1、課時作業55拋物線1已知拋物線y24x的焦點為F，準線為l，點P為拋物線上一點，且在第一象限，PAl，垂足為A，|PF|4，則直線AF的傾斜角等于(B)A. BC. D解析：由拋物線y24x知焦點F的坐標為(1,0)，準線l的方程為x1，由拋物線定義可知|PA|PF|4，所以點P的坐標為(3,2)，因此點A的坐標為(1,2)，所以kAF，所以直線AF的傾斜角等于，故選B.2已知拋物線y22px(p0)，點C(4,0)，過拋物線的焦點作垂直于x軸的直線，與拋物線交于A，B兩點，若CAB的面積為24，則以直線AB為準線的拋物線的標準方程是(D)Ay24x By24xCy28x Dy28x解析：因為

2、ABx軸，且AB過點F，所以AB是焦點弦，且|AB|2p，所以SCAB×2p×24，解得p4或12(舍)，所以拋物線方程為y28x，所以直線AB的方程為x2，所以以直線AB為準線的拋物線的標準方程為y28x，故選D.3已知拋物線C：x22py(p0)，若直線y2x被拋物線所截弦長為4，則拋物線C的方程為(C)Ax28y Bx24yCx22y Dx2y解析：由得或即兩交點坐標為(0,0)和(4p,8p)，則4，得p1(舍去負值)，故拋物線C的方程為x22y.4已知拋物線C：y22px(p0)的焦點為F，點M在拋物線C上，且|MO|MF|(O為坐標原點)，則·(A)A

3、 BC. D解析：不妨設M(m，)(m0)，易知拋物線C的焦點F的坐標為，因為|MO|MF|，所以解得m，p2，所以，所以·2.故選A.5如圖，設拋物線y24x的焦點為F，不經過焦點的直線上有三個不同的點A，B，C，其中點A，B在拋物線上，點C在y軸上，則BCF與ACF的面積之比是(A)A. BC. D解析：過A，B點分別作y軸的垂線，垂足分別為M，N，則|AM|AF|1，|BN|BF|1.可知，故選A.6已知拋物線C：y22x，過焦點F且斜率為的直線與C交于P，Q兩點，且P，Q兩點在準線上的射影分別為M，N兩點，則SMFN(B)A8 B2C4 D8解析：法一：不妨設點P在x軸上方，

4、如圖，由拋物線定義可知|PF|PM|，|QF|QN|，設直線PQ的傾斜角為，則tan，所以，由拋物線焦點弦的性質可知，|PF|2，|QF|，所以|MN|PQ|·sin(|PF|QF|)·sin×4，所以SMFN×|MN|×p×4×2，故選B.法二：由題意可得直線PQ：yx，與拋物線方程y22x聯立，得22x，即3x25x0，設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1x2，所以|PQ|x1x2p，所以|MN|PQ|sin4，所以SMNF×4×2，故選B.7如圖是拋物線形拱橋，當水面在l時，拱頂離水面2 m

5、，水面寬4 m當水面寬為2 m時，水位下降了1m.解析：以拋物線的頂點為坐標原點，水平方向為x軸建立平面直角坐標系，設拋物線的標準方程為x22py(p0)，把(2，2)代入方程得p1，即拋物線的標準方程為x22y.將x代入x22y得：y3，又3(2)1，所以水面下降了1 m.8如圖，正方形ABCD和正方形DEFG的邊長分別為a，b(ab)，原點O為AD的中點，拋物線y22px(p0)經過C，F兩點，則1.解析：|OD|，|DE|b，|DC|a，|EF|b，故C，F，又拋物線y22px(p0)經過C、F兩點，從而有即b2a22ab，22·10，又1，1.9已知拋物線C1：yax2(a0

6、)的焦點F也是橢圓C2：1(b0)的一個焦點，點M，P分別為曲線C1，C2上的點，則|MP|MF|的最小值為2.解析：將P代入到1中，可得1，b，c1，拋物線的焦點F為(0,1)，拋物線C1的方程為x24y，準線為直線y1，設點M在準線上的射影為D，根據拋物線的定義可知|MF|MD|，要求|MP|MF|的最小值，即求|MP|MD|的最小值，易知當D，M，P三點共線時，|MP|MD|最小，最小值為1(1)2.10在平面直角坐標系xOy中，拋物線y26x的焦點為F，準線為l，P為拋物線上一點，PAl，A為垂足若直線AF的斜率k，則線段PF的長為6.解析：由拋物線方程為y26x，所以焦點坐標F，準線

