1、用等效法分析實驗“測電源電動勢和內(nèi)阻”測量誤差羅平一中徐勇關(guān)鍵詞：等效法 測電動勢和內(nèi)阻 測量誤差 合理性證明摘 要：“等效”是物理學(xué)中的重要的學(xué)習(xí)和研究方法，恰當(dāng)?shù)膽?yīng)用往往 能化難為易，化繁為簡。例如變力做功可等效為恒力做功， 非勻強(qiáng)電場等效為勻 強(qiáng)電場等。實驗誤差分析是中學(xué)生物理學(xué)習(xí)中的難點， 尤其像在“測電動勢和內(nèi) 阻”這樣的實驗中，電路復(fù)雜多變，涉及誤差分析時學(xué)生往往束手無策，而一般 分析方法復(fù)雜而又難記難理解。為解決學(xué)生困擾，筆者認(rèn)為可借用“等效”法來 快速、準(zhǔn)確分析“測電源電動勢和內(nèi)電阻”實驗中電動勢和內(nèi)阻的測量誤差。在 本文中筆者先給出不同實驗方式中等效的方法和結(jié)果，再加以證明，

2、希望有益于師生教、學(xué)。電流表相對電源外接法測電源電動勢和內(nèi)阻的等效誤差分析如圖1所示的電路為“電流表相對電源外接”。這是實驗中最常用的方法。 實驗誤差分析方法：用此法測電源電動勢和內(nèi)阻時，設(shè)電動勢真實值為 E真，測量值為E測，內(nèi)阻的真實值為r真，測量值為r測，貝U可將R/等效這電源內(nèi)阻的一部分，圖中虛線框 內(nèi)為等效電源，進(jìn)一步簡化得到等效電路圖，則此時等效電源的電動勢為測量值由圖1 “等效電路”可知，當(dāng)外電路斷開時,E測即為電壓表兩端電壓，即7第1頁共8頁7第#頁共8頁E=uV。由圖可知，電壓表內(nèi)阻 Rv與r真串聯(lián)，由電流相等有:E測E真RvRv +r真E測=E真RvRv +r真7第#頁共8頁

3、 E測VE真，即電動勢測量值小于真實值。仍由圖1可知，電源內(nèi)阻的測量值r測等效于電壓表內(nèi)阻r與電源內(nèi)阻r真并 聯(lián)的總電阻，所以有：；可見，r測Vr真，即測量值比真實值偏小。r真Rvr測= Rv+r 真在“電流表相對電源外接”中，短路電流的測量值和真實值相等。即1短測=1短真。“等效法”的可靠性證明如下：設(shè)電壓表兩次測量的讀數(shù)依次為 U、U2，電流表示數(shù)依次為I 1、12，在不考1有:慮電壓表內(nèi)阻的情況下，電動勢和內(nèi)阻均為測量值。由圖UE測11 r測,聯(lián)立得:r測=U2 U1I 1 I 2第2頁共8頁第#頁共8頁I1U2T2U 1li I2考慮電壓表內(nèi)阻時,U訐 E真一(li+ Iv)電動勢和內(nèi)

4、阻對應(yīng)真實值。由圖1 有:U2= E真一（I2+ Iv）其中Iv =斗，IVRvr 真 D,r 真，”,U2第#頁共8頁第#頁共8頁U 2 U1聯(lián)立消去E真得:r真=，分子分母同除U2 Ui得:(Ii 12)r真=丄二，考慮到異U 2 U 1 R/11 I2移項整理得：+,或與成：測一。r測r真Rvr真+ RvU2- UiRvr測Rv即：電流表相對電源外接測得電源內(nèi)阻等于電壓表內(nèi)阻與電源真實內(nèi)阻的 并聯(lián)電阻。再聯(lián)立消去r真得:分子分母同除l2 1 1 )得:(U112-U211) Rv(I2li) Rv+( U2 Ui)U 1丨2 U 2丨1I 2 I1Rv +(U2 U 1)l2 I 1考慮

5、到I1U2T2U1I1 I2I2U1 I1U 2I 2 I 1U2 U 1I1 I2U 2U1I 2 I 1,代入上第3頁共8頁第#頁共8頁式有:Rv E測Rv r測又r真Rv真+ Rv化簡可得：Es =E真Rv。r 真+ Rv第#頁共8頁即：電流表相對電源外接測得電源電動勢值等于電壓表兩端電壓，因此小 于電動勢真實值。二、電流表相對電源內(nèi)接測電源電動勢和內(nèi)阻如圖2所示的連接方式稱為“電流表相對電源內(nèi)接”r真等效電路實驗誤差分析方法：電流表相對電源內(nèi)接時，測量中沒有考慮其內(nèi)阻的影響，實為將電流表等效 為電源內(nèi)阻，故有：即：電流表內(nèi)接時，內(nèi)阻的測量值大于真實值。當(dāng)外電路斷開時，電流表等效為導(dǎo)線，

