1、宿遷青華中學2015屆高考數學內部信息題三角變換與解三角形一、考點解讀1. 掌握三角函數的公式(同角三角函數關系式、誘導公式、和、差角及倍角公式)及應用；能正確運用三角公式進行簡單三角函數式的化簡、求值和條件等式及恒等式的證明；掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運用它們解斜三角形2. 在復習過程中，要熟練掌握三角變換的所有公式，理解每個公式的意義，應用特點及常規使用方法等；熟悉三角變換常用的方法(化弦法、降冪法、角的變換法、“1”的變換等)；掌握化簡、求值和解三角形的常規題型；要注意掌握公式之間的內在聯系3. 近年來高考對三角函數與向量聯系問題的考查有所增加，三角函數知識在幾何及實際問題中的應用

2、也是考查重點，應給予充分的重視新教材降低了對三角函數恒等變形的要求，但對兩角和的正切考查一直是重點二、基礎訓練1. 若tan3，則的值等于_. 2.已知cossin，則sin的值是_3.在ABC中，tanA，tanC，則角B的值為_4.在銳角ABC中，BC1，B2A，則的值等于_三、例題選講【例1】已知cos，cos()且0<<<.(1) 求tan2的值；(2) 求. 【例2】在ABC中，內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知a2c22b，且sinAcosC3cosAsinC，求b.【例3】在ABC中，角A、B、C的對邊分別是a，b，c，已知sinCcosC1sin.(1

3、) 求sinC的值；(2) 若a2b24(ab)8，求邊c的值【例4】已知sin(2)3sin，設tanx，tany，記yf(x)(1) 求f(x)的解析式；(2) 若角是一個三角形的最小內角，試求函數f(x)的值域四、高考回顧1. (2011·全國)已知，tan2，則cos_. 2.(2011·江蘇)已知tan2，則的值為_3.(2011·重慶)已知sincos，且，則的值為_4.(2010·廣東)已知a，b，c分別是ABC的三個內角A，B，C所對的邊，若a1，b， AC2B，則sinC_.5.(2011·廣東)已知函數f(x)2sin，xR

4、.(1) 求f的值；(2) 設，f，f(32)，求cos()的值6.(2011·全國)ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c；已知asinAcsinCasinCbsinB.(1) 求B；(2) 若A75°，b2，求a，c.五、考題展示(本小題滿分14分)已知函數f(x)2cos.(1) 設，且f()1，求的值；(2) 在ABC中，AB1，f(C)1，且ABC的面積為，求sinAsinB的值平面向量及其應用一、考點解讀1. 掌握平面向量的加減運算、平面向量的坐標表示、平面向量數量積等基本概念、運算及其簡單應用復習時應強化向量的數量積運算，向量的平行、垂直及求有關向量的夾

5、角問題要引起足夠重視2. 在復習中要注意數學思想方法的滲透，如數形結合思想、轉化與化歸思想等會用向量解決某些簡單的幾何問題二、基礎訓練1. 在ABCD中，a，b，3，M為BC的中點，則_.(用a、b表示)2.設a與b是兩個不共線向量，且向量ab與(b2a)共線，則_.3.若向量a，b滿足|a|1，|b|2且a與b的夾角為，則|ab|_. 4.已知向量P，其中a、b均為非零向量，則|P|的取值范圍是_三、例題選講【例1】已知向量a，b(2，cos2x)(1) 若x，試判斷a與b能否平行？(2) 若x，求函數f(x)a·b的最小值【例2】設向量a(4cos，sin)，b(sin，4cos

6、)，c(cos，4sin)(1) 若a與b2c垂直，求tan()的值； (2) 求|bc|的最大值； (3) 若tantan16，求證：ab. 【例3】在ABC中，已知2·|·|3BC2，求角A，B，C的大小【例4】已知ABC的角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，設向量m(a，b)，n(sinB，sinA)，p(b2，a2) .(1) 若mn，求證：ABC為等腰三角形； (2) 若mp，邊長c2，角C，求ABC的面積 .四、高考回顧1. (2008·安徽)在平行四邊形ABCD中，AC為一條對角線，若(2,4)，(1,3)，則_.2.(2011·上海)在

7、正三角形ABC中，D是BC上的點，AB3，BD1，則·_.3.(2011·江蘇)已知e1，e2是夾角為的兩個單位向量，ae12e2，bke1e2，若a·b0，則實數k的值為_. 4.(2011·浙江)若平面向量，滿足|1，|1，且以向量，為鄰邊的平行四邊形的面積為，則與的夾角的取值范圍是_5.(2010·江蘇)在平面直角坐標系xOy中，點A(1，2)、B(2,3)、C(2，1)(1) 求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長；(2) 設實數t滿足(t)·0，求t的值6.(2011·陜西)敘述并證明余弦定理五、考題展