7、方程為x，因為直線AF的斜率為，所以直線AF的方程為y，畫圖象如圖當x時，y3，所以A，因為PAl，A為垂足，所以點P的縱坐標為3，可得點P的坐標為，根據拋物線的定義可知|PF|PA|6.11已知拋物線y22px(p0)的焦點為F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是過F的直線與拋物線的兩個交點，求證：(1)y1y2p2，x1x2；(2)為定值；(3)以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切證明：(1)由已知得拋物線焦點坐標為.由題意可設直線方程為xmy，代入y22px，得y22p，即y22pmyp20.(*)因為在拋物線內部，所以直線與拋物線必有兩交點則y1，y2是方程(*)的兩個實數根，所以y1

8、y2p2.因為y2px1，y2px2，所以yy4p2x1x2，所以x1x2.(2).因為x1x2，x1x2|AB|p，代入上式，得(定值)(3)設AB的中點為M(x0，y0)，如圖所示，分別過A，B作準線l的垂線，垂足為C，D，過M作準線l的垂線，垂足為N，則|MN|(|AC|BD|)(|AF|BF|)|AB|.所以以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切12已知直線yk(x2)與拋物線：y2x相交于A，B兩點，M是線段AB的中點，過M作y軸的垂線交于點N.(1)證明：拋物線在點N處的切線與直線AB平行；(2)是否存在實數k使·0？若存在，求k的值；若不存在，請說明理由解：(1)證明：由消

9、去y并整理，得2k2x2(8k21)x8k20.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x24，xM，yMk(xM2)k.由題設條件可知，yNyM，xN2y，N.設拋物線在點N處的切線l的方程為ym，將x2y2代入上式，得2my2y0.直線l與拋物線相切，14×2m×0，mk，即lAB.(2)假設存在實數k，使·0，則NANB.M是AB的中點，|MN|AB|.由(1)，得|AB|x1x2|···.MNy軸，|MN|xMxN|.·，解得k±.故存在k±，使得·0.13已知拋物線E：y

10、22px(p0)的焦點為F，過F且斜率為1的直線交E于A，B兩點，線段AB的中點為M，其垂直平分線交x軸于點C，MNy軸于點N.若四邊形CMNF的面積等于7，則拋物線E的方程為(C)Ay2x By22xCy24x Dy28x解析：由題意，得F，直線AB的方程為yx，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，聯立yx和y22px得，y22pyp20，則y1y22p，所以y0p，故N(0，p)，又因為點M在直線AB上，所以x0，即M，因為MCAB，所以kAB·kMC1，故kMC1，從而直線MC的方程為yxp，令y0，得xp，故C，四邊形CMNF的面積可以看作直角梯形CMNO

11、與直角三角形NOF的面積之差，即S四邊形CMNFS梯形CMNOSNOF·pp·p27，p24，又p0，p2，故拋物線E的方程為y24x，故選C.14拋物線y22px(p0)的焦點為F，已知點A，B為拋物線上的兩個動點，且滿足AFB120°，過AB的中點M作拋物線準線的垂線MN，垂足為N，則的最大值為(A)A. B1C. D2解析：過A，B分別作拋物線準線的垂線，垂足分別為A1，B1，如圖，由題意知|MN|(|AA1|BB1|)(|AF|BF|)，在AFB中，|AB|2|AF|2|BF|22|AF|BF|·cos120°|AF|2|BF|2|AF

12、|BF|，2·×，當且僅當|AF|BF|時取等號，的最大值為.15設直線l與拋物線y24x相交于A，B兩點，與圓(x5)2y2r2(r0)相切于點M，且M為線段AB的中點若這樣的直線l恰有4條，則r的取值范圍是(2,4).解析：如圖，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，則兩式相減得，(y1y2)(y1y2)4(x1x2)當l的斜率k不存在時，符合條件的直線l必有兩條當k存在時，x1x2，則有·2，又y1y22y0，所以y0k2.由CMAB，得k·1，即y0k5x0，因此25x0，x03，即M必在直線x3上將x3代入y24x，得y212，則有2y02.因為點M在圓上，所以(x05)2yr2，故r2y412416.又y44(為保證有4條，在k存在時，y00)，所以4r216，即2r4.16已知拋物線C：x22py(p0)和定點M(0,1)，設過點M的動直線交拋物線C于A，B兩點，拋物線C在A，B處的切線交點為N.(1)若N在以AB為直徑的圓上，求p的值；(2)若ABN面積的最小值為4，求拋物線C的方程解：(1)可設AB：ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，將AB的方程代入拋物線C，得x2