1、目錄 上頁 下頁 返回 結束 第九章 第五節一、一個方程所確定的隱函數一、一個方程所確定的隱函數 及其導數及其導數 二、方程組所確定的隱函數組二、方程組所確定的隱函數組 及其導數及其導數隱函數的求導方法 1) 方程在什么條件下才能確定隱函數 .例如, 方程02CyxC 0 時, 不能確定隱函數2) 方程能確定隱函數時, 研究其連續性,可微性及求導方法問題.本節討論本節討論:目錄 上頁 下頁 返回 結束 一、一個方程所確定的隱函數及其導數一、一個方程所確定的隱函數及其導數定理定理1.1. 設函數),(00yxP),(yxF;0),(00yxF則方程00),(xyxF在點單值連續函數 y = f

2、(x) , )(00 xfy 并有連續yxFFxydd(隱函數求導公式)定理證明從略，僅就求導公式推導如下： 具有連續的偏導數;的某鄰域內某鄰域內可唯一確定一個在點的某一鄰域內滿足0),(00yxFy滿足條件導數目錄 上頁 下頁 返回 結束 0)(,(xfxF兩邊對 x 求導0ddxyyFxFyxFFxydd0yF,0),()(所確定的隱函數為方程設yxFxfy在),(00yx的某鄰域內則目錄 上頁 下頁 返回 結束 若F( x , y ) 的二階偏導數也都連續,22ddxy2yxxyyxxFFFFF3222yxyyyxyxyxxFFFFFFFFyxFFxydd)(yxFFy)(2yxyxyy

3、yyxFFFFFFF二階導數 :)(yxFFxxyxxydd則還可求隱函數的 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例1. 驗證方程01esinyxyx在點(0,0)某鄰域可確定一個單值可導隱函數, )(xfy 0dd,0dd22xxyxxy解解: 令, 1esin),(yxyyxFx;0)0 , 0(F,eyFxx連續 ;由 定理1 可知,1)0 , 0(yF,0, )(xfy 導的隱函數 則xyFy cos在 x = 0 的某鄰域內方程存在單值可且并求目錄 上頁 下頁 返回 結束 ,eyFxxxyFy cos0ddxxy0 xFFyx 1xy cosyxe0, 0yx0dd22xxy)cose(

4、ddxyyxx3100yyx)e(yx)(cosxy )(eyx) 1sin(yy1, 0, 0yyx01sin),(yxeyyxFx2)cos( xy 目錄 上頁 下頁 返回 結束 0 xy30dd22xxy)(, 01esinxyyyxyxyycos兩邊對 x 求導1兩邊再對 x 求導yyyy cos)(sin2令 x = 0 , 注意此時1,0yy0e yxyyxxey0 yx)0 , 0(cosexyyx導數的另一求法導數的另一求法 利用隱函數求導目錄 上頁 下頁 返回 結束 定理定理2 . 若函數 ),(000zyxP),(zyxFzyzxFFyzFFxz,的某鄰域內具有連續偏導數連

5、續偏導數 ;則方程0),(zyxF在點),(00yx并有連續偏導數, ),(000yxfz 定一個單值連續函數 z = f (x , y) , 定理證明從略, 僅就求導公式推導如下:滿足;0),(000zyxF,0),(000zyxFz 在點滿足:某一鄰域內可唯一確目錄 上頁 下頁 返回 結束 0),(,(yxfyxF兩邊對 x 求偏導xFzxFFxzzyFFyz同樣可得,0),(),(所確定的隱函數是方程設yxFyxfz則zFxz00),(000zFzyx的某鄰域內在目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例2. 設,04222zzyx解法解法1 利用隱函數求導0422xzxzzxzxz2 22zx

6、xz222)( 2xz222xzz0422xz2)(1xz322)2()2(zxz.22xz求再對 x 求導目錄 上頁 下頁 返回 結束 解法解法2 利用公式設zzyxzyxF4),(222則,2xFxzxFFxz兩邊對 x 求偏導)2(22zxxxz2)2()2(zxzxz322)2()2(zxz2zxzx242 zFz目錄 上頁 下頁 返回 結束 zxFFxz xz例例3. 設F( x , y)具有連續偏導數, 0),(zyzxF.dz求解法解法1 利用偏導數公式.是由方程設),(yxfz 0),(zyzxF yz212FyFxFz211FyFxFzyyzxxzzdddzF11 1F)(2

7、zx 2F)(2zyzF12 確定的隱函數,)dd(2121yFxFFyFxz則)()(2221zyzxFF 已知方程故目錄 上頁 下頁 返回 結束 對方程兩邊求微分: 1F)dd(d2121yFxFFyFxzz)dd(2zzxxzzzFyFxd221 zyFxFdd21解法解法2 微分法.0),(zyzxF)dd(2zzyyz)(dzx 2F0)(dzy 1F 2F0目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、方程組所確定的隱函數組及其導數二、方程組所確定的隱函數組及其導數隱函數存在定理還可以推廣到方程組的情形.0),(0),(vuyxGvuyxF),(),(yxvvyxuu由 F、G 的偏導數組成的

8、行列式vuvuGGFFvuGFJ),(),(稱為F、G 的雅可比雅可比 行列式行列式.以兩個方程確定兩個隱函數的情況為例 , 即雅可比 目錄 上頁 下頁 返回 結束 定理定理3.3.,0),(0000vuyxF的某一鄰域內具有連續偏設函數),(0000vuyxP),(, ),(vuyxGvuyxF則方程組0),(,0),(vuyxGvuyxF),(00yx在點的單值連續函數單值連續函數),(, ),(yxvvyxuu且有偏導數公式 : 在點的某一鄰域內可唯一唯一確定一組滿足條件滿足:,0),(),(PvuGFPJ;0),(0000vuyxG導數；, ),(000yxuu ),(000yxvv

