1、波利亞數(shù)學(xué)教育思想簡介波利亞(George Polya)1881年12月13日出生于布達(dá)佩斯，后移居美國，1985年9月7日去逝. 上世紀(jì)杰出的數(shù)學(xué)家和偉大的數(shù)學(xué)教育家 .波利亞一生著有數(shù)學(xué)教育論文和專著約300 篇(部)，其中最為著名的是怎樣解題、 數(shù)學(xué)與合情推理、數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)等，這些著作是他數(shù)學(xué)研究、數(shù)學(xué)史研究及教育研究與實踐的結(jié)晶 ，影響之深遠(yuǎn) ，為 20 世紀(jì)所罕見 .為此，他被譽(yù)為上世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)教育思想家.一、波利亞的解題教學(xué)思想波利亞認(rèn)為 “學(xué)校的目的應(yīng)該是發(fā)展學(xué)生本身的內(nèi)蘊(yùn)能力，而不僅僅是傳授知識 ”在.數(shù)學(xué)學(xué)科中，能力指的是什么 ?波利亞說 “這:就是解決問題的才智 我們這里

2、所指的問題 ，不僅僅 是尋常的 ，它們還要求人們具有某種程度的獨立見解、判斷力、能動性和創(chuàng)造精神. ”他發(fā)現(xiàn) ，在日常解題和攻克難題而獲得數(shù)學(xué)上的重大發(fā)現(xiàn)之間，并沒有不可逾越的鴻溝.要想有重大的發(fā)現(xiàn) ，就必須重視平時的解題 .因此 ，他說“中,學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)就是加強(qiáng)解題的訓(xùn)練”通,過研究解題方法看到 “處于發(fā)現(xiàn)過程中的數(shù)學(xué) ”他.把解題作為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)才能和教會他們 思考的一種手段與途徑 .這種思想得到了國際數(shù)學(xué)教育界的廣泛贊同.波利亞的解題訓(xùn)練不同于 “題海戰(zhàn)術(shù) ”他,反對讓學(xué)生做大量的題 ，因為大量的 “例行運算 ”會 “扼殺學(xué)生的興趣 ，妨礙他們的智力發(fā)展 ”因.此 ，他主張與其窮

3、于應(yīng)付繁瑣的教學(xué)內(nèi)容和過量 的題目 ，還不如選擇一個有意義但又不太復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生深入發(fā)掘題目的各個側(cè)面，使學(xué)生通過這道題目 ，就如同通過一道大門而進(jìn)入一個嶄新的天地.比如， “證明根號 2是無理數(shù) ”和“證明素數(shù)有無限多個 ”就是這樣的好題目 ，前者通向?qū)崝?shù)的精確概念 ，后者是通向數(shù)論的門 戶，打開數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)大門的金鑰匙往往就在這類好題目之中.波利亞的解題思想集中反映在他的怎樣解題一書中，該書的中心思想是解題過程中怎樣誘發(fā)靈感 .書的一開始就是一張 “怎樣解題表 ”在,表中收集了一些典型的問題與建議 ，其實質(zhì)是試圖誘發(fā)靈感的 “智力活動表 ”正.如波利亞在書中所寫的 “我們的表實際上是一個

4、在解題中典型有用的智力活動表 ”“表,中的問題和建議并不直接提到好念頭,但實際上所有的問題和建議都與它有關(guān) ”.“怎樣解題表 ”包含四部分內(nèi)容 ,即:弄清問題 ;擬訂計劃 ;實現(xiàn)計劃 ;回顧 “弄.清問題是為好念頭 的出現(xiàn)作準(zhǔn)備 ; 擬訂計劃是試圖引發(fā)它 ;在引發(fā)之后 ,我們實現(xiàn)它 ;回顧此過程和求解的結(jié)果 ,是 試圖更好地利用它 . ”波利亞所講的好念頭 ,就是指靈感 .怎樣解題 一書中有一部分內(nèi)容叫 “探索法小詞典 ”從,篇幅上看 ,它占全書的 4/5. 探“索法 小詞典 ”的主要內(nèi)容就是配合 “怎樣解題表 ”對,解題過程中典型有用的智力活動作進(jìn)一步解 釋.全書的字里行間 ,處處給人一種強(qiáng)

