1、2. 3 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度第二章第二章 隨機(jī)變量及其概率分布隨機(jī)變量及其概率分布一一、定義、定義2.8: :使對(duì)任意實(shí)數(shù)使對(duì)任意實(shí)數(shù) a, b (ab) , 有有Pa Xb則稱(chēng)則稱(chēng)X是是連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量, f (x) 稱(chēng)為稱(chēng)為概率密度函數(shù)概率密度函數(shù),baf x dx=( ) ,abxf (x)O簡(jiǎn)稱(chēng)簡(jiǎn)稱(chēng)概率密度函數(shù)概率密度函數(shù), 下圖為其幾何解釋下圖為其幾何解釋 A陰影面積陰影面積A = PaXb二、密度函數(shù)性質(zhì)二、密度函數(shù)性質(zhì):f x dx(2) ( )= 1 . 設(shè)設(shè)X是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量, , 若存在一個(gè)非負(fù)可積函數(shù)若存在一個(gè)非負(fù)可積函數(shù)

2、 f (x) , , (1) f (x)0 是可積的是可積的 ;注注 (1)若一個(gè)函數(shù)滿(mǎn)足上述兩條性質(zhì)，則它一定是某若一個(gè)函數(shù)滿(mǎn)足上述兩條性質(zhì)，則它一定是某個(gè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)個(gè)隨機(jī)變量的密度函數(shù) . .(2)連續(xù)性隨機(jī)變量與離散型隨機(jī)變量的一個(gè)重要連續(xù)性隨機(jī)變量與離散型隨機(jī)變量的一個(gè)重要區(qū)別是區(qū)別是: :連續(xù)型隨機(jī)變量取連續(xù)型隨機(jī)變量取單個(gè)值的概率單個(gè)值的概率為為0 ,于是有于是有 P a X b = P aX b =P a X b = P aXb baf x dx=( )三、定理三、定理2.4:若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X是連續(xù)型的是連續(xù)型的, , 其密度函數(shù)為其密度函數(shù)為 f (x) , ,

3、則有則有 GP XGf x dx=( ),其中其中 G 表示一個(gè)區(qū)域表示一個(gè)區(qū)域 , , 且設(shè)且設(shè) f (x) 在在G上可積上可積 .xf (x)O陰影面積為陰影面積為F(x)x四、連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)：四、連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)：F(x) = P X x xf t dt x=( ) , 對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量 X ，其密度，其密度函數(shù)為函數(shù)為 f (x) ,則則 X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為注注 (1)F(x)與密度函數(shù)與密度函數(shù) f (x) 關(guān)系的幾何解釋如圖所示關(guān)系的幾何解釋如圖所示:(2)由積分上限函數(shù)的由積分上限函數(shù)的性質(zhì)可知性質(zhì)可知dF xf xdx( ) =(

4、 ) .例例2.9設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X X 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為(1) 確定常數(shù)確定常數(shù) k ; f (x) =kx , 0 x 33 x 4 0 , 其它其它(2) 求求 X 的分布函數(shù)的分布函數(shù) F(x) ;x2 ,2 (3) 求求 P 1 X 7/2 . F (x) =1 , x 40 x 3 0 , x 0(2) X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為xt dt0,6f x dx 由由 解解得得 (1) ( )=1 , xkx dx + dx k 解解得得34031(2)=1 , =26 3 x 4xxx dx +dx303(2) ,62 即即 F (x) =1 , x 40 x 3 0

5、 , x 0 x2,123 x 4xx23 + 2,4PFF 7741(3) 1 X =( )(1) =2248 axbf xba 其其它它1,( ) =0, 五、幾種常見(jiàn)的連續(xù)型隨機(jī)變量五、幾種常見(jiàn)的連續(xù)型隨機(jī)變量:(1) 定義定義2.9:1、均勻分布、均勻分布:若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為則稱(chēng)隨機(jī)變量則稱(chēng)隨機(jī)變量 X 在區(qū)間在區(qū)間 a , , b 上服從均勻分布上服從均勻分布, ,記為記為 X U a , , b , ,其中其中 a , , b 為參數(shù)為參數(shù), , a b .ddccdcf x dxdxbaba1( )= 注注 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量 X 服從服從 a

