1、閉區間上二次函數的最值問題一. 定二次函數在定區間上的最值二次函數是給定的，給出的定義域區間也是固定的，我們稱這種情況是“定二次函數在定區間上的最值”。例1. 函數在區間0，3上的最大值是_，最小值是_。解：函數是定義在區間0，3上的二次函數，其對稱軸方程是，頂點坐標為（2，2），且其圖象開口向下，顯然其頂點橫坐標在0，3上，如圖1所示。函數的最大值為，最小值為。圖1例2. 已知，求函數的最值。解：由已知，可得，即函數是定義在區間上的二次函數。將二次函數配方得，其對稱軸方程，頂點坐標，且圖象開口向上。顯然其頂點橫坐標不在區間內，如圖2所示。函數的最小值為，最大值為。圖2解后反思：已知二次函數（

2、不妨設），它的圖象是頂點為、對稱軸為、開口向上的拋物線。由數形結合可得在m，n上的最大值或最小值：（1）當時，的最小值是的最大值是中的較大者。（2）當時若，由在上是增函數則的最小值是，最大值是若，由在上是減函數則的最大值是，最小值是二. 動二次函數在定區間上的最值二次函數隨著參數a的變化而變化，即其圖象是運動的，但定義域區間是固定的，我們稱這種情況是“動二次函數在定區間上的最值”。例3. 已知，且，求函數的最值。解：由已知有，于是函數是定義在區間上的二次函數，將配方得：二次函數的對稱軸方程是頂點坐標為，圖象開口向上由可得，顯然其頂點橫坐標在區間的左側或左端點上。函數的最小值是，最大值是。圖3例

3、4. 已知二次函數在區間上的最大值為5，求實數a的值。解：將二次函數配方得，其對稱軸方程為，頂點坐標為，圖象開口方向由a決定。很明顯，其頂點橫坐標在區間上。若，函數圖象開口向下，如圖4所示，當時，函數取得最大值5即解得故圖4若時，函數圖象開口向上，如圖5所示，當時，函數取得最大值5即解得故圖5綜上討論，函數在區間上取得最大值5時，解后反思：例3中，二次函數的對稱軸是隨參數a變化的，但圖象開口方向是固定的；例4中，二次函數的對稱軸是固定的，但圖象開口方向是隨參數a變化的。三. 定二次函數在動區間上的最值二次函數是確定的，但它的定義域區間是隨參數t而變化的，我們稱這種情況是“定函數在動區間上的最值

4、”。例5. 如果函數定義在區間上，求的最小值。解：函數，其對稱軸方程為，頂點坐標為（1，1），圖象開口向上。如圖6所示，若頂點橫坐標在區間左側時，有。當時，函數取得最小值。圖6如圖7所示，若頂點橫坐標在區間上時，有，即。當時，函數取得最小值：。圖7如圖8所示，若頂點橫坐標在區間右側時，有，即。當時，函數取得最小值綜上討論，圖8例6. 設函數的定義域為，對任意，求函數的最小值的解析式。解：將二次函數配方得：其對稱軸方程為，頂點坐標為，圖象開口向上若頂點橫坐標在區間左側，則，即。當時，函數取得最小值：若頂點橫坐標在區間上，則，即。當時，函數取得最小值：若頂點橫坐標在區間右側，則，即。當時，函數取得

5、最小值：綜上討論，得四. 動二次函數在動區間上的最值二次函數是含參數的函數，而定義域區間也是變化的，我們稱這種情況是“動二次函數在動區間上的最值”。例7. 已知，且當時，的最小值為4，求參數a的值。解：將代入S中，得則S是x的二次函數，其定義域為，對稱軸方程為，頂點坐標為，圖象開口向上。若，即，則當時，此時，或若，即，則當時，此時，或（因舍去）綜上討論，參變數a的取值為，或，或例8. 已知，且當時，的最小值為1，求參變數a的值。解：將代入P中，得則P是x的二次函數，其定義域為，對稱軸方程為，頂點坐標為，圖象開口向上。若，即則當時，此時，若，即，則當時，此時，或（因舍去）綜上討論，解后反思：例7中，二次函數的對稱軸是變化的；例8中，二次函數的對稱軸是固定的。另外，若函數圖象的開口方向、對稱軸均不