8、示(2010·江蘇泰州一模)(本小題滿分14分)在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c.(1) 設向量x(sinB，sinC)，向量y(cosB，cosC)，向量z(cosB，cosC)，若z(xy)，求tanBtanC的值；(2) 已知a2c28b，且sinAcosC3cosAsinC0，求b.答案三角變換與解三角形1. 在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若(a2c2b2)tanBac，則角B的值為_【答案】或解析： 由余弦定理得cosB, tanB·cosB，sinB，B為或.2. 在ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，且，(1) 求角B

9、的大小；(2) 若ABC最大邊的邊長為，且sinC2sinA，求最小邊邊長解： (1)由整理得(ac)c(ba)(ab)，即acc2b2a2， cosB， 0B， B.(2) B， 最長邊為b， sinC2sinA， c2a， a為最小邊，由余弦定理得()2a24a22a·2a·，解得a21， a1，即最小邊邊長為1.基礎訓練1. 6解析：2tan.2. 解析：cossin化為cossinsin，sin，sin.3. 解析：tanBtan(AC)tan(AC)1.4. 2解析：由正弦定理得，2.例題選講例1解：(1)cos， sin，tan4，tan2.(2) coscos

10、()coscos()sinsin()， .例2解：(解法1)在ABC中， sinAcosC3cosAsinC，則由正弦定理及余弦定理有 a·3×·c，化簡并整理得：2(a2c2)b2，又由已知a2c22b， 4bb2，解得b4或0(舍)(解法2)由余弦定理得： a2c2b22bccosA.又a2c22b，b0.所以b2ccosA2，又sinAcosC3cosAsinC， sinAcosCcosAsinC4cosAsinC，sin(AC)4cosAsinC，即sinB4cosAsinC，由正弦定理得sinBsinC，故b4ccosA，由，解得b4.變式訓練在ABC中

11、，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.(1) 若c2，C，且ABC的面積S，求a，b的值；(2) 若sinCsin(BA)sin2A，試判斷ABC的形狀解： (1) 由余弦定理及已知條件得，a2b2ab4，又因為ABC的面積等于，所以absinC，得ab4.聯立方程組解得a2，b2.(2) 由題意得sinBcosAsinAcosA，當cosA0時，A，ABC為直角三角形；當cosA0時，得sinBsinA，由正弦定理得ab，ABC為等腰三角形所以，ABC為直角三角形或等腰三角形例3解：(1) 由已知得2sincos12sin21sin，即sin0，由sin0得2cos2sin10，即sin

12、cos，兩邊平方得：sinC.(2) 由sincos0知sincos，則，即C，則由sinC得cosC，又a2b24(ab)8，即(a2)2(b2)20，故ab2，所以由余弦定理得c2a2b22abcosC82，c1.變式訓練已知ABC中，a、b、c是三個內角A、B、C的對邊，關于x的不等式x2cosC4xsinC60的解集是空集(1) 求角C的最大值；(2) 若c，ABC的面積S，求當角C取最大值時ab的值解： (1) 不等式x2cosC4xsinC60的解集是空集 即得故cosC，而cosC0時解集不是空集 角C的最大值為60°.(2) 當C60°時，SABCabsin

13、Cab， ab6，由余弦定理得c2a2b22abcosC(ab)22ab2abcosC， (ab)2c23ab， ab.例4解：(1)(解法1)注意角的變換2()，().(1) 由sin(2)3sin得，sin()3sin()，則sin()coscos()sin3sin()cos3cos()sin， sin()cos2cos()sin， tan()2tan，于是2tan，即2x， y，即f(x).(解法2) 直接展開，利用“1”的變換sin2coscos2sin3sin，2sincoscos(cos2sin2)sin3sin，tan3tan，tan3tan， y，即f(x).(2) 角是一個三

14、角形的最小內角， 0<，0x，f(x)，設g(x)2x，則g(x)2x2(當且僅當x時取等號)，故函數f(x)的值域為.高考回顧1. 解析：由cos2，又，cos0，所以cos.2. 解析： tan2, tanx， .3. 解析：sincos得sincos，sin，2cos，sincos， cos，2×.4. 1解析：由三角形內角和定理得B，根據正弦定理得，即sinA，1， AB， A，C，sinC1.5. 解：(1) f2sin2sin.(2) f2sin， sin， ， cos.f(32)2sin2cos， cos， ， sin. cos()coscossinsin

15、3;·.6. 解：(1) 由正弦定理asinAcsinCasinCbsinB，可變形為a2c2acb2，即a2c2b2ac，由余弦定理cosB，又B(0，)，所以B.(2) 由sinAsin(45°30°)·sinCsin60°.由正弦定理a1，同理c.第9講平五、考題展示（三角）(本小題滿分14分)已知函數f(x)2cos.(1) 設，且f()1，求的值；(2) 在ABC中，AB1，f(C)1，且ABC的面積為，求sinAsinB的值解：(1) f(x)2cos22sincos(1cosx)sinx2cos.(3分)由2cos1, 得cos.

