1、6 6. .3 3等比數列及其前等比數列及其前n n項和項和 知識梳理-2-知識梳理雙基自測211.等比數列 (1)等比數列的定義一般地,如果一個數列從第項起,每一項與它的前一項的比等于,那么這個數列叫做等比數列,這個常數叫做等比數列的,公比通常用字母表示.數學2 同一個常數 公比 q(q0) 知識梳理-3-知識梳理雙基自測21(2)等比中項如果a,G,b成等比數列,那么G叫做a與b的等比中項.即:G是a與b的等比中項a,G,b成等比數列.(3)等比數列的通項公式an=;可推廣為an=.(4)等比數列的前n項和公式G2=ab a1qn-1 amqn-m 知識梳理-4-知識梳理雙基自測212.等

2、比數列及其前n項和的性質(1)若k+l=m+n(k,l,m,nN*),則akal=;若m+n=2k,則 (2)相隔等距離的項組成的數列仍是等比數列,即ak,ak+m,ak+2m,仍是等比數列,公比為.(3)若an,bn(項數相同)是等比數列,則aman qm 知識梳理-5-知識梳理雙基自測21當q0,dS40B.a1d0,dS40,dS40D.a1d0 答案解析解析關閉 答案解析關閉-16-考點1考點2考點3考點4解析: (1)4a1,2a2,a3成等差數列,4a2=4a1+a3,即4a1q=4a1+a1q2,q2-4q+4=0.q=2.a3+a5=a1(q2+q4)=3(4+16)=60.(

3、2)設an的首項為a1,公差為d,則a3=a1+2d,a4=a1+3d,a8=a1+7d.a3,a4,a8成等比數列,(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d),即3a1d+5d2=0.-17-考點1考點2考點3考點4例2已知數列an的前n項和Sn=1+an,其中0.(1)證明an是等比數列,并求其通項公式;思考判斷或證明一個數列是等比數列有哪些方法?-18-考點1考點2考點3考點4-19-考點1考點2考點3考點4解題心得1.判斷數列an為等比數列的方法: 2.解答選擇題、填空題時也可用如下方法:(1)通項公式法:若數列通項公式可寫成an=cqn(c,q均是不為0的常數,nN*),則數列a

4、n是等比數列.(2)前n項和法:若Sn=kqn-k(k為常數,且k0,q0,1),則數列an為等比數列.3.若證明一個數列不是等比數列,則可用反證法證明存在相鄰三項不成等比數列即可,一般證明-20-考點1考點2考點3考點4對點訓練對點訓練2(2018廣西柳州、南寧聯考)設a1=2,a2=4,數列bn滿足bn+1=2bn+2,且an+1-an=bn.(1)求證:數列bn+2是等比數列;(2)求數列an的通項公式.b1=a2-a1=4-2=2,b1+2=4.bn+2是以4為首項,以2為公比的等比數列.-21-考點1考點2考點3考點4(2)解：由(1)可得bn+2=42n-1,即bn=2n+1-2.

5、an+1-an=bn,a2-a1=b1,a3-a2=b2,a4-a3=b3,an-an-1=bn-1.累加得an-a1=b1+b2+b3+bn-1,則an=2+(22-2)+(23-2)+(24-2)+(2n-2)即an=2n+1-2n(n2).而a1=2=21+1-21,an=2n+1-2n(nN*).-22-考點1考點2考點3考點4考向一等比數列項的性質的應用例3(1)在由正數組成的等比數列an中,若a3a4a5=3,則sin(log3a1+log3a2+log3a7)的值為()(2)在正項等比數列an中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,則n=.思考

6、經常用等比數列的哪些性質簡化解題過程? 答案 答案關閉 (1)B(2)14 -23-考點1考點2考點3考點4-24-考點1考點2考點3考點4考向二等比數列前n項和的性質的應用例4設等比數列an的前n項和為Sn.若S2=3,S4=15,則S6=()A.31 B.32C.63 D.64思考本題應用什么性質求解比較簡便? 答案解析解析關閉(方法一)S2=3,S4=15,由等比數列前n項和的性質,得S2,S4-S2,S6-S4成等比數列,(S4-S2)2=S2(S6-S4),即(15-3)2=3(S6-15),解得S6=63,故選C.(方法二)設等比數列an的公比為q,則S2=a1+a2=3,S4=a

7、1+a2+a3+a4=(1+q2)(a1+a2)=(1+q2)3=15,解得q2=4.故S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=(1+q2+q4)(a1+a2)=(1+4+42)3=63. 答案解析關閉C -25-考點1考點2考點3考點4解題心得1.在解答等比數列的有關問題時,為簡化解題過程常常利用等比數列項的如下性質:(1)通項公式的推廣:an=amqn-m;(2)等比中項的推廣與變形: =aman(m+n=2p)及akal=aman(k+l=m+n).2.對已知條件為等比數列的前幾項和,求其前多少項和的問題,應用公比不為-1的等比數列前n項和的性質:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成

8、等比數列比較簡便.-26-考點1考點2考點3考點4對點訓練對點訓練3(1)已知在各項均為正數的等比數列an中,a5a6=4,則數列log2an的前10項和為()A.5B.6C.10 D.12(2)已知等比數列an的首項a1=-1,其前n項和為Sn,若 ,則公比q=. 答案解析解析關閉 答案解析關閉-27-考點1考點2考點3考點4例5已知an是等比數列,前n項和為Sn(nN*),且(1)求an的通項公式;(2)若對任意的nN*,bn是log2an和log2an+1的等差中項,求數列(-1) 的前2n項和.思考解決等差數列、等比數列的綜合問題的基本思路是怎樣的?-28-考點1考點2考點3考點4-29-考點1考點2考點3考點4解題心得等差數列和等比數列的綜合問題,涉及的知識面很廣,題目的變化也很多,但是萬變不離其宗,只要抓住基本量a1,d(q)充分運用方程、函數、轉化等數學思想方法,合理調用相關知識,就不難解決這類問題.-30-考點1考點2考點3考點4對點訓練對點訓練4已知等差數列an滿足:a1=2,且a1,a2,a5成等比數列.(1)求數列an的通項公式;(2)記Sn為數列an的前n項和,是否存在正整數n,使得Sn60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,說