5、烈的感覺 :波利亞強(qiáng)調(diào)解題訓(xùn)練的目的是引導(dǎo)學(xué)生開展 智力活動 ,提高湖數(shù)學(xué)才能 .從教育心理學(xué)角度看 “怎,樣解題表 ”的確是十分可取的 .利用這張表 ,教師可行之有效地指導(dǎo) 學(xué)生自學(xué) ,發(fā)展學(xué)生獨立思考和進(jìn)行創(chuàng)造性活動的能力.在波利亞看來 ,解題過程就是不斷變更問題的過程 .事實上 , “怎樣解題表 ”中許多問題和建議都是 “直接以變化問題為目的的 ”如,: 你知道與它有關(guān)的問題嗎 ?是否見過形式稍微不同的題目 ?你能改述這道題目嗎 ?你能不能用 不同的方法重新敘述它 ?你能不能想出一個更容易的有關(guān)問題?一個更普遍的題 ?一個更特殊的題 ?一個類似的題 ?你能否解決這道題的一部分 ?你能不能

6、由已知數(shù)據(jù)導(dǎo)出某些有用的東西 能不能想出適于確定未知數(shù)的其他數(shù)據(jù)?你能改變未知數(shù) ,或已知數(shù) ,必要時改變兩者 ,使新未知數(shù)和新的已知數(shù)更加互相接近嗎 ?波利亞說 “如:果不 , 變化問題 ?,我們幾乎不能有什么進(jìn)展 “.變”更問題 ”是怎樣解題一書的 主旋律. “題海”是客觀存在的 ,我們應(yīng)研究對付 “題海”的戰(zhàn)術(shù).波利亞的“表”切實可行 ,給出了 探索解題途徑的可操作機(jī)制 ,被人們公認(rèn)為 “指導(dǎo)學(xué)生在題海游泳 ”的 “行動綱領(lǐng) ”著.名的現(xiàn)代 數(shù)學(xué)家瓦爾登早就說過 “每,個大學(xué)生 ,每個學(xué)者 ,特別是每個教師都應(yīng)讀怎樣解題這本引 人入勝的書 ”.二、波利亞的合情推理理論通常 ,人們在數(shù)學(xué)課

7、本中看到的數(shù)學(xué)是“一門嚴(yán)格的演繹科學(xué) ”其.實 ,這僅是數(shù)學(xué)的一個側(cè)面 ,是已完成的數(shù)學(xué) .波利亞大力宣揚數(shù)學(xué)的另一個側(cè)面 ,那就是創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué) ,它像 “一門實 驗性的歸納科學(xué) ”波.利亞說 ,數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過程與任何其他知識的創(chuàng)造過程一樣,在證明一個定理之前 ,先得猜想、發(fā)現(xiàn)出這個定理的內(nèi)容 ,在完全作出詳細(xì)證明之前 ,還得不斷檢驗、完善、 修改所提出的猜想 ,還得推測證明的思路 .在這一系列的工作中 ,需要充分運用的不是論證推理,而是合情推理 .論證推理以形式邏輯為依據(jù) ,每一步推理都是可靠的 ,因而可以用來肯定數(shù) 學(xué)知識 ,建立嚴(yán)格的數(shù)學(xué)體系 .合情推理則只是一種合乎情理的、 好像為真

8、的推理 .例如 ,律師的 案情推理 ,經(jīng)濟(jì)學(xué)家的統(tǒng)計推理 ,物理學(xué)家的實驗歸納推理等 ,它的結(jié)論帶有或然性 .合情推理 是冒風(fēng)險的 ,它是創(chuàng)造性工作所賴以進(jìn)行的那種推理.合情推理與論證推理兩者互相補(bǔ)充,缺一不可 .波利亞的 數(shù)學(xué)與合情推理 一書通過歷史上一些有名的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的例子分析說明了合情推 理的特征和運用 ,首次建立了合情推理模式 ,開創(chuàng)性地用概率演算討論了合情推理模式的合理 性,試圖使合情推理有定量化的描述 ,還結(jié)合中學(xué)教學(xué)實際呼吁 “要:教學(xué)生猜想 ,要教合情推 理”并,提出了教學(xué)建議 .這樣就在笛卡爾、歐拉、馬赫、波爾察諾、龐加萊、阿達(dá)瑪?shù)葦?shù)學(xué)大 師的基礎(chǔ)上前進(jìn)了一步 ,他無愧于當(dāng)代

9、合情推理的領(lǐng)頭人 .數(shù)學(xué)中的合情推理是多種多樣的 , 而歸納和類比是兩種用途最廣的特殊合情推理.拉普拉斯曾說過 “甚:至在數(shù)學(xué)里 ,發(fā)現(xiàn)真理的工具也是歸納與類比 . ”因而波利亞對這兩種合情推理給予了特別重視,并注意到更廣泛的合情推理 .他不僅討論了合情推理的特征、作用、范例、模式,還指出了其中的教學(xué)意義和教學(xué)方法 .波利亞反復(fù)呼吁 :只要我們能承認(rèn)數(shù)學(xué)創(chuàng)造過程中需要合情推理、需要猜想的話 ,數(shù)學(xué)教學(xué)中就必須有教猜想的地位 ,必須為發(fā)明作準(zhǔn)備 ,或至少給一點發(fā)明的嘗試 .對于一個想以數(shù) 學(xué)作為終身職業(yè)的學(xué)生來說 ,為了在數(shù)學(xué)上取得真正的成就 ,就得掌握合情推理 ;對于一般學(xué) 生來說 ,他也必須

