1、江蘇省專轉(zhuǎn)本高等數(shù)學(xué)模擬測(cè)試題一選擇題(每小題4分,共24分)1.當(dāng)時(shí), 與是等價(jià)無窮小，則常數(shù)的值為( )A.1 B.2 C.3 D. 4解：本題考查無窮小階的比較，就是求兩個(gè)函數(shù)比值的極限，條件說是等價(jià)無窮小，那么比值的極限是1，即有則，選B。 2.曲線的垂直漸近線是( )A. B. C. D. 沒有垂直漸近線解：所謂垂直漸近線就是若（也可以是單側(cè)極限，即左極限或右極限為無窮大），則稱為垂直漸近線。一般拿來討論極限的為函數(shù)中無定義的點(diǎn)，本題有三個(gè)無定義的點(diǎn)，即，但是在求極限時(shí)函數(shù)經(jīng)過化簡后變成，因此只有，所以選C。3. 設(shè)，則( )A. B. C. D. 解：本題考查變上限積分函數(shù)求導(dǎo)公式

2、，選A。4. 下列級(jí)數(shù)中條件收斂的是( )A. B. C. D.解：本題考查絕對(duì)收斂與條件收斂的概念，首先要知道無論是絕對(duì)收斂還是條件收斂都是滿足收斂，只是收斂的“強(qiáng)度”不同罷了。選項(xiàng)A與D都是滿足絕對(duì)收斂的，選項(xiàng)C一般項(xiàng)的極限不是零，顯然發(fā)散，只有選項(xiàng)B滿足條件收斂。5. 將二重積分，化成極坐標(biāo)下的二次積分，則得( )A. B. C. D. 解： 本題考查二重積分的極坐標(biāo)變換，首先關(guān)鍵是畫出積分區(qū)域來，作圖如下：本題積分區(qū)域形如右圖陰影部分，顯然答案選D。6.函數(shù)單調(diào)遞減且其圖形為凸的區(qū)間是( )A B. C. D. 解： 單調(diào)減就是一階導(dǎo)數(shù)小于零，凸就是二階導(dǎo)數(shù)小于零，于是，選D。二填空題

3、（每小題4分,共24分）7. 解：本題考查“”型的冪指函數(shù)求極限，利用“重要極限的推廣公式”8.已知，則_解：本題考查導(dǎo)數(shù)的定義，極限中的只是一個(gè)字母，一個(gè)無窮小而已，如同原始定義中的一樣，從極限分子中可以看出自變量改變了，于是9.定積分_.解：本題考查定積分化簡計(jì)算，即利用函數(shù)奇偶性10.設(shè)則_.解：本題考查向量坐標(biāo)的加法、減法以及叉乘運(yùn)算由已知可得，則11.設(shè)函數(shù)由方程所確定，則_.解：本題考查多元隱函數(shù)求偏導(dǎo)，可以選擇的方法有很多，比如“公式法”、“全微分法”、“兩邊求法”，這里我們采用兩邊求的方法，即對(duì)原方程兩邊同時(shí)關(guān)于求偏導(dǎo)得，解得。當(dāng)然本題用公式法做也很簡單。12.冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?/p>

4、_.解：本題考查利用系數(shù)模比值法求冪級(jí)數(shù)的收斂域因?yàn)椋杂谑牵裕划?dāng)時(shí)，（發(fā)散-P-級(jí)數(shù)）；當(dāng)時(shí)，（收斂-萊布尼茨判別法）；綜上，收斂域?yàn)槿?jì)算題（每題8分，共64分）13.求極限解：原式=注：在本題的求解過程中使用了直接代入，即；并且利用，則14. 設(shè)函數(shù)由方程所確定，求解：本題考查隱函數(shù)求導(dǎo)，而且是求具體點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值當(dāng)時(shí)，代入原方程得 方程兩邊同時(shí)關(guān)于求導(dǎo)得 （） 代入，得 再對(duì)（）式兩邊同時(shí)關(guān)于求導(dǎo)得 整理得 代入，及得 15.求不定積分解：令，則，代入得16.求定積分解：令，則；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)；代入得17. 設(shè)，其中有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求解： 18. 設(shè)直線通過點(diǎn)(-1,2,0)，垂直于直

5、線又與平面平行，求其方程解：設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，則 ，設(shè)所求直線的方向向量為，則于是所求直線方程為19. 計(jì)算二重積分解：由已知條件可知積分區(qū)域D是由曲線所圍成，在 第一象限中的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1,1），形如右圖陰影部分，所以注：本題有些同學(xué)可能會(huì)錯(cuò)誤的認(rèn)為陰影部分應(yīng)該是，這是不正確的這是因?yàn)槿簦瑒t就是第二個(gè)圖中的陰影部分了。20.求微分方程的通解解：原方程對(duì)應(yīng)齊次線性微分方程的特征方程為，解得所以對(duì)應(yīng)齊次線性微分方程的通解為；又為其中的一個(gè)特征根，所以原方程的一個(gè)特解為，則，代入原方程得，化簡得所以，所以通解為四證明題（每小題9分，共18分）21.證明：當(dāng)時(shí)，證明：令，則，所以單

6、調(diào)遞減，又，所以，所以單調(diào)遞減，又，所以，所以單調(diào)遞減，又，所以，即當(dāng)時(shí)，注：本題是利用三階導(dǎo)數(shù)相關(guān)信息一次次反推到原來的函數(shù)，即連續(xù)使用了三次利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法，具體的關(guān)系圖如下：22.設(shè)函數(shù)，證明在處連續(xù)但不可導(dǎo)證明：顯然在的函數(shù)值為 因?yàn)椋?所以，即在處連續(xù) 因?yàn)樗裕醋髮?dǎo)數(shù)不等于右導(dǎo)數(shù)，所以在處不可導(dǎo)綜上所述在處連續(xù)但不可導(dǎo)五綜合題（每題10分，共20分）23.設(shè)函數(shù)在處取得極大值，且點(diǎn)是其圖形的拐點(diǎn)，求常數(shù)的值解：因?yàn)楹瘮?shù)顯然滿足一階和二階可導(dǎo)，所以它的極值點(diǎn)是駐點(diǎn)（一階導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)），它的拐點(diǎn)是二階導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn) 因?yàn)椋以谇€上，所以綜上可得 ，解得24.求微分方程的一個(gè)解，使曲線于直線及軸所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積最小解：將上述微分方程變形為 即，這是一個(gè)一階非齊次線性微分方程，其中 通解為 即，顯然此時(shí)的體積是一個(gè)關(guān)于參數(shù)的一元二次函數(shù)，是一條拋物線，由中學(xué)數(shù)學(xué)可知拋物線的頂點(diǎn)是最小值點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)公式為，即當(dāng)時(shí)取得最小值 因此所求函數(shù)為注：本題涉及到畫圖的問題，對(duì)于拋物線，我們知道它一定過原點(diǎn)（0,0），但是常數(shù)C的正負(fù)性不知道，也就是不知道拋物線開口向上還是向下。由于本題只是求旋轉(zhuǎn)體體積，所以只要畫出大致圖形即可。不過，光知道經(jīng)過原點(diǎn)是不夠的，會(huì)有很多種情況，從而圍成的圖形也不一樣