9、目錄 上頁 下頁 返回 結束 vuvuGGFFvuGFJ),(),(定理證明略.僅推導偏導數公式如下：),(),(1vxGFJxu),(),(1vyGFJyu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyvvvvuvuGFGGFF1vvvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1(P85)xxGFyyGFxxGFyyGF目錄 上頁 下頁 返回 結束 0),(),(,(0),(),(,(yxvyxuyxGyxvyxuyxF,的線性方程組這是關于xvxu0),(0),(vuyxGvuyxF有隱函數組則兩邊對 x 求導得,),(),(yxvvyxuu設方程組,0

10、vuvuGGFFJ在點P 的某鄰域內xuxvxuxvxFuFvF0 xGuGvG0解的公式 故得系數行列式xuvuvuGGFFvxvxGGFF目錄 上頁 下頁 返回 結束 xuxvxuxvxFuFvF0 xGuGvG0同樣可得),(),(1vyGFJyu),(),(1vxGFJxu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyv目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例4. 設, 1,0vxuyvyux.,yvxvyuxu解解:xyyxJJxu122yxvxuyyu方程組兩邊對 x 求導，并移項得求vxvxxuyxvyu22yxvyuxvyuxJxv122yxuyvx練習練習: 求yvyu,u

11、xvyxux022yx22yxvyuxyv答案答案:由題設故有目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例5.5.設函數在點(u,v) 的某一),(, ),(vuyyvuxx0),(),(vuyx1) 證明函數組),(),(vuyyvuxx( x, y) 的某一鄰域內. ),(, ),(yxvvyxuu2) 求),(, ),(yxvvyxuu解解: 1) 令0),(),(vuxxvuyxF0),(),(vuyyvuyxG對 x , y 的偏導數.在與點 (u, v) 對應的點鄰域內有連續的偏導數,且 唯一確定一組單值、連續且具有連續偏導數的反函數目錄 上頁 下頁 返回 結束 0),(),(vuxxvuy

12、xF0),(),(vuyyvuyxG),(),(),(),(yxvyxuyyyxvyxuxx式兩邊對 x 求導, 得uy0 xvxu1xuxvuxvxvy則有),(),(vuGFJ,0),(),(vuyx由定理 3 可知結論 1) 成立.2) 求反函數的偏導數. 目錄 上頁 下頁 返回 結束 uy0 xvxu1xuxvuxvxvy, 0J注意vyvxJ011xuxv,1vyJ uyJ 1011uyuxJ從方程組解得同理, 式兩邊對 y 求導, 可得,1vxJyuuxJyv1目錄 上頁 下頁 返回 結束 xuxv例例5的應用的應用: 計算極坐標變換sin,cosryrx的反變換的導數 .),()

13、,(ryxJxrx同樣有22yxyyr22yxxy所以由于vyJ 1uyJ 1cos1rrsin1rcossinsincosrrryJ1cos22yxxryJ 122yxyrruv目錄 上頁 下頁 返回 結束 內容小結內容小結1. 隱函數( 組) 存在定理2. 隱函數 ( 組) 求導方法方法1. 利用復合函數求導法則直接計算 ;方法2. 利用微分形式不變性 ;方法3. 代公式 .思考與練習思考與練習設, ),(zyxzyxfz求.,yxzxxz目錄 上頁 下頁 返回 結束 zx 提示提示:),(zyxzyxfzxz1f xz 12f xzyxzyxz21fzyf211fyxf 11f 1zx2

14、f yxzxzy 211fyxf21fzyfyx 01f 1yx2f zxyxzy 21fzxf21fzyf目錄 上頁 下頁 返回 結束 ),(zyxzyxfz解法2. 利用全微分形式不變性同時求出各偏導數.,yxzd1f zyxddd2f zyxyzxxzyddd:dx解出 d x21fzyfzfyxfd121yfzxfd21作業作業 P87 3 , 6， 7 , *9 , 10(1); (3)，11.zx第六節 由d y, d z 的系數即可得目錄 上頁 下頁 返回 結束 )()(xzzxyy及,2e yxyx備用題備用題.ddxu求分別由下列兩式確定 :又函數),(zyxfu 有連續的一

15、階偏導數 ,1. 設解解: 兩個隱函數方程兩邊對 x 求導, 得1ddfxuuzyxx x0)()(eyxyyxyyxxezxzx )sin()1 (z,xyy)sin()(e1zxzxzx,dsine0tttzxx(2001考研)解得因此2fxy3)sin()(e1fzxzxx目錄 上頁 下頁 返回 結束 zxFyFy0zFz fx)1 (y2. 設)(, )(xzzxyy是由方程)(yxfxz和0),(zyxF所確定的函數 , 求.ddxz解法解法1 分別在各方程兩端對 x 求導, 得ffxfzyfx xzyFzFyF)0( zyFfxFzyxyFfxFFfxFfxf )(xzdd 1 zyFFfxxyFFfxffx(1999考研)目錄 上頁 下頁 返回 結束 解法解法2 微分法.0),(),(zyxFyxfxz對各方程兩邊分別求微分:化簡得消去yd.ddxzyF d20d3zFyfxd 0d z)d(dddyxfxxfz 0ddd321zFyFxFxfxfd)(xF d1可得二元線性代數方程組解的公式2221