6、, , b 上的均勻分布上的均勻分布, , 則則 X 落入落入 a , , b 的任何子區(qū)間的概率僅與該區(qū)間的長(zhǎng)的任何子區(qū)間的概率僅與該區(qū)間的長(zhǎng)度有關(guān)度有關(guān), , 而與子區(qū)間的位置無(wú)關(guān)而與子區(qū)間的位置無(wú)關(guān), , 這是均勻分布的這是均勻分布的一個(gè)特點(diǎn)一個(gè)特點(diǎn) . . c d a b , , , , 事事實(shí)實(shí)上上 對(duì)對(duì)于于有有, xax b 0 , ( ) =,0, (2) 均勻分布的分布函數(shù)均勻分布的分布函數(shù):例例2.10設(shè)電阻設(shè)電阻(單位單位 )值值R 是一個(gè)隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)變量, , 均勻分布均勻分布在在9001100 . 求求R 的概率密度函數(shù)及的概率密度函數(shù)及R 落在落在 950105

7、0 的概率的概率 . .解解 由題意知由題意知, , R 的概率密度為的概率密度為 xf x 其其它它1,9001100( ) =2000, Pdx10509501 950 + = s t 即即對(duì)對(duì)任任意意 有有, 0 , 事實(shí)上，有事實(shí)上，有P Xst Xs + PXstXsP XstP XsP Xs (+ )( ) + = s tssF steeP XF se( + )1( + )= 1( ) xf xex,22()21( ) =2 (1) 定義定義2.11:3、正態(tài)分布、正態(tài)分布:若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為XXN 稱(chēng)稱(chēng) 服服從從, , 記記作作正正分分布布 態(tài)態(tài)2

8、( , ) ,其其中中,0 . xf (x)OXN 的的密密度度函函數(shù)數(shù)2( , )f x 的的圖圖形形: :( )txF xedt ,22()21( ) =2 (2) 正態(tài)分布的分布函數(shù)正態(tài)分布的分布函數(shù):xF (x)OS 其其圖圖形形為為一一條條光光滑滑上上升升的的 形形曲曲線(xiàn)線(xiàn): :221( ) =2,t xxedtx (2) 定義定義2.12:01(0,1) N稱(chēng)稱(chēng) = , = = , = 時(shí)時(shí)的的正正態(tài)態(tài)分分布布 為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正態(tài)態(tài)分分布布. .( )x標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正態(tài)態(tài)分分布布的的密密度度函函數(shù)數(shù): :221( ) =2,xxex ( )x標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正態(tài)態(tài)分分布布的的分分布布函函數(shù)

9、數(shù): :(1) () = 1( )xx注注(2) ( )x 中中不不含含任任何何未未知知參參數(shù)數(shù). .(i) = 1( ) ;P X xx (3) 定理定理2.5: 設(shè)設(shè)XN(0 , 1) , 則有則有(ii) =( )( ) ;P a X bba (iii) = 2 ( )1 .PX cc 注注 可用可用 (x) 的定義證明定理的定義證明定理. 2 ( , ) , (0,1) .XXNY =N若若則則 (4) 定理定理2.6: ( ) ( ) ,XYX Y FxFy 設(shè)設(shè)與與的的分分布布函函數(shù)數(shù)分分別別為為和和證證則則由由分分布布函函數(shù)數(shù)定定義義知知( ) = =YXFyP YyPy ( )