10、學(xué)習(xí)和體驗合情推理 ,這是他未來生活的需要 .他親自講課的教學(xué)片 “讓我們 教猜想 ”榮獲 1968年美國教育電影圖書協(xié)會十周年電影節(jié)的最高獎 藍(lán)色勛帶 .1972 年, 他到英國參加第二屆國際數(shù)學(xué)教育會議時,又為 BBC 開放大學(xué)錄制了第二部電影教學(xué)片 “猜想與證明 ”并,于 1976 年與 1979 年發(fā)表了 “猜想與證明 ”和 “更多的猜想與證明 ”兩篇論文 .怎樣教猜想 ?怎樣教合情推理 ?沒有十拿九穩(wěn)的教學(xué)方法 .波利亞說 ,教學(xué)中最重要的就是選取 一些典型教學(xué)結(jié)論的創(chuàng)造過程 ,分析其發(fā)現(xiàn)動機(jī)和合情推理 ,然后再讓學(xué)生模仿范例去獨立實 踐,在實踐中發(fā)展合情推理能力 .教師要選擇典型的

11、問題 ,創(chuàng)設(shè)情境 ,讓學(xué)生饒有興趣地自覺去 試驗、觀察 ,得到猜想 . “學(xué)生自己提出了猜想 ,也就會有追求證明的渴望 ,因而此時的數(shù)學(xué)教學(xué) 最富有吸引力 ,切莫錯過時機(jī) . ”波利亞指出 ,要充分發(fā)揮班級教學(xué)的優(yōu)勢 ,鼓勵學(xué)生之間互相討 論和啟發(fā) ,教師只有在學(xué)生受阻的時候才給些方向性的揭示,不能硬把他們趕上事先預(yù)備好的道路 ,這樣學(xué)生才能體驗到猜想、發(fā)現(xiàn)的樂趣,才能真正掌握合情推理三、波利亞論教學(xué)原則及教學(xué)藝術(shù)有效的教學(xué)手段應(yīng)遵循一些基本的原則,而這些原則應(yīng)當(dāng)建立在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)原則的基礎(chǔ)上,為此 ,波利亞提出了下面三條教學(xué)原則 .1. 主動學(xué)習(xí)原則 .學(xué)習(xí)應(yīng)該是積極主動的 ,不能只是被動或被授

12、式的 ,不經(jīng)過自己的腦子活動就 很難學(xué)到什么新東西 ,就是說學(xué)東西的最好途徑是親自去發(fā)現(xiàn)它.這樣 ,會使自己體驗到思考的緊張和發(fā)現(xiàn)的喜悅 ,有利于養(yǎng)成正確的思維習(xí)慣 .因此 ,教師必須讓學(xué)生主動學(xué)習(xí) ,讓思想在 學(xué)生的頭腦里產(chǎn)生 ,教師只起助產(chǎn)的作用 .教學(xué)應(yīng)采用蘇格拉底回答法 :向?qū)W生提出問題而不 是講授全部現(xiàn)成結(jié)論 ,對學(xué)生的錯誤不是直接糾正 ,而是用另外的補(bǔ)充問題來幫助暴露矛盾.2. 最佳動機(jī)原則 .如果學(xué)生沒有行動的動機(jī) ,就不會去行動 .而學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最佳動機(jī)是對數(shù)學(xué)知 識的內(nèi)在興趣 ,最佳獎賞應(yīng)該是聚精會神的腦力活動所帶來的快樂.作為教師 ,你的職責(zé)是激發(fā)學(xué)生的最佳動機(jī) ,使學(xué)生信服

13、數(shù)學(xué)是有趣的 ,相信所討論的問題值得花一番功夫.為了使學(xué)生產(chǎn)生最佳動機(jī) ,解題教學(xué)要格外重視引入問題時,盡量詼諧有趣 .在做題之前 ,可以讓學(xué)生猜猜該題的結(jié)果 ,或者部分結(jié)果 ,旨在激發(fā)興趣 ,培養(yǎng)探索習(xí)慣 .3. 循序階段原則 “一.切人類知識以直觀開始 ,由直觀進(jìn)至概念 ,而終于理念 ”波,利亞將學(xué)習(xí)過程區(qū)分為三個階段：探索階段行動和感知；闡明階段引用詞語，提高到概念水平;吸收階段消化新知識，吸取到自己的知識系統(tǒng)中教學(xué)要尊重學(xué)習(xí)規(guī)律 ，要遵循循序階段性 ，要把探索階段置于數(shù)學(xué)語言表達(dá) （如概念形成 ）之前 ， 而又要使新學(xué)知識最終融匯于學(xué)生的整體智慧之中.新知識的出現(xiàn)不能從天而降 ，應(yīng)密切