6、此時電動勢測量值等于真實值。即：測=E真此方法的可靠性證明如下：設(shè)任兩次測量電壓表和電流表示數(shù)分別為 Ui、Ii和U2、丨2，所測電動勢和 內(nèi)阻分別為E測、r測，真實值為E真、r真，由圖2,不考慮電流表內(nèi)阻Ra時，根 據(jù)閉合電路歐姆定律有：E測=U1 + 11 r測,E 測=U 2 + 12r 測,由兩式解得：U2- U1U1I2- U2I1r 測=.；E 測=|1 1 1 2 I2- I1考慮電流表內(nèi)阻Ra時，根據(jù)閉合電路歐姆定律有:E真=U1+h（ r 真+ Ra） ,E真=U2+I2 r 真 + Ra) ,兩式聯(lián)立得：Ra+U2 U111 I2又則=U25I1 I2第4頁共8頁第#頁共8

7、頁 1測=RA+r 真即：內(nèi)阻測量值等于真實值與電流表內(nèi)阻之和 又由兩式消r真得：由前可知:U1I2 511I2 IiU1I2 511I 2 Ii即：電流表內(nèi)接法測得的電源電動勢測量值等于真實值。三、用電流表和可變電阻測電源電動勢和內(nèi)阻。實驗誤差分析方法：如圖3所示，在不使用電壓表的情況下，可利用可變電阻 R,和一塊電流表 測量電源電動勢和內(nèi)阻。等效后E,1等效電源第6頁共8頁第#頁共8頁當(dāng)改變R的阻值為R、R2時，電流表中的電流為h、I2，由于不考慮電流 表內(nèi)阻Ra，可將Ra等效為電源內(nèi)阻。因此內(nèi)阻測量值為:r測真+ ra r真即：此法測出的電源內(nèi)阻大于真實值.而當(dāng)外電路斷開時，端電壓等于電

8、源電動勢，電流表等效為導(dǎo)線，故測得的 端電壓等于電源電動勢的測量值 E測，也就等于真實的電動勢E真，即:測=E真證明如下：設(shè)電阻為R時電流為h，貝E測=h（ Ri+r 測），當(dāng)可變電阻為R,時電流為I2:E測U Rz+r 測),由兩式有:I2 R! 1 1 R第#頁共8頁第#頁共8頁I1I2Ri- R2)I2- I 1考慮電流表內(nèi)阻，當(dāng)可變電阻分別為Ri、R2，電流Ii、I2時，由圖3知:第#頁共8頁E真=(Ri+r 真 +Ra)E真I2 R2+r真 +ra) ,由消E真得:(I2R2-IiRi)丄(I2 h) Ra(I2RUR)十1112Ii12Ii12將代入式得：r真一r測-Rar測r真+

9、Ra即：用電流表和可變電阻測得的電源內(nèi)阻等效于真實電阻現(xiàn)電流表內(nèi)阻串 聯(lián)的總電阻。這個阻值顯然大于真實值。又由消r真得到電動勢的真實值表達(dá)式：Ii2 R R)I2 I1由式可知，E測一E真，即用電流表和可變電阻測得電源電動勢的值等 于真實值。四、用電壓表和可變電阻測電源電動勢和內(nèi)阻。實驗誤差分析方法：如圖4所示，只用一塊電壓表和一個可變電阻 R測量電源電動勢和內(nèi)阻，當(dāng) 改變R的阻值為R、R2時，電壓表示數(shù)為3、U2，由于實驗中不考慮電壓表內(nèi) 阻Rv對結(jié)果的影響，可將Rv等效為電源內(nèi)阻。因此內(nèi)阻測量值為 r真與Rv的并 聯(lián)電阻，即：一r 真 R/ 一 .一測r真十Rv 真即：此法測出的電源內(nèi)阻小

10、于真實值.而當(dāng)外電路斷開時，電源電動勢等效于電壓表的路端電壓，即：EoE真v E真r 真+ R/即：此法測出的電源電動勢小于真實電動勢.證明：不考慮電壓表內(nèi)阻，當(dāng)可變電阻為 R、電壓表示數(shù)為Ui時:當(dāng)電阻為R2、電流U2時:= u2 丘測=U2+ r測，R?由兩式有:（U2 Ui） rr2 r測測UxR2 U2RUS R R）U2R1 UR考慮電壓表內(nèi)阻，當(dāng)可變電阻分別為R,，電壓U1、U2時，由圖7知:Ui丘真=Ui+ r 真,U2丘真=U 2+ 真，,其中D = R RR = R R= R+R；陽=R2+RV由化簡可得:（U2 Ui）（U2 U !）RRRvr真=真 U（ Ri+Rv） U

11、2（ R2 +Rv） UiR2（Ri+Rv） U2RXR2+RV）Ri RvR2RV為方便求解，取r真的倒數(shù)計算，則:1 _ UiF（R+Rv） U2R1（尺+Rv）_ U1& U2R1_ 1r真（U2 Ui） RxRRv（U2 Ui） RR R由式知道:丄_UR5R測（U2 Ui） RRn代入第式有:第10頁共8頁第#頁共8頁111_ + , r測r真rv即：用電壓表和可變電阻測得的電源內(nèi)阻等效于真實電阻現(xiàn)電壓表內(nèi)阻并聯(lián)的總電阻。這個阻值顯然小于真實值 又由化簡可得：第#頁共8頁匸 _UiU2（R并R并）E 直一 真U2R并 URUiU2（R R2） RvU2Ri Ui R2RR2（U2-UJ十R/U2R UR第#頁共8頁第#頁