10、X= P Xy= Fy 由由于于正正態(tài)態(tài)分分布布函函數(shù)數(shù)嚴(yán)嚴(yán)格格單單調(diào)調(diào)且且處處處處可可導(dǎo)導(dǎo), , 所所以以若若( ) ( ) , XYX Y fxfy設(shè)設(shè) 與與的的密密度度函函數(shù)數(shù)分分別別為為和和則則有有(0,1) .XY =N故故 ( ) =( ) = ()YYXddfyFyFydydy 221= ()=2yXfye (5) 相關(guān)結(jié)論相關(guān)結(jié)論: 2 ( , ) , (), XNa b c ab設(shè)設(shè)對(duì)對(duì)于于任任意意實(shí)實(shí)數(shù)數(shù) , , , ,有有 =() ,cP Xc =() () .baP a Xb例例2.11設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 XN( 108 , 32) , 試求試求解解 (1) P 10

11、2 X 117 117108102108=()()33 (1) P 102 X 117 ; (2) 求常數(shù)求常數(shù)a , 使使 P X a =0.95 . =(3)( 2) =(3) +(2)1 = 0.9987 + 0.97721 = 0.9759 由正態(tài)分布表反查得由正態(tài)分布表反查得108(2) =() = 0.95 .3aP X a (1.64) = 0.9495 , (1.65) = 0.9505 ,108 = 1.645 ,3a故故 = 112.935 .a得得例例2.12設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 XN ( 0 , 1 ) , 則則解解 (1) 直接查表知直接查表知(1) 求求 P X 1

12、.96 ; P X 1.96 ; P | X | 1.96 ; P 1 X 2 . (2) 已知已知 P X a =0.7019 ; P | X |b =0.9242P X c =0.2981 , 求求 a , b , c .P X 1. 96 = (1. 96) =0.975 , 利用利用 (x)的對(duì)稱(chēng)性知的對(duì)稱(chēng)性知P X 1. 96 = ( 1. 96) =1 (1. 96)=0.025 ; P | X |1. 96 = P 1. 96 X 1. 96 = (1. 96) ( 1. 96)=P X 1. 96 P X 1. 96 = (1. 96) 1 + (1. 96)= 2 (1. 9

13、6) 1 =0.95 ;P 1 X 2 = P X 2 P X 1 = (2) ( 1)= (2) 1 + (1)= 0.97725 + 0.8413 1= 0.81855(2) 由于由于 P X a = (a) = 0.7019查表知查表知 a = 0.53由由 P | X | b = P b X b = 0.9242有有 (b) ( b) = 2 (b) 1 = 0. 9242故故 (b) = 0. 9621查表知查表知 b 1. 78由由 P X c = 0.2981 , 而而 (0) = 0. 51 , 故知故知 c 0 .由于由于 ( c ) = 0.2981所以所以 ( c ) =

14、 1 ( c )查表知查表知 c = 0.53 , = 1 0.2981= 0. 7019即即 c = 0.53 例例2.13已知已知 XN ( 8 , 0.5 2 ) , 求求(1) P X 9 ; (2) P 7.5 X 10 ; (3) P | X 8 |1 =0.9242(4) P | X 9 | P X 由由于于 解解350250 300 .2+= =已知其壽命在已知其壽命在250 h的概率均為的概率均為92.36%, 為使其壽命在為使其壽命在 x 和和 x 之間的概率不小于之間的概率不小于 0.9 , x 至少為多大至少為多大?由正態(tài)分布的密度函數(shù)關(guān)于由正態(tài)分布的密度函數(shù)關(guān)于 x = 對(duì)稱(chēng)知對(duì)稱(chēng)知, 300350300350X P X = P 由由50() = 0.9236 .= 501.43 . 查查表表知知 35 . 于于是是故故 XN ( 300 , 35 2 ) . =P xXx P xXx 由由=XxP Xx P 2 ()12 ()1 0.9 ,35xx= = ()0.95 ,35x知知 1.645 , 57.5835xx查查表表得得 即即 (0,1) , XN設(shè)設(shè)若若 滿(mǎn)滿(mǎn)足足條條件件z