14、聯(lián)系學(xué)生的現(xiàn)有知識、日常經(jīng)驗、好奇心等，給學(xué)生 “探索階段 ”學(xué);了新知識之后 ，還要把新知識用于解決新問題或更簡單地解決老問題，建立新舊知識的聯(lián)系 ，通過新學(xué)知識的吸收 ，對原有知識的結(jié)構(gòu)看得更清晰 ，進(jìn)一步開闊眼界 .波利亞說 ，遺憾的是 ，現(xiàn)在的中學(xué)教學(xué)里嚴(yán)重存在忽略 探索階段和吸收階段而單純斷取概念水平階段的現(xiàn)象 .以上三個原則實際上也是課程設(shè)置的原則，比如 ：教材內(nèi)容的選取和引入 ，課題分析和順序安排，語言敘述和習(xí)題配備等問題也都要以學(xué)和教的原則為依據(jù) .有效的教學(xué) ，除了要遵循學(xué)與教的原則外 ，還必須講究教學(xué)藝術(shù)波利亞明確表示 ,教學(xué)是一門藝術(shù) .教學(xué)與舞臺藝術(shù)有許多共同之處,有時

15、 ,一些學(xué)生從你的教態(tài)上學(xué)到的東西可能比你要講的東西還多一些,為此 ,你應(yīng)該略作表演 .教學(xué)與音樂創(chuàng)作也有共同點 ,數(shù)學(xué)教學(xué)不妨吸取音樂創(chuàng)作中預(yù)示、展開、重復(fù)、輪奏、變奏等手法.教學(xué)有時可能接近詩歌 .波利亞說 ,如果你在課堂上情緒高漲 ,感到自己詩興欲發(fā) ,那么不必約束自己 ;偶爾想 說幾句似乎難登大雅的話 ,也不必顧慮重重 “為.了表達(dá)真理 ,我們不能蔑視任何手段 ”追,求教 學(xué)藝術(shù)亦應(yīng)如此 .四、波利亞論數(shù)學(xué)教師的思和行波利亞把數(shù)學(xué)教師的素質(zhì)和工作要點歸結(jié)為以下十條 .1. 教師首要的金科玉律是 :自己要對數(shù)學(xué)有濃厚的興趣 .如果教師厭煩數(shù)學(xué) ,那學(xué)生也肯定會厭 煩數(shù)學(xué) .因此 ,如果你

16、對數(shù)學(xué)不感興趣 ,你就不要去教它 ,因為你的課不可能受學(xué)生歡迎 .2. 熟悉自己的科目 數(shù)學(xué)科學(xué) .如果教師對所教的數(shù)學(xué)內(nèi)容一知半解,那么即使有興趣 ,有教學(xué)方法及其他手段 ,也難以把課教好 ,你不可能一清二楚地把數(shù)學(xué)教給學(xué)生.3. 應(yīng)該從自身學(xué)習(xí)的體驗中以及對學(xué)生學(xué)習(xí)過程的觀察中熟知學(xué)習(xí)過程,懂得學(xué)習(xí)原則 ,明確認(rèn)識到 :學(xué)習(xí)任何東西的最佳途徑是親自獨立地去發(fā)現(xiàn)其中的奧秘.4. 努力觀察學(xué)生們的面部表情 ,覺察他們的期望和困難 ,設(shè)身處地把自己當(dāng)作學(xué)生 .教學(xué)要想在 學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中收到理想的效果 ,就必須建立在學(xué)生的知識背景、思想觀點以及興趣愛好 等基礎(chǔ)之上 .波利亞說 ,以上四條是搞好數(shù)學(xué)教學(xué)的精髓.5. 不僅要傳授知識 ,還要教技能技巧 ,培養(yǎng)思維方式以及得法的工作習(xí)慣 .6. 讓學(xué)生學(xué)會猜想問題 .7. 讓學(xué)生學(xué)會證明問題 .嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明是數(shù)學(xué)的標(biāo)志 ,也是數(shù)學(xué)對一般文化修養(yǎng)的貢獻(xiàn)中最精華 的部分 .倘若中學(xué)畢業(yè)生從未有過數(shù)學(xué)證明的印象,那他便少了一種基本的思維經(jīng)驗 .但要注意,強(qiáng)調(diào)論證推理教學(xué) ,也要強(qiáng)調(diào)直覺、 猜想的教學(xué) ,這是獲得數(shù)學(xué)真理的手段 ,而論證則是為了 消除懷疑 .于是