16、(5分)于是x2k±(kZ)，因為x，所以x或.(7分)(2) 因為C(0，)，由(1)知C.(9分)因為ABC的面積為，所以absin，于是ab2， 在ABC中，設內角A、B的對邊分別是a、b，由余弦定理得1a2b22abcosa2b26，所以a2b27，由可得或于是ab2. (12分)由正弦定理得，所以sinAsinB(ab)1. (14分)面向量及其應用1. 已知ABC外接圓的圓心為O，BC>CA>AB，則·，·，·的大小關系為_【答案】···解析： 0AOBAOCBOC，ycosx在(0，)上單調減， c

17、osAOBcosAOCcosBOC, ···.2. 在ABC中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且1.(1) 求角A；(2) 若m(0，1)，n，試求|mn|的最小值解： (1) 11，即， ， cosA. 0A， A.(2) mn(cosB,2cos21)(cosB，cosC)， |mn|2cos2Bcos2Ccos2Bcos21sin. A， BC， B.從而2B. 當sin1，即B時，|mn|2取得最小值.所以，|mn|min.基礎訓練1. ab解析：(ab)(ab)ab.2. 0.5解析：abm(b2a)，則.3. 解析： |ab|.4. 0,2解析：

18、設a與b的夾角為，則|P|(0，)例題選講例1解：(1) 若a與b平行，則有·cos2x·2，因為x，sinx0，所以得cos2x2，這與|cos2x|1相矛盾，故a與b不能平行(2) 由于f(x)a·b2sinx，又因為x，所以sinx， 于是2sinx22，當2sinx，即sinx，x時取等號，故函數f(x)的最小值等于2.變式訓練已知向量m(sinA，cosA)，n(1，2)，且m·n0.(1) 求tanA的值；(2) 求函數f(x)cos2xtanAsinx(xR)的值域點撥： 平面向量與三角結合是高考中的一個熱點，本題主要考查平面向量數量積的坐

19、標運算解： (1) m·nsinA2cosA0tanA2.(2) f(x)cos2x2sinx22， xR, sinx1,1，當sinx時，f(x)取最大值；當sinx1時，f(x)取最小值3.所以函數f(x)的值域為.例2(1)解：b2c(sin2cos，4cos8sin)，a與b2c垂直， 4cos(sin2cos)sin(4cos8sin)0，sin()2cos()，即tan()2.(2) 解：bc(sincos，4cos4sin)，|bc|4，|bc|的最大值為4.(3) 證明：由tantan16得sinsin16coscos，即4cos4cossinsin0，所以ab.變式

20、訓練已知向量a(sin，cos2sin)，b(1,2)(1) 若ab，求tan的值；(2) 若|a|b|,0，求的值解： (1) 因為ab，所以2sincos2sin，于是4sincos，故tan.(2) 由|a|b|知，sin2(cos2sin)25，所以12sin24sin25.從而2sin22(1cos2)4，即sin2cos21，于是sin.又由0知，2，所以2或2.因此或.例3解：設BCa，ACb，ABc，由2·|·|得2bccosAbc，所以cosA，又A(0，)，因此A.由 |·|3BC2得bca2，于是sinC·sinBsin2A，所以s

21、inC·sin，sinC·，因此2sinC·cosC2sin2C，sin2Ccos2C0，即sin0.由A知0C，所以<2C，從而2C0或2C，即C或，故A，B，C或A，B，C.例4(1) 證明： mn， asinAbsinB.即a·b·，其中R是三角形ABC外接圓半徑，ab， ABC為等腰三角形(2) 解：由題意可知m·p0，即a(b2)b(a2)0， abab，由余弦定理可知，4a2b2ab(ab)23ab，即(ab)23ab40. ab4或1(舍去)， SabsinC×4×sin.高考回顧1. (3，5

22、)解析：取A(0,0)則B(2,4)，C(1,3)由得D(1，1)即(3，5)2. 解析：··()··323×1×cos.3. 解析：a·b0，(e12e2)·(ke1e2)0，kk0，k.4. 解析：|sin，sin，又(0，)， .5. 解：(1)(解法1)由題設知(3,5)，(1,1)，則(2,6)，(4,4)所以|2，|4.故所求的兩條對角線的長分別為4、2.(解法2)設該平行四邊形的第四個頂點為D，兩條對角線的交點為E，則：E為B、C的中點，E(0,1)，又E(0,1)為A、D的中點，所以D(1,4)，故所求的兩條對角線的長分別為BC4、AD2；(2) 由題設知：(2，1)，t(32t