shè)d=(-2-尬

18、)a,那么q=+1)-著d=(-2+6)(八,那么g=*=(&_1)210分但/而S+2)=VI+1存在,故Q<1,于是夕=("+1)2不可能.“T田一從而U_-=>/2+1=(272-2)(72+1)=21-(V2-I)2所以q=-",=(-2+VI)9=22-220分14 .解：(1)由?/+)消去y得：x2+2a2x+2a2m-a2=0y2=2(x+in)設(shè)/(x)=%2+2a2x+2a2m-a2,問題化為方程在xG(a,a)上有唯一解或等根.只需討論以下三種情況：1°=()得：m=此時為=4,1且僅當(dāng)一aV力<a,即OVa2<

19、;1時適合；2°f(a)f(-a)<0,當(dāng)且僅當(dāng)一a<勿Va；3°f(a)=0得m=a,此時羽=a2a,當(dāng)且僅當(dāng)一a<a2a"<a»即OVa<l時適合.f(a)=0得-a,此時修=a2a,由于一a2力Va,從而卬Wa.綜上可知,當(dāng)OVaVl時,=匚匚1或一aVzz<a：2當(dāng)a21時,a<.m<.a.10分(2)4"產(chǎn)的面積S=2.VO<a<t故一aVmWa時,OV-+1-2?<a,2由唯一性得xp=-a+ay/a1+-2in顯然當(dāng)卬=時,項(xiàng)取值最小.由于xQ>0,從而為=J

20、1-3取值最大,此時力=2yla-a2,/.S=aa-a2.當(dāng)in=時,xp=a9yp=J1-a°,此時S=Lay/l-cT.22下面比擬“心產(chǎn)與匚不的大小：2令=L.J1-,得4=L2 3故當(dāng)0<aWg時,ayja-a2<2.J1-/,此時S=?ajl-a?.3 22當(dāng)!<<寸,aja-/,此時S“v.20322分15.解：設(shè)6個電阻的組件(如圖3)的總電阻為反:,當(dāng)斤f=a£=3,4,5,6,尼、足是a、a的任意排列時,尺最小5分證實(shí)如下：1.設(shè)當(dāng)兩個電阻尼、足并聯(lián)時,所得組件阻值為兄那么!=-+!.故交R叫R.換二電阻的位置,不改變?值,且當(dāng)凡

21、或足變小時,咒也減小,因此不妨取泥>足.MC2-MH2=ACZAHZ'：BELNA:.nb2-nhz=ab2-ahz'：DAA.BC：.BDZ-CDZ=BAZ-AC2'：OB.DF:.bn2-bdz=on2-odz*：OCA.DE30：.CMZ-CDZ=OMZ-OD2分一+一,得NH2-MHZ=ONz-OMZMOZ-MHZ=NO2-NH2OHA.MN50分另證：以理所在直線為x軸,.為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,設(shè)力(0,a),B(b,0),r(c,0),那么k,xc=-,kAB=-cb直線'的方程為y=-(x-c),直線座的方程為y=-(x-b)ca,y=(x-

22、b)27)】由a得£點(diǎn)坐標(biāo)為以中竺,竺二坐)a,、(廠+L同理可得尸(S二,絲工)cr+/+/直線的垂直平分線方程為),->,號直線5.的垂直平分線方程為4=生V-=(x-)由2a2得次竺£一+,)b+c22ax=2bc+a22._2a_cm-abc_ab-acOB=b+clp2VkOBkDP=-1/OBIDF同理可證OC,DE.在直線座的方程,=£?-與中令x=0得40,-bc+a?be2a干了_a,+3兒b+cab+ac直線分的方程為,=竺二+bellK得,V'(er+2hc-cabc-ac?)a2+2bc-c2組1/a2b+b2cabc-ab2

23、、同理可得必I、？灰：/+2A-/ab+aca2+3bc_a(b2-c2)(a2+bc)“L(c-b)(a2+hc)(a2+3bc)恩屆=-1,OHA.MN.二解：先求最小值,由于之七2+2ZI24勺之1=£七21/=!i=llJt/rVJr=l等號成立當(dāng)且僅當(dāng)存在I使得X=L內(nèi)=0,j=in工z3最小值為i.j-110分再求最大值,令工卜=尿£立+2女=1力+>'2+%=為n.xGG人力yn=ai設(shè)例=Z4=Z,"%,令,-AJl-l那么“：+"；HF"；=130分令an_x=0,貝ljM=£VF(4-a«+1)I=£&£&k+=£&£>lk-ak=£尿-4-1MA-lII女1由柯西不等式得：一叱?39硝,=之JF一仄彳尸門"IJt-12等號成立中=(4k八EVA+4；+,+%說1+("-4尸+(*7二IF-(JF-JTT)2£(vr-